Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker
Sommersemester 2018 20.07.2018
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Matrikelnummer: ...
Bearbeitungszeit: 2 Stunden Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlungen Statistik I und II in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter) Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, Zusatzmaterialien zur Vorlesung, eigene Aufzeichnungen
• Lehrb¨ucher, Verteilungstabellen
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle ¨ f¨ unf Aufgaben enth¨alt.
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 P
erreichbare
Punkte 20 20 20 20 20 100
erreichte
Punkte
Aufgabe 1: Multiple Choice (20 Punkte)
Markieren Sie, ob die folgenden f¨unf Aussagen jeweils zutreffen oder nicht (jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung (jeweils 3 Punkte). Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.
a) Mit dem Experiment “mehrfacher W¨urfelwurf” k¨onnen Wahrscheinlichkeiten f¨ur das Eintreten von Ereignissen beschrieben werden.
Richtig Falsch
F¨ur die Einsch¨atzung der Wahrscheinlichkeiten k¨unftiger Ereignisse k¨onnen die relati- ven H¨aufigkeiten aus fr¨uheren Experimenten nicht herangezogen werden.
Die Wahrscheinlichkeit f¨ur das Eintreten eines EreignissesAbeimn-fachen W¨urfelwurf kann durchP(A) = mn bestimmt werden. Dabei setzt sich Aausm Elementarereignis- sen zusammen.
Das Experiment “mehrfacher W¨urfelwurf” kann durch den Laplace-Ansatz beschrie- ben werden. Damit k¨onnen Wahrscheinlichkeiten durch Ausz¨ahlen bestimmt werden (Anzahl g¨unstiger dividiert durch Anzahl m¨oglicher Elementarereignisse).
b) Ist die Kovarianz zweier Zufallsvariablen X und Y positiv, also Cov(X, Y) > 0, dann ist das ein Hinweis darauf, dass die Variable X die Variable Y beeinflusst. Eine negative Kovarianz hingegen, alsoCov(X, Y)<0, weist auf einen Einfluss von Y auf X hin.
Richtig Falsch
WennCov(X, Y)>0, dann ist Cov(Y, X)<0.
Die Kovarianz gibt keinen Hinweis auf die Richtung, sondern nur auf die St¨arke eines Zusammenhangs.
Aus der Kovarianz kann nicht auf einen kausalen Zusammenhang geschlossen werden.
c) Bei großem Stichprobenumfang nund einem kleinen Umfang der GrundgesamtheitN kann die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung approximiert werden.
Richtig Falsch
Die hypergeometrische Verteilung kann durch die Binomialverteilung approximiert wer- den, wenn Nn <0.05
Die hypergeometrische Verteilung kann durch die Binomialverteilung approximiert wer- den, wenn Nn <0.05
Da bei der hypergeometrischen Verteilung das Ziehen mit Zur¨ucklegen betrachtet wird, kann diese niemals durch die Binomialverteilung approximiert werden.
d) Eine Sch¨atzfunktion wird im statistischen Sinn als geeignet betrachtet, wenn sie den unbekann- ten Parameter mit m¨oglichst geringer Varianz sch¨atzt.
Richtig Falsch
Sch¨atzer mit geringerer Varianz besitzen eine geringere Pr¨azision.
Geeignete Sch¨atzer sind erwartungstreu und besitzen dar¨uber hinaus eine m¨oglichst geringe Varianz.
Das Kriterium der m¨oglichst geringen Varianz muss f¨ur einen geeigneten Sch¨atzer not- wendig zuerst erf¨ullt sein.
e) Die beiden beim Testen generell m¨oglichen Entscheidungen sind, die Nullhypothese anzunehmen oder zu verwerfen.
Richtig Falsch
Nur die Alternativhypothese kann verworfen oder angenommen werden.
Die Nullhypothese kann entweder verworfen oder nicht verworfen werden.
Die beiden m¨oglichen Entscheidungen sind, die Nullhypothese nicht zu verwerfen und die Alternativhypothese nicht zu verwerfen.
Aufgabe 2: Wahrscheinlichkeiten (20 Punkte) Ein Kurznachrichtendienst hat gepostet:
1981: ein englischer Prinz heiratet, Liverpool gewinnt die Champions League, der Papst stirbt.
2005: ein englischer Prinz heiratet, Liverpool gewinnt die Champions League, der Papst stirbt.
2018: ein englischer Prinz heiratet, Liverpool steht im Finale der Champions League, wer sagt dem Papst Bescheid?
In den Jahren 1968-2017 haben 5 Prinzen der englischen K¨onigsfamilie heiratet. Liverpool stand im selben Zeitraum 7 Mal im Finale der Champions League und hat ebendiese 4 Mal gewonnen und 4 P¨apste sind gestorben.
(a) Vervollst¨andigen Sie das Venn-Diagramm: (5 Punkte)
Papst stirbt Prinz heiratet
Liverpool steht im Finale Liverpool gewinnt die Champions League
0 1
0 0
0 0
39
(b) Welche formalen Mengenbeziehungen bestehen zwischen den beiden Ereignissen “Liver- pool gewinnt die Champions League” und “Liverpool steht im Finale”? Woran wird diese Beziehung im Venn-Diagramm deutlich? Was bedeutet diese Beziehung inhaltlich? (5 Punkte)
(c) Welches der beiden Ereignisse “Liverpool gewinnt die Champions League” und “Liverpool steht im Finale” tritt mit gr¨oßerer Wahrscheinlichkeit ein? Beantworten Sie die Frage sowohl formal, als auch mit inhaltlichen Argumenten (bitte nicht rechnen).(5 Punkte) (d) Berechnet man aus den obigen Angaben die Wahrscheinlichkeit, dass der Papst stirbt,
gegeben Liverpool verliert das Champions League Finale, so ergibt sich ein Wert von Null. Ein Papst-Anh¨anger emphiehlt daraufhin den Spielern von Liverpool, im Finale m¨oglichst schlecht zu spielen. Halten Sie diese Empfehlung f¨ur sinnvoll? Begr¨unden Sie Ihre Einsch¨atzung. Warum ist also die von dem Kurznachrichtendienst 2018 gepostete Frage problematisch? (5 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Aufgabe 3: Diskrete Verteilungen (20 Punkte)
In der malerischen Kleinstadt Neu-Brauelsbach kommt es leider immer wieder zu Hochwas- sersch¨aden in der f¨ur den Tourismus wichtigen Innenstadt. Das Auftreten des Hochwassers kann als poissonverteilt angenommen werden; im Durchschnitt tritt alle zehn Jahre ein Hoch- wasser auf.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es im Jahr 2019 zu genau einem Hochwasser kom- men? (6 Punkte)
(b) Neu-Brauelsbach hat im Jahr 1023 die Stadtrechte verliehen bekommen. Aus diesem Grund wird im Jahr 2023, aber auch in den Jahren davor und danach, mit deutlich h¨oheren ¨Ubernachtungszahlen gerechnet. Der B¨urgermeister m¨ochte einen neuen Hoch- wasserschutz genehmigen, wenn die Wahrscheinlichkeit f¨ur mindestens ein Hochwasser im Zeitraum von 3 Jahren (2022-2024) gr¨oßer als 27% ist. Wird der neue Hochwasserschutz bewilligt werden? (6 Punkte)
(c) In welchem Zeitraum betr¨agt die Wahrscheinlichkeit f¨ur mindestens ein Hochwasser 50%
(gerundet auf ganze Jahre)?(8 Punkte)
Hinweis 1:
Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Hinweis 2:
Die Anzahl an Hochwassern innerhalb eines Jahres sind f¨ur aufeinanderfolgende Jahre un- abh¨angig voneinander.
Aufgabe 4Sch¨atzen (20 Punkte)
Im Rahmen einer Jahresveranstaltung kommen die Franchisenehmer eines Lieferdienstes zusam- men. F¨ur Marketingzwecke soll die erwartete Investitionssumme des Franchisesystems gesch¨atzt werden. Dazu werden die tats¨achlichen Investitionskosten von vier zuf¨allig ausgew¨ahlten Fran- chisenehmern betrachtet. Gehen Sie davon aus, dass diese tats¨achlichen Investitionskosten x1, x2, x3, x4Realisationen unabh¨angiger und identisch verteilter Zufallsvariablen (Xi, i= 1,2,3,4) sind, mit E(Xi) = µund V ar(Xi) =σ2.
Zur Sch¨atzung der Investitionssumme des Franchisesystems stehen zwei Sch¨atzfunktionen zur Verf¨ugung:
t1(X1, X2, X3, X4) = 4
7 ·X1 +2
7 ·X2+ 1 7·X4 t2(X1, X2, X3, X4) = 1
5·X1+4 5 ·X3
(a) Sch¨atzen Sie die ¨ubliche Investitionssumme des Franchisesystems. Ermitteln Sie dazu zun¨achst die beste Sch¨atzfunktion. Die H¨ohe der tats¨achlichen Investitionskosten der vier zuf¨allig ausgew¨ahlten Franchisenehmer ist bekannt: x1 = 140 000, x2 = 160 314, x3 = 90 098 undx4 = 147 210 (in Euro). (10 Punkte)
(b) Erl¨autern Sie die allgemeine Problemstellung und das Ziel des statistischen Sch¨atzens.
Grenzen Sie zudem die beiden Ihnen bekannten Arten des Sch¨atzens voneinander ab.(10 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Aufgabe 5: Testen (20 Punkte)
In “Digitalland” generiert jedes IT-Unternehmen durchschnittlich 187.5610 Mio. Electronic- Coin (EC). Eine Stadt, in der zw¨olf der wichtigsten IT-Unternehmen beheimatet sind, ist
“IT-City”. Die Ums¨atze der zw¨olf IT-Unternehmen sind in der folgenden Tabelle dargestellt.
Tabelle 1: Ums¨atze der zw¨olf IT-Unternehmen
Unternehmen 1 2 3 4 5 6
Umsatz in Mio. EC 240.7445 226.3966 182.5951 231.7512 165.9712 214.9477
Unternehmen 7 8 9 10 11 12
Umsatz in Mio. EC 224.1708 227.9036 219.5405 170.1976 245.4164 168.4560 (a) Testen Sie mit einem geeignetem Test zu einem Signifikanzniveau von 5%, ob die IT-
Unternehmen aus “IT-City” im Mittel einen h¨oheren Umsatz als alle anderen Unterneh- men in “Digitalland” generieren. Gehen Sie davon aus, dass die generierten Ums¨atze X zuf¨allig und normalverteilt mit Erwartungswert µ und einer Varianz σ2 sind. Stellen Sie das Testproblem auf und f¨allen Sie eine Testentscheidung. (9 Punkte)
(b) Was w¨urde geschehen, falls in Aufgabe (a) ein zweiseitiger Test durchgef¨uhrt w¨urde?
Zeichnen Sie in die Abbildungen die allgemeine Ver¨anderung des Entscheidungsproblems ein und f¨allen Sie mithilfe des kritischen Wertes eine Entscheidung. (8 Punkte)
(c) Nehmen Sie nun an, dass der Umsatz X nicht normalverteilt ist. K¨onnen Sie zur Beant- wortung von Aufgabenstellung (a) trotzdem einen Test verwenden, der in der Vorlesung vorgestellt wurde? Begr¨unden Sie Ihre Entscheidung. (3 Punkte)
Hilfsgr¨oßen:
s= 29.5077 Hinweis:
Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Verwenden Sie zur L¨osung die Tabellen auf der n¨achsten Seite.
Quantile der N(0,1)
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 zp 1.2816 1.6449 1.9600 2.3263 2.5758
Quantile der t13
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 t13;p 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123
Quantile der t12
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 t12;p 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545
Quantile der t11
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 t11;p 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058
