Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker
Sommersemester 2013 23.09.2013
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Matrikelnummer: ...
Bearbeitungszeit: 2 Stunden Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlungen Statistik I und II in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter) Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, Zusatzmaterialien zur Vorlesung, eigene Aufzeichnungen
• Lehrb¨ ucher, Verteilungstabellen
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ ¨ ufen Sie, ob Ihre Klausur alle f¨ unf Aufgaben enth¨alt.
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 P
erreichbare
Punkte 20 20 20 20 20 100
erreichte
Punkte
Aufgabe 1: Querbeet (20 Punkte)
Betrachten Sie die folgenden Aussagen. Markieren Sie jeweils, ob die angegebene Aussage zutrifft oder nicht(jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung(jeweils 3 Punkte).
Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.
1. Von zwei erwartungstreuen Sch¨atzern ist der mit der kleineren Varianz der bessere.
Richtig Falsch Begr¨undung:
Der Sch¨atzer mit der kleineren Varianz ist pr¨aziser.
Beide Sch¨atzer sind gleich gut.
Der Sch¨atzer mit der gr¨oßeren Varianz ist pr¨aziser.
2. Ein Test ¨uber den Erwartungswertµist erst ab einem Stichprobenumfang von etwan= 30 sinnvoll.
Richtig Falsch Begr¨undung:
Der approximative Gauß-Test ist ab etwan= 30 sinnvoll anwendbar.
Bei vorliegender Normalverteilung k¨onnen Gauß-Test oder t-Test auch f¨ur n <30 sinnvoll angewendet werden.
Alle Tests ¨uber den Erwartungswert sind f¨ur beliebige Stichprobenumf¨ange sinnvoll.
3. Die Anzahl m¨oglicher Lottoergebnisse f¨ur
”6 aus 49“ ist 496. Richtig
Falsch Begr¨undung:
Es handelt sich um Ziehen mit Zur¨ucklegen ohne Beachtung der Reihenfolge.
Es handelt sich um Ziehen ohne Zur¨ucklegen ohne Beachtung der Reihenfolge.
Es handelt sich um Ziehen ohne Zur¨ucklegen mit Beachtung der Reihenfolge.
4. F¨ur die Standardnormalverteilung ist Φ(−x) =−Φ(x).
Richtig Falsch Begr¨undung:
Dies ergibt sich aufgrund der Symmetrie der Dichtefunktion.
Die Aussage gilt f¨ur die Dichte φ, nicht f¨ur die Verteilungsfunktion Φ.
Aufgrund der Symmetrie der Dichtefunktion ist Φ(−x) = 1−Φ(x).
5. Zwei unkorrelierte Zufallsvariablen X und Y sind stets auch stochastisch unabh¨angig.
Richtig Falsch Begr¨undung:
Hat die Korrelation den Wert Null, so hat auch die Kovarianz den Wert Null.
Hat die Korrelation den Wert Null, so sagt das noch nichts ¨uber die Kovarianz.
Die Aussage gilt nicht allgemein, sondern nur f¨ur den Spezialfall normalverteilter Zufallsvariablen.
Aufgabe 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung (20 Punkte)
In der Faschingszeit werden Autofahrer des Nachts h¨aufig zu Alkoholkontrollen gebeten. Erfah- rungsgem¨aß sind unter den kontrollierten Autofahrern 10%
”Alkohols¨under“(d.h. Autofahrer, deren Alkoholgehalt im Blut 0.8 Promille oder mehr betr¨agt). Ein Schnelltest soll kl¨aren, ob der Alkoholgehalt im Blut des kontrollierten Autofahrers zu hoch ist. Dieser Test irrt sich bei Alkohols¨undern mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% (d.h. er zeigt negativ, obwohl der Alkoholgehalt im Blut zu hoch ist). Der Test irrt sich bei Autofahrern, die nicht zu den Al- kohols¨undern z¨ahlen, mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% (d.h. er zeigt positiv, obwohl der Alkoholgehalt im Blut nicht zu hoch ist).
(a) Ein Autofahrer wird kontrolliert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Alkoholtest positiv zeigt? (8.5 Punkte)
(b) Ein Autofahrer wird kontrolliert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Alkohols¨under handelt, obwohl der Alkoholtest negativ zeigt? Nutzen Sie zur Berechnung bitte den Wert 0.8 f¨ur die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ zeigt.(6 Punkte) (c) Nehmen Sie im folgenden an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Alkoholtest positiv
zeigt, gleich 0.25 ist. In der Nacht werden 10 Autofahrer kontrolliert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass darunter genau 3 Autofahrer sind, f¨ur die der Alkoholtest positiv zeigt? (5.5 Punkte)
Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Aufgabe 3: Stetige Verteilung (20 Punkte)
Gegeben sei eine stetige ZufallsvariableXmit folgender Dichtefunktion (sog. Dreiecksverteilung)
f(x, a, b) =
( 2(x−a)
(b−a)2 , a ≤x≤b 0 , sonst
(a) Gegeben sei a=−1 undb = 1. Bestimmen Sie P(X ≤0.5), E(X) und V ar(X).
(10 Punkte)
(b) Gegeben sei a= 1 undF(x= 2) = 161. Bestimmen Sie b so, dass es sich bei f(x, a, b) um eine Dichtefunktion vonXhandelt. (D.h., es muss gezeigt werden, dass alle Anforderungen an eine Dichtefunktion erf¨ullt sind.) (10 Punkte)
Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
F¨ur x2+px+q= 0 k¨onnen Sie zur L¨osung die p-q-Formel x1,2 =−p
2 ±
rp
2
2
−q nutzen.
Aufgabe 4: Normalverteilung (20 Punkte)
Die erreichte Punktzahl in einer bestimmten Klausur ist von verschiedenen Faktoren abh¨angig, u.a. von den kognitiven F¨ahigkeiten des Studierenden. Eine M¨oglichkeit, das kognitive Leis- tungsverm¨ogen eines Individuums zu messen, stellt der Intelligenzquotient (IQ) dar. Diese um- strittene Kenngr¨oße folgt einer Normalverteilung mit einem Erwartungswert von 100 und einer Varianz von 225 (IQ∼N(100,225)).
Nehmen Sie an, dass die erreichte PunktzahlXin einer Psychologieklausur lediglich vom IQ des Studierenden abh¨angt. Diese ergibt sich alsX = 2.25·IQ−185. Beachten Sie, dassX ∈[0; 100], wobei 0 dem schlechtesten und 100 dem besten m¨oglichen Ergebnis entspricht.
(a) Welcher Verteilung folgt die erreichte Punktzahl X in der oben genannten Klausur? Wel- che Probleme sehen Sie hierbei?(8 Punkte)
(b) Es wird angenommen, dass Studierende einen h¨oheren erwarteten IQ als die restliche Bev¨olkerung aufweisen. Gehen Sie davon aus, dassX ∼N(62.5,506.25). Wie hoch ist der erwartete IQ von Studierenden, die die oben genannte Psychologieklausur schreiben? (4 Punkte)
(c) Ein Studierender geh¨ort laut IQ zu den 10% intelligentesten Studierenden. Mit welcher Punktzahl kann er im schlimmsten Fall rechnen? Wie viel Prozent der Studierenden bestehen im Durchschnitt die Klausur, wenn 50 Punkte daf¨ur ausreichen? (8 Punkte) Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Nutzen Sie zur L¨osung die Tabellen aus Aufgabe 5.
Aufgabe 5: Sch¨atzen und Testen (20 Punkte)
(a) Erl¨autern Sie die Problemstellung und Ziele des statistischen Sch¨atzens. Gehen Sie dabei auf die Modellvorstellung und die Voraussetzungen des Sch¨atzens ein. Grenzen Sie die Begriffe
”Sch¨atzer“ und
”Sch¨atzung“ voneinander ab. Antworten Sie in Stichpunkten.
(9 Punkte)
(b) Die folgende Tafel zeigt dreißig Realisationen einer Zufallsvariable X mit E(X) =µund V ar(X) = σ2.
4.337350 4.415462 3.276290 1.963017 3.966053 2.966018 2.080908 4.280590 4.786601 2.981908 3.257839 2.549939 3.747510 3.069563 4.676504 2.794288 4.501807 2.953006 2.983564 3.994370 4.405795 4.564060 5.997827 3.330210 3.722893 4.487549 4.110797 1.898424 4.548031 3.954108 Bestimmen Sie das 90%-Konfidenzintervall f¨urµ. Nutzen SieP
i
xi = 110.6023 undP
i
x2i = 434.1090. (6 Punkte)
(c) F¨ur die in Teilaufgabe (b) gegebene Stichprobe soll getestet werden, ob µ≤4 vs.µ >4.
Angenommen, der kritische Wert betr¨agt 1.9600. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit f¨ur den Fehler 1. Art?(5 Punkte)
Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Nutzen Sie zur L¨osung die folgenden Tabellen:
Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
x 0.25 0.28 0.2963 0.35 0.4444 0.45 0.50 0.55 0.5556 Φ(x) 0.5987 0.6103 0.6165 0.6368 0.6716 0.6736 0.6915 0.7088 0.7108
x 0.56 0.60 0.67 0.70 0.71 0.75 0.80 0.85 0.875
Φ(x) 0.7123 0.7257 0.7486 0.7580 0.7611 0.7734 0.7881 0.8023 0.8092
x 0.90 0.95 1.00 1.20 1.25 1.40 1.50 1.67 2.00
Φ(x) 0.8159 0.8289 0.8413 0.8849 0.8944 0.9192 0.9332 0.9525 0.9772
x 2.50
Φ(x) 0.9938
Quantile der Standardnormalverteilung
p 0.005 0.01 0.05 0.07 0.10 0.15 0.20 0.25
zp -2.5758 -2.3263 -1.6449 -1.4758 -1.2816 -1.0364 -0.8416 -0.6745
p 0.28 0.30 0.70 0.75 0.80 0.90 0.95 0.97
zp -0.5828 -0.5244 0.5244 0.6745 0.8416 1.2816 1.6449 1.8808
p 0.975 0.98 0.99 0.995
zp 1.9600 2.0537 2.3263 2.5758
Quantile der t-Verteilung mit 29 Freiheitsgraden
p 0.005 0.01 0.05 0.07 0.10 0.15 0.20 0.25
t29;p -2.7564 -2.4620 -1.6991 -1.5174 -1.3114 -1.0553 -0.8542 -0.6830
p 0.28 0.30 0.70 0.75 0.80 0.90 0.95 0.9702
t29;p -0.5896 -0.5302 0.5302 0.6830 0.8542 1.3114 1.6991 1.9600
p 0.975 0.98 0.99 0.995
t29;p 2.0452 2.1503 2.4620 2.7564
