Ubungen zu H¨ ¨ oherer Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende
5. Einheit, 5.11.2010
(18) Seien X, Y, Z normierte R¨aume.
(a) Zeige: F¨urS ∈L(X, Y) undT ∈L(Y, Z) gilt ST ∈L(X, Z) und kSTk ≤ kSkkTk
(b) Seien A, B :X →X lineare Abbildungen f¨ur die gilt AB−BA=I, wobeiI die Identit¨at auf X bezeichne. Zeige:
ABn+1−Bn+1A= (n+ 1)Bn
f¨ur allen∈N0 und folgere mit Hilfe dieser Beziehung, dassAundB nicht beide stetig sein k¨onnen.
(19) Sei k ∈L2((a, b)2) und definiere den Fredholmschen Integraloperator A:L2(a, b)→L2(a, b), (Af)(x) =
Z b
a
k(x, y)f(y)dy, a < x < b.
Zeige, dass A stetig ist.
(20) Sei R :`2 →`2, (x1, x2, . . .)7→(0, x1, x2, . . .) der Rechtsshift.
(a) Zeige, dass R beschr¨ankt ist und kRk= 1.
(b) Berechne den Bildraum und Nullraum von R.
(21) Betrachte den OperatorAf =f0 f¨ur Funktionen f : [0,1]→R. Zeige:
(a) A: (C1([0,1]),k · kC0)→(C0([0,1]),k · kC0) ist nicht stetig;
(b) A: (C1([0,1]),k · kC1)→(C0([0,1]),k · kC0) ist stetig.
Hierbei sind die Normen durch kfkC0 = max
0≤x≤1|f(x)|, kfkC1 = max
0≤x≤1(|f(x)|+|f0(x)|) definiert.
(22) Sei A: (C([0,1]),k · kC0)→R und Af =f(0). Zeige: A ist stetig undkAk= 1.
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