Ubungen zu H¨ ¨ oherer Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende
6. Einheit, 12.11.2010
(23) SeienX, Y 6={0}Banachr¨aume undA, B ∈L(X, Y). Weiters sei Ainvertierbar und kA−Bk=αkA−1k−1,0< α <1
(a) Zeige, dass B ist invertierbar ist und folgere, dass die Menge der invertierbaren Operatoren offen ist inL(X, Y).
(b) Zeige, dass f¨ur die Inverse vonB gilt:
kB−1k ≤ 1
1−αkA−1k.
Hinweis: Verwende das Lemma ¨uber die Neumann-Reihe.
(24) Seien X, Y 6= {0} Banachr¨aume und sei A ∈ L(X, Y). Zeige oder widerlege: Wenn kAnk<1 f¨ur ein n∈N, dann gilt
(1−A)−1 =
∞
X
k=0
Ak.
(25) Seien X ein Banachraum und K ∈L(X) mitkKk<1. Betrachte die Gleichung (I −K)u=f
f¨ur u, f ∈ X. Zeige, dass die L¨osung dieser Gleichung approximiert werden kann durch
u=
N−1
X
n=0
Knf +
mit ∈X und dass der Approximationsfehler gegeben ist durch
ku−
N−1
X
n=0
Knfk ≤ kKNfk 1− kKk
(26) SeiX =L2(0,1). Berechne f¨ur N=2 in der obigen Notation die approximative L¨osung der Integralgleichung
u(x)− Z x
0
(x−s)su(s)ds= 1 f¨ur x∈(0,1) und sch¨atze den Approximationsfehler ab.
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