Ubungen zu H¨ ¨ oherer Analysis f¨ ur Lehramtstudierende

Ubungen zu H¨ ¨ oherer Analysis f¨ ur Lehramtstudierende

2. Einheit, 15.10.2010

(4) Zeige, dass jede Folge in metrischen R¨aumen h¨ochstens einen Grenzwert besitzt.

(5) (a) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeige

d(x, y) =˜ d(x, y) 1 +d(x, y) ist eine Metrik aufX f¨urx, y ∈X, wobei ˜d(x, y)≤1.

(b) Sei X =R^N der Raum aller reellen Zahlenfolgen und definiere die Abbildung

d(x, y) =

∞

X

n=1

2⁻ⁿ |x_n−y_n| 1 +|xn−yn| f¨urx= (xn),y= (yn)∈X. Zeige, dass d eine Metrik.

(6) SeiX =R und

d₁(x, y) := |x−y|

d₂(x, y) := |arctan(x)−arctan(y)|

f¨ur x, y ∈R. Zeige:

(a) d₂ ist eine Metrik aufR.

(b) Sei (x_n)n∈N⊂R eine Folge. (x_n)n∈N konvergiert in (R, d₁) genau dann wenn sie in (R, d₂) konvergiert.

(c) (R, d₂) ist nicht vollst¨andig.

(7) Sei X eine Menge und d die in der Vorlesung definierte diskrete Metrik auf X. Sei A⊂X eine beliebige Teilmenge, dann gilt:

(a) A ist offen.

(b) A ist abgeschlossen.

(8) Zeige, dass in metrischen R¨aumen folgende Aussage i.A. nichtg¨ultig ist B_r(x) = B_r(x) ={y∈X :d(x, y)≤r}

Hinweis: Finde ein Gegenbeispiel.

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