1 a)
Tragheitstensor furN Massepunkte:
ij
= N
X
n=1 m
n [(r
n
) 2
Æ
i;j x
n
i x
n
j
℄
Diagonalelemente:
ii
= N
X
n=1 m
n [(x
n
1 )
2
+(x n
2 )
2
+(x n
3 )
2
(x n
i )
2
℄
Auerdiagonalelemente:
ij j
i6=j
= N
X
n=1 m
n [x
n
i x
n
j
℄
Hier:
xx
= (m+M)a 2
yy
= (m+M)a 2
zz
= 2(m+M)a 2
xy
=
yx
= Ma 2
xz
=
yz
=0
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
)= 0
B
B
(m+M)a 2
Ma 2
0
Ma 2
(m+M)a 2
0
0 0 2(m+M)a
2 1
C
C
A
b)
Eigenvektoren: e 0
i
=
i e
0
i
) (
i 1)e
0
i
=0
Eigenwerte:
det (
i
1)=0 ) (2(m+M)a 2
i
)[((m+M)a 2
i )
2
(Ma 2
) 2
℄=0
daraus folgt
3
=2(m+M)a 2
und ((m+M)a 2
i )
2
(Ma 2
) 2
=0
)
1
=ma 2
;
2
=(m+2M)a 2
Zugehoriger Eigenvektor:
3
=2(m+M)a 2
)
Mit e 0
3
= 0
B
B
b
x
b
y
b
z 1
C
C
A :
(m+M)b
x Mb
y
= 0
Mb
x
(m+M)b
y
= 0 9
>
>
=
>
>
;
) b
x
=b
y
=0
0b
z
=0 ) b
z
=beliebig 9
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
; ) e
0
3
=
3 0
B
B
0
0
1 1
C
C
A
mit der freien Konstante
3 b
z .
Zugehoriger Eigenvektor:
1
=ma 2
)
Mit e 0
1
= 0
B
B
b
x
b
y
b
z 1
C
C
A :
Mb
x Mb
y
= 0
Mb
x +Mb
y
= 0 9
>
>
=
>
>
;
) b
x
=b
y
(m+2M)b =0 ) b =0 9
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
; ) e
0
1
=
1 0
B
B
1
1
0 1
C
C
A
mit der freien Konstante
1 b
y .
Zugehoriger Eigenvektor:
2
=(m+2M)a 2
)
Mit e 0
2
= 0
B
B
b
x
b
y
b
z 1
C
C
A :
Mb
x Mb
y
= 0
Mb
x Mb
y
= 0 9
>
>
=
>
>
;
) b
x
= b
y
mb
z
=0 ) b
z
=0 9
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
; ) e
0
2
=
2 0
B
B
1
1
0 1
C
C
A
mit der freien Konstante
2 b
y .
Die Konstanten
i
werden jetzt so bestimmt, da die Eigenvektoren normiert sind (Einheitsvek-
toren), je 0
i
j=1,und es ergibt sihshlielih
1
= ma 2
2
= (m+2M)a 2
3
= (2m+2M)a 2
e 0
1
= 1
p
2 0
B
B
1
1
0 1
C
C
A
e 0
2
= 1
p
2 0
B
B
1
1
0 1
C
C
A e
0
3
= 0
B
B
0
0
1 1
C
C
A
DieBenennungder
i
undzugehorigene 0
i
(welheralso der1.,2.,oder3.Eigenvektor seinsoll)ist
naturlihwillkurlih.MitderhierbenutztenBenennungbildendieHauptahseninderReihenfolge
e 0
1
;e 0
2
;e 0
3
ein rehtshandigesBezugssystem. Siehe auhdie nihtvorhandene Skizze.
)
Die Transformationsmatrix in e 0
i
=e
i
lautet
=(e 0
1
;e 0
2
;e 0
3 )=
0
B
B
1
p
2 1
p
2 0
1
p
2 1
p
2 0
0 0 1
1
C
C
A
Die Matrix ist orthogonal, denn die Spalten sind paarweise orthogonal (sogar orthonormal),
e 0
i e
0
j
=Æ
i;j .
Die Komponenten 0
ij
des Tragheitstensors inder neuen Basis sind
0
ij
=( 1
)
ij
= 0
B
B
1
0 0
0
2 0
0 0
3 1
C
C
A
ij
Die Matrix wird durh die
Ahnlihkeitstransformation ja gerade diagonalisiert. Davon kann
man sih notfalls durhAusmultiplizieren von 0
= 1
uberzeugen.
d)
Shwerpunkt im \alten"Koordinatensystem:
R= P
n m
n r
n
P
n m
n
= 1
3m+M 2
6
6
4 ma
0
B
B
1
0 1
C
C
A +ma
0
B
B
0
1 1
C
C
A +Ma
0
B
B
1
1 1
C
C
A 3
7
7
5
=
(m+M)a
3m+M 0
B
B
1
1 1
C
C
A jje
0
1
Wenn nun das Hauptahsensystem e 0
1
;e 0
2
;e 0
3
in Rihtung e 0
1
auf den Shwerpunkt vershoben
wird, werden die Drehahsen e 0
2
und e 0
3
jeweils um jRj parallel vershoben, e 0
1
dagegen bleibt
unverandert.Der Satz vonSteiner, rukwarts angewendet, fuhrt dann auf
e
1
=
1
e
2
=
2 M
tot jRj
2
; M
tot
=3m+M
e
3
=
3 M
tot jRj
2
Um das Ergebnis einfahnahprufbar zu halten, vereinfahen wir aufM =m, dann gilt
R= a
2 0
B
B
1
1
0 1
C
C
A
) jRj 2
= a
2
2
; M
tot
=4m
also
e
1
=ma 2
; e
2
=ma 2
; e
3
=2ma 2
Diesergibtsihnaturlihauhdirekt,wennmanM =msetztunddie 0
ij
berehnet;alsobez
uglih
einesKoordinatensystems,dessenxundy-AhsendurhdieEkendesQuadratsausden4Massen
m gehen,mit dem Ursprungin der Mitte (Shwerpunkt).
2 a)
Der Vektor istin IS bestimmt durh A=(A
x
;A
y
;A
z ) mit
A
x
= A
? os()
A
y
= A
? sin()
A
z
= A
jj
; A
?
= jAjsin()
A
jj
= jAjos()
HieristA
?
dieLangederProjektionindiex-y-Ebene,derWinkeldieserProjektionzurx-Ahse,
A
jj
die Projektion auf die z-Ahse. Die Winkel ; sind fest gewahlt und vollig unabhangig von
dem zeitabhangigenRotationswinkel '=!t. Wird nun dieser Vektor von einem Bezugssystem
KS 0
aus betrahtet, das gegenuberIS um denWinkel'um die gemeinsame z-Ahse gedrehtist,
so ersheint die Projektion indie x-y-Ebene inKS 0
um den Winkel 'zurukgedreht,
A 0
x
= A
?
os( ') = A
?
[os()os (')+sin ()sin (')℄ = A
x
os (')+A
y
sin (')
A 0
y
= A
?
sin( ') = A
?
[sin()os (') os ()sin(')℄ = A
x
sin (')+A
y
os(')
A 0
z
= A
z
= A
z
= A
z
In Matrixshreibweise
A 0
=DA ; D= 0
B
B
os (') sin(') 0
sin (') os (') 0 1
C
C
A
D ist (wie erwartet)die Matrixeiner Drehung um die z-Ahse um den Winkel '.
b)
Im System IS: mr=F
Im System KS 0
: aus a) folgt: r 0
=Dr ) r=D 1
r 0
Das brauht man jetztnurableiten:
_
r = (d
t D
1
)r 0
+D 1
_
r 0
r = (d 2
t D
1
)r 0
+2(d
t D
1
)r_ 0
+D 1
r 0
Dazu, mit D 1
=D T
,denn D ist orthogonal,
(d
t D
T
) = d
t 0
B
B
os (!t) sin (!t) 0
sin(!t) os (!t) 0
0 0 1
1
C
C
A
= ! 0
B
B
sin (!t) os(!t) 0
os(!t) sin (!t) 0
0 0 0
1
C
C
A
(d 2
t D
T
) = !
2 0
B
B
os(!t) sin (!t) 0
sin (!t) os(!t) 0
0 0 0
1
C
C
A
Einsetzen und Anmultiplizieren von m und D liefert mit mr=F,
(DF)
| {z }
=F 0
= m!
2 0
B
B
os (!t) sin(!t) 0
sin (!t) os (!t) 0
0 0 1
1
C
C
A 0
B
B
os (!t) sin (!t) 0
sin (!t) os (!t) 0
0 0 0
1
C
C
A r
0
2m!
0
B
B
os(!t) sin (!t) 0
sin (!t) os (!t) 0
0 0 1
1
C
C
A 0
B
B
sin (!t) os (!t) 0
os(!t) sin (!t) 0
0 0 0
1
C
C
A _ r 0
+m(DD 1
)r 0
) F
0
= m!
2 0
B
B
1 0 0
0 1 0
0 0 0 1
C
C
A r
0
2m!
0
B
B
0 1 0
1 0 0
0 0 0 1
C
C
A _
r 0
+ m
r 0
Einsetzen der Komponenten vonr 0
=(x 0
;y 0
;z 0
)liefert die Bewegungsgleihung in KS 0
,
mr 0
=F 0
+m!
2 0
B
B
x
0
y 0
0 1
C
C
A
| {z }
F
Z
+2m!
0
B
B
_ y 0
_ x 0
0 1
C
C
A
| {z }
F
C
Die Sheinkrafte wirken nur inder x-y-Ebene senkreht zur Drehahse e
z .
Vergleih mit der Vorlesung: dort hie es
mr 0
=F 0
mw(wr 0
)
| {z }
F
2m(wr_ 0
)
| {z }
F
Hier istdie Drehahse im System KS 0
die z 0
-Ahse, w =!e
z , also
F
Z
= m!
2 0
B
B
0
0
1 1
C
C
A
0
B
B
0
0
1 1
C
C
A
0
B
B
x
0
y 0
z 0
1
C
C
A
= m!
2 0
B
B
0
0
1 1
C
C
A
0
B
B
y
0
x 0
0 1
C
C
A
= m!
2 0
B
B
x
0
y 0
0 1
C
C
A
F
C
= 2m!
0
B
B
0
0
1 1
C
C
A
0
B
B
_ x 0
_ y 0
_ z 0
1
C
C
A
= 2m!
0
B
B
_ y 0
_ x 0
0 1
C
C
A
Dies ergibt genau die Bew.gl. vonoben.
