Ubungen zu H¨ ¨ oherer Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende
9. Einheit, 10.12.2010
(38) Sei Γ die Gamma-Funktion definiert als Γ(y) =
Z ∞
0
xy−1e−xdx
f¨ur y∈(0,∞). Zeige:
(a) Γ(y+ 1) =yΓ(y).
(b) Γ(n+ 1) =n! ∀n∈N.
(39) Beweise folgende Beziehungen f¨ur die Laplace-Transformation (a) (L[f(at)])(s) = a1(L[f(t)])(sa) ( ¨Ahnlichkeitssatz)
(b) (L[e−atf(t)])(s) = (L[f(t)])(s+a) (Verschiebungssatz) wobei a∈R, a >0.
(40) Zeige, dass f¨ur die Laplace-Transformation gilt:
(L[f(n)])(s) = sn(L[f])(s)−
n−1
X
k=0
f(k)(0)sn−k−1. wobei f(n) die n–te Ableitung der Funktion bezeichnet.
(41) Berechne die Laplace-Transformation vonf(t) = tn f¨urn∈N.
(42) L¨ose die folgenden Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation (a)
y0(t) +y(t) = te−t, y(0) = 2 (b)
y00(t) + 3y0(t) + 2y(t) = 0, y(0) = 2, y0(0) =−3
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