Ubungen zu H¨ ¨ oherer Analysis f¨ ur Lehramtstudierende
3. Einheit, 22.10.2010
(9) (a) Sei (X, d) ein metrischer Raum und X ein Vektorraum ¨uber R(oder C). Zeige, dassd eine Norm aufX induziert genau dann wenndtranslationsinvariant und homogen ist, d.h. f¨ur alleu, v, w ∈X und α∈R(C) gilt
d(u+w, v+w) =d(u, v) und
d(αu, αv) = |α|d(u, v).
(b) Induzieren die Metriken d aus Beispiel 5(b) und d2 aus Beispiel 6 eine Norm?
(10) Ein normierter Raum X ¨uberR ist ein Pr¨a-Hilbertraum ⇔ kx+yk2+kx−yk2 = 2kxk2+ 2kyk2
∀x, y ∈X. (Hinweis: F¨ur (⇐) setze (x, y) = 1
4(kx+yk2− kx−yk2)
und zeige mit Hilfe der Parallelogramm-Gleichung, dass (x, y) die Eigenschaften eines Skalarprodukts erf¨ullt.
(11) (a) Sei H ein Pr¨a-Hilbertraum ¨uber R und seien x, y ∈ H. Sind x, y orthogonal, dann gilt
kx+yk2 =kxk2+kyk2.
(b) Sei H ein Pr¨a-Hilbertraum ¨uber C, dann gilt f¨ur alle u, v ∈ H die Polarisati- onsformel
(u, v) = 1
4 ku+vk2− ku−vk2+ iku+ ivk2−iku−ivk2 .
(12) (a) Sei H ein Pr¨a-Hilbertraum und A ⊂ H eine Menge. Zeige, dass das orthogo- nale Komplement A⊥ = {u ∈ H : ∀v ∈ A : (u, v) = 0} ein abgeschlossener Unterraum vonH ist. (Hinweis: Verwende die Stetigkeit von (·,·).)
(b) Sei H ein Hilbertraum und sei A ⊂ H ein abgeschlossener Unterraum. Dann gilt (A⊥)⊥ =A.
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