Ubungen zu H¨ ¨ oherer Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende

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4. Einheit, 29.10.2010

(13) Sei X ein Vektorraum undP :X →X eine Projektion. Zeige:

(a) I−P :X →X ist eine Projektion.

(b) N(I−P) = R(P) undR(I−P) =N(P), wobei I die Identit¨at auf X ist

(14) SeiHein (Pr¨a-) Hilbertraum. Ein System{v_n:n∈N} ⊂H heißt linear unabh¨angig, wenn jedes endliche Teilsystem linear unabh¨angig ist.

Zeige: Sei {e_n:n ∈N} ⊂H ein Orthogonalsystem, dann ist es linear unabh¨angig.

(15) Sei H ein Hilbertraum und A ⊂ H ein Unterraum. Zeige: A ist dicht in H genau dann wenn A^⊥ ={0}.

(16) Sei H ein Hilbertraum und S := {e_n : n ∈ N} ⊂ H ein Orthogonalsystem. Zeige:

S ist genau dann ein vollst¨andiges Orthogonalsystem, wenn f¨ur alle v ∈ H gilt: Aus (e_n, v) = 0,∀n ⇒v = 0.

(17) (a) Zeige, dass die Funktionen u_n(x) = xⁿe^−x2/2, n ∈ N0 linear unabh¨angig sind in L²(R).

(b) Durch Orthonormalisieren der oben definierten Funktionen erh¨alt man als Or- thonormalsystem inL²(R) die Familie

H :=

H_n(x) =

s 1 2ⁿn!√

πe^−x2/2h_n(x) :n ∈N0

der Hermite-FunktionenH_n, wobei die Hermite-Polynomeh_ngegeben sind durch

h_n(x) = (−1)ⁿe^x2 dⁿ dxⁿe^−x2.

Berechne mit Gram-Schmidt H0, ..., H3 und verifiziere die obige Formel.

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