Ubungen zu H¨ ¨ oherer Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende
10. Einheit, 17.12.2010
(43) L¨ose die Differentialgleichung
tx0(t) = x(t)2
mit der Anfangsbedingung x(1) = 2 und t ∈ R. Gib das maximale L¨osungsintervall an.
(44) L¨ose die folgenden Anfangswertprobleme f¨urt >0.
(a)
x0(t) = cos(t) cos2(x(t)) x(0) = 0 (b)
x0(t) = 3x(t)2/3 x(0) = 0 Sind die L¨osungen eindeutig?
(45) Zeige, dass die L¨osung des Anfangswertproblems
x0(t) = a(t)x+b(t), t∈I, x(t0) =x0 a, b:I ⊂R→R stetig, eindeutig ist.
(46) Finde die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung
y0(x) = 2xy(x) +ex2sin(x)
mit der Methode der Variation der Konstanten. L¨ose dann das Anfangswertproblem f¨ur die obige Gleichung mit y(0) = 1 f¨ur x >0.
(47) L¨ose das Anfangswertproblem f¨ur t >0
ex(t)+x0(t)ex(t)=et, x(0) = 0.
Hinweis: Finde eine geeignete Substitution und l¨ose ein einfacheres Problem.
10
