Ubungen zu H¨ ¨ oherer Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende
8. Einheit, 3.12.2010
(33) Sei (yn)n∈N∈`∞ eine beschr¨ankte Folge. Definiere die Abbildung T :`1 →`1 durch T x= (y1x1, y2x2, ...)
f¨ur x= (xn), wobei `1 den Raum der absolut konvergenten Folgen bezeichnet.
(a) Zeige, dass T stetig ist und bestimme kTk.
(b) Bestimme die Eigenwerte von T.
(34) Sei L:`2 →`2 der Linksshift, definiert durch Lx= (x2, x3, ...) f¨ur x= (xn). Zeige, dassL nicht kompakt ist.
(35) Sei H ein Hilbertraum ¨uber C und A :H →H ein linearer, beschr¨ankter Operator.
Zeige:
(a) σ(A∗) = {¯λ:λ∈σ(A)}.
(b) Falls gilt (u, Au)≥0,∀u∈H, dann folgt σp(A)⊂[0,∞).
(36) Sei H ein Hilbertraum und P :H →H eine Projektion mit P 6= 0, P 6=I. Zeige:
σp(P) =σ(P) ={0,1}.
(37) Betrachte den OperatorA :L2(0,1)→L2(0,1) definiert durch (Au)(x) =xu(x)
f¨ur x∈(0,1). Bestimme das Spektrum von A.
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