Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker Sommersemester 2015 27.07.2015

Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker

Sommersemester 2015 27.07.2015

Name: ...

Matrikelnummer: ...

Bearbeitungszeit: 2 Stunden Erlaubte Hilfsmittel:

• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)

• standardisierte Formelsammlungen Statistik I und II in gehefteter Form (unver¨ andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨ atze, keine losen Bl¨ atter) Nicht zugelassen sind:

• eigenes Papier

• Skript, Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, ¨ Zusatzmaterialien zur Vorlesung, eigene Aufzeichnungen

• Lehrb¨ ucher, Verteilungstabellen

Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.

Uberpr¨ ¨ ufen Sie, ob Ihre Klausur alle f¨ unf Aufgaben enth¨ alt.

Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!

Aufgabe 1 2 3 4 5

^P

erreichbare

Punkte 20 20 20 20 20 100

erreichte

Punkte

Aufgabe 1: Wahrscheinlichkeitsrechnung (20 Punkte)

Ahnlich wie das Waschmaschinenmonster, das sich von Socken ern¨¨ ahrt, scheint ein Wichtel zu existieren, der verlorene Sachen immer am letzten Ort versteckt, an dem man sucht. Dieses Ph¨anomen wird in abgewandelter Form bei Klausureinsichten beobachtet, wenn Studierende unangemeldet erscheinen. In solchen F¨allen liegt die betreffende Klausur h¨aufig am Ende des Stapels. Da der Lehrstuhl an einem reibungslosen Ablauf der Klausureinsicht interessiert ist, werden bei vorheriger Anmeldung die entsprechenden Klausuren im Vorfeld gesucht und oben auf den Stapel gelegt.

SeienAundE die Ereignisse

”Anmeldung zur Klausureinsicht“ bzw.

”Einsicht nehmen“, wobei sich 25% aller Klausurteilnehmer typischerweise f¨ur die Einsicht anmelden und 24% zur Ein- sicht erscheinen. Von den zur Einsicht angemeldeten Studierenden erscheinen durchschnittlich 86.4% zum gegebenen Termin. Dar¨uber hinaus konnte mehrfach beobachtet werden, dass 10%

der Einsichtnehmenden sich nicht im Vorfeld anmelden.

(a) Stellen Sie die obigen Informationen in einem Venn-Diagramm unter der Annahme von 500 Klausurteilnehmern dar. Bitte nutzen Sie f¨ur Ihre Darstellung die unten stehende Vorlage. Wie viele der 500 Studierenden erscheinen unangemeldet zur Klausureinsicht?

(6 Punkte)

(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit f¨ur das Erscheinen zur Klausureinsicht unter den nichtangemeldeten Studierenden.(9 Punkte)

(c) Pr¨ufen Sie, ob die Ereignisse

”Anmeldung zur Klausureinsicht“ bzw.

”Einsicht nehmen“

stochastisch unabh¨angig sind. Sollte der Lehrstuhl demzufolge die Anmeldung zur Klau- sureinsicht beibehalten? (5 Punkte)

Hinweis:

Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Aufgabe 2: Diskrete Verteilungen (20 Punkte)

Das sogenannte Geburtstagsparadoxon besagt, dass die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass zwei oder mehr Personen aus einer Gruppe am gleichen Tag Geburtstag haben, gr¨oßer als 50% ist, wenn die Gruppe mindestens 23 Personen umfasst. Diese Wahrscheinlichkeit wird h¨aufig falsch eingesch¨atzt, da das Problem oftmals als Frage danach interpretiert wird, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Person einer Gruppe an einem bestimmten Tag im Jahr Geburtstag hat. An- genommen, das letztgenannte Problem stellt die interessierende Fragestellung dar.

(a) Durch welche Modellsituation (d.h., durch welche Verteilung mit welchem/welchen Pa- rameter/n) l¨asst sich die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass eine Person an einem bestimmten Tag im Jahr Geburtstag hat, beschreiben und warum?(3 Punkte)

(b) Betrachten Sie nun eine Gruppe von n Personen. Durch welche Modellsituation (d.h., durch welche Verteilung mit welchem/welchen Parameter/n) l¨asst sich die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass genauk Personen (mit k = 0, . . . , n) an einem bestimmten Tag im Jahr Geburtstag haben, beschreiben und warum? (4 Punkte)

(c) Angenommen, die Gruppe umfasstn = 23 Personen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine oder mehrere Personen dieser Gruppe an einem bestimmten Tag Geburtstag haben?(6 Punkte)

(d) Wie viele Personen m¨usste die Gruppe umfassen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass eine oder mehrere Personen an einem bestimmten Tag Geburtstag haben, gr¨oßer als 50% ist?

(7 Punkte)

Hinweis:

Gehen Sie davon aus, dass das Jahr 365 Tage hat und dass die Personen innerhalb der betrach- teten Gruppe nicht verwandt sind.

Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Aufgabe 3: Sch¨atzen (20 Punkte)

Ein junger Dozent verwendet in seiner Lehrveranstaltung erstmals Instrumente des E-Learning und fragt sich, wie es um den Lernerfolg der Teilnehmer seines Kurses steht. Dazu schaut er sich das Ergebnis X einer ¨Ubungsaufgabe von drei zuf¨allig ausgew¨ahlten Teilnehmern an. Er unterstellt, dass die erreichten Punkte der Studierenden in der ¨Ubungsaufgabe (x₁, x₂, x₃) Rea- lisationen unabh¨angiger und identisch verteilter Zufallsvariablen X_i,i= 1,2,3, mitE(X_i) =µ und V ar(X_i) = σ² sind.

Um die erwartete Punktzahl des Kurses zu sch¨atzen, schwankt er zwischen vier unterschiedli- chen Ans¨atzen (Sch¨atzfunktionen t₁, t₂, t₃ und t₄):

t₁(X₁, X₂, X₃) = 2

8 ·X₁+ 4

8·X₂+2 8 ·X₃, t₂(X₁, X₂, X₃) = 1

3·(X₁+ 4·X₂+X₃), t₃(X₁, X₂, X₃) = 1

3·(X₁+X₂+X₃), t₄(X₁, X₂, X₃) = 2

8 ·X₁+ 1

4·X₂+4 8 ·X₃.

(a) Zu welcher Art von Sch¨atzern geh¨orent₁,t₂,t₃undt₄? Wie lassen sie sich von der anderen Ihnen bekannten Gruppe von Sch¨atzern abgrenzen? (2 Punkte)

(b) Sie werden bei der Auswahl eines geeigneten Sch¨atzers um Hilfe gebeten. Stellen Sie stichpunktartig die G¨uteeigenschaften von Sch¨atzfunktionen dar. Erl¨autern Sie, inwiefern diese Kriterien bei der Entscheidung f¨ur einen Sch¨atzer eine Rolle spielen. (5 Punkte) (c) Welche der gegebenen Sch¨atzfunktionent₁,t₂,t₃,t₄ist aus statistischer Sicht empfehlens-

wert? Berechnen Sie die ben¨otigten Gr¨oßen. (Hinweis: Wenn Sie die Funktionen genau betrachten, k¨onnen Sie sich das Rechnen vereinfachen.) (13 Punkte)

Aufgabe 4: Sch¨atzen und Testen (20 Punkte)

Studierende des Wirtschaftswissenschaftlichen Bereichs der MLU interessieren sich seit jeher f¨ur die Frage, ob der zweite Klausurtermin

”schwieriger“ als der erste Klausurtermin ist. Um dieser Frage auf den Grund zu gehen, analysierte der Lehrstuhl f¨ur Statistik den Anteil an be- standenen Klausuren im Modul Statistik II in den letzten f¨unf Jahren unter den Studierenden, die ihren ersten Versuch hatten. F¨ur den ersten Klausurtermin ergab die Auswertung einen durchschnittlichen Anteil an bestandenen Klausuren f¨ur den genannten Zeitraum unter den gegebenen Bedingungen von 50%. F¨ur den zweiten Klausurtermin liegen folgende Daten vor.

Daten f¨ur Studierende im ersten Versuch, zweiter Klausurtermin Sommersemester 2010 2011 2012 2013 2014 Anzahl Teilnehmer 79 31 61 105 100

Anzahl Bestanden 53 16 31 45 35

(a) Sch¨atzen Sie aus den Daten den Anteil an bestandenen Klausuren im zweiten Klausur- termin unter den Studierenden, die ihren ersten Versuch hatten.(4 Punkte)

(b) Stellen Sie das Testproblem aus der Sicht eines Studierenden auf. F¨uhren Sie einen geeig- neten Test f¨ur dieses Testproblem zum Niveau von 5% durch. Gehen Sie dazu von einem aus der Stichprobe gesch¨atzten Anteil an bestandenen Klausuren von 46% aus (dies ist nicht notwendig das Ergebnis der Sch¨atzung in Teilaufgabe (a)!). Interpretieren Sie die Testentscheidung inhaltlich.(12 Punkte)

(c) Im Sinne der Gleichbehandlung aller Studierenden ist der Lehrstuhl f¨ur Statistik bestrebt, zu den unterschiedlichen Terminen Klausuren mit gleichen Anforderungen zu stellen. Stel- len Sie das Testproblem aus der Sicht des Lehrstuhls auf. Erkl¨aren Sie z.B. unter Zuhil- fenahme einer Skizze, warum Sie unter den ¨ubrigen Bedingungen von Teilaufgabe (b) zu derselben Entscheidung wie in Teilaufgabe (b) gelangen.(4 Punkte)

Hinweis:

Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Benutzen Sie zur L¨osung die folgenden Tabellen.

Quantile der χ²-Verteilung

χ²_6;0.9 = 10.6446; χ²_6;0.95 = 12.5916; χ²_6;0.99 = 16.8119;

χ²_4;0.9 = 7.7794; χ²_4;0.95 = 9.4877; χ²_4;0.99 = 13.2767;

χ²_2;0.9 = 4.6052; χ²_2;0.95 = 5.9915; χ²_2;0.99 = 9.2103;

Quantile der N(0,1)

p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 z_p 1.2816 1.6449 1.9600 2.3263 2.5758

Aufgabe 5: Querbeet (20 Punkte) Vorname

Nachname

Matrikelnummer

Unterschrift

Wichtige Hinweise: Dieser Bogen (Vor- und R¨uckseite) wird maschinell ausge- wertet. Es werden nur Markierungen innerhalb der K¨astchen ber¨ucksichtigt. Mar- kieren Sie jeweils, ob die angegebene Aussage zutrifft oder nicht (jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung (jeweils 3 Punkte). Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht. Falls Sie korrigieren m¨ussen, schw¨arzen Sie bitte das falsche K¨astchen komplett aus und kreuzen Sie das richtige K¨astchen an.

Begr¨undung Begr¨undung

Beispiel

2

^Richtig

2

^{1 Korrektur}

2

^Richtig

2

¹

2

^Falsch

2

²

2

^Falsch

2

²

2

³

2

³

a) Ein geeignetes Maß, um die Richtung der linearen Abh¨angigkeit zwischen zwei Merkma- len zu messen, ist die Kovarianz. (4 Punkte)

2

^Richtig

2

Die Kovarianz misst die St¨arke der linearen Abh¨angigkeit zweier Zufallsvariablen.

2

^Falsch

2

Eine negative Kovarianz von X und Y deutet daraufhin, dass die Werte von Y mit steigenden Werten vonX wach- sen.

2

Eine negative Kovarianz von X und Y deutet daraufhin, dass die Werte vonY mit steigenden Werten vonX sinken.

b) Stellt man ein zweiseitiges Entscheidungsproblem grafisch dar, wird der Annahmebereich der Nullhypothese von zwei Ablehnungsbereichen eingeschlossen.(4 Punkte)

2

^Richtig

2

In der grafischen Darstellung eines zweiseitigen Entschei- dungsproblems wird der Ablehnungsbereich der Nullhypo- these von zwei Annahmebereichen eingeschlossen.

2

^Falsch

2

Bei einer gerichteten Hypothese wird die Irrtumswahr- scheinlichkeit auf zwei Bereiche verteilt.

2

Bei einer ungerichteten Hypothese wird die Irrtumswahr- scheinlichkeit auf zwei Bereiche verteilt.

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c) F¨ur die stetige Zufallsvariable X gilt bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit:

P(u < X ≤v)6=P(u < X < v) = ^R_u^vf(t)dt. (4 Punkte)

2

^Richtig

2

Bei stetigen Zufallsvariablen ist die Punktwahrscheinlich- keit stets Eins.

2

^Falsch

2

Wahrscheinlichkeiten f¨ur stetige Zufallsvariablen k¨onnen f¨ur Intervalle und einzelne Punkte berechnet werden.

2

^{Hier gilt:P(u < X ≤v) = P}(u < X < v) =P(u≤X < v) P(u≤X ≤v) = F(v)−F(u).

d) Aus einem Skatspiel mit 32 Karten werden ein Ass, zwei Damen und ein K¨onig gezogen.

Es gibt insgesamt³²₄ unterschiedliche Anordnungen der Karten. (4 Punkte)

2

^Richtig

2

Es handelt sich um Ziehen mit Zur¨ucklegen ohne Beachtung der Reihenfolge.

2

^Falsch

2

Es handelt sich um Ziehen ohne Zur¨ucklegen mit Beachtung der Reihenfolge.

2

Es handelt sich um Ziehen ohne Zur¨ucklegen ohne Beach- tung der Reihenfolge.

e) Gegeben sei folgende Grafik, wobei die Buchstaben f¨ur Sportarten stehen, die Studierende aktiv betreiben (F: Fußball,V: Volleyball, S: Schwimmen). Insgesamt betrachtet spielen mehr Studierende Volleyball als Fußball. (4 Punkte)

F V

S

4 5

12 25 18 8 15

13

2

^Richtig

2

Die Menge der Fußballer hat insgesamt mehr Elemente als die Menge der Volleyballer.

2

^Falsch

2

Von den 100 Studierenden spielen 5 Volleyball und nur 4 Fußball.

2

22 Studierende spielen Fußball, aber nicht Volleyball, und 20 spielen Volleyball, aber nicht Fußball.

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