Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker Sommersemester 2016 29.07.2016

Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker

Sommersemester 2016 29.07.2016

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Matrikelnummer: ...

Bearbeitungszeit: 2 Stunden Erlaubte Hilfsmittel:

• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)

• standardisierte Formelsammlungen Statistik I und II in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter) Nicht zugelassen sind:

• eigenes Papier

• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, Zusatzmaterialien zur Vorlesung, eigene Aufzeichnungen

• Lehrb¨ucher, Verteilungstabellen

Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.

Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle ¨ f¨ unf Aufgaben enth¨alt.

Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!

Aufgabe 1 2 3 4 5

erreichbare

Punkte 20 20 20 20 20 100

erreichte

Punkte

Aufgabe 1: Multiple Choice (20 Punkte)

Markieren Sie, ob die folgenden f¨unf Aussagen jeweils zutreffen oder nicht (jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung (jeweils 3 Punkte). Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.

a) Die hypergeometrische Verteilung ist eine symmetrische Verteilung.

Richtig Falsch

Es h¨angt von der Wahl der Parameter ab, ob die hypergeometrische Verteilung symmetrisch ist.

Das Ziehen ohne Zur¨ucklegen ist ein symmetrischer Vorgang.

Aussagen zur Symmetrie sind bei diskreten Verteilungen nicht m¨oglich.

b) Sind zwei Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabh¨angig, dann ist ρ(X, Y) = 0.

Richtig Falsch

Aus der Unabh¨angigkeit von X und Y folgt nicht notwendigerweise die Unkor- reliertheit beider Zufallsvariablen.

Wenn X und Y stochastisch unabh¨angig sind, so gilt Cov(X, Y) = 0.

Das Konzept der Korrelation und der stochastischen Unabh¨angigkeit h¨angen nicht miteinander zusammen.

c) Zur Sch¨atzung eines unbekannten Parameters θ stehen drei Sch¨atzer (t₁, t₂, t₃) zur Wahl.

Es ist bekannt, dass E(t₁) = ^θ₂, E(t₂) = 0, E(t₃) =θ und V ar(t₁) < V ar(t₂)< V ar(t₃).

Daher sollte zur Sch¨atzung des Parameters der Sch¨atzert₁ verwendet werden.

Richtig Falsch

Der Sch¨atzer t₁ hat die geringste Varianz.

Der Sch¨atzer t₂ hat den geringsten Erwartungswert.

Die Sch¨atzer t₁ und t₂ sind nicht erwartungstreu.

d) Sei X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Es istP(X = 0) = ^√1_2π. Richtig

Falsch

P(X = 0) = 0.

Φ(0) =^R−∞⁰ ϕ(t)dt= 0.5.

ϕ(0) = ^√1_2π, da µ= 0 undσ = 1.

e) Seien A, B, C Teilmengen einer Menge Ω, dann ist (A∩B)^C =A^C∪B^C. Richtig

Falsch

Es gelten die de Morgan’schen Gesetze.

Es gilt das Assoziativgesetz.

Das Kommutativgesetz gilt nicht.

Aufgabe 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung (20 Punkte)

Damit Studierende in den Semesterferien ungest¨ort in der Bibliothek weiter arbeiten k¨onnen und dabei nicht verhungern, hat das Studentenwerk S¨ußigkeitenautomaten an strategisch g¨unsti- gen Orten platziert.

Der am h¨aufigsten verwendete Automat in der N¨ahe des AudiMax ist leider defekt. Wenn man nun Geld einwirft, erh¨alt man seine S¨ußigkeiten nur mit 50% Wahrscheinlichkeit. In 26% der F¨alle, in denen der Automat S¨ußigkeiten ausgibt, hat man Gl¨uck und erh¨alt trotzdem sein Geld zur¨uck. Mit 16% Wahrscheinlichkeit bekommt man zwar nichts zu essen, zugleich wird aber die M¨unze wieder ausgeworfen.

(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass der Automat richtig funktioniert, d.h.

man erh¨alt S¨ußigkeiten und bezahlt daf¨ur? (6.5 Punkte)

(b) Wenn man das Klimpern der M¨unze im R¨uckgabefach bereits geh¨ort hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man trotzdem etwas Essbares erh¨alt? (9.5 Punkte)

(c) Ein Techniker hat den Automaten nun repariert und alle Funktionen sind vollkommen wiederhergestellt. F¨ullen Sie die unten stehende Tabelle mit der gemeinsamen Dichte und den Randdichten der Variablen ’S¨ußigkeiten bekommen’ und ’M¨unze vom Automa- ten angenommen’, die Sie in diesem Fall erwarten. Begr¨unden Sie Ihre Entscheidung.(4 Punkte)

Hinweise:

Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

S¨ußigkeiten bekommen

Ja Nein f_X(x_i)

M¨unze vom Ja

Automaten angenommen Nein f_Y(y_j)

Aufgabe 3: Eindimensionale Zufallsvariablen (20 Punkte)

Auf dem Weg zur Arbeit radelt Herr Wetz an vier Kreuzungen vorbei. An jeder Kreuzung regelt eine Ampel, unabh¨angig von den anderen, den Verkehr. Jede Ampel erlaubt oder verhindert die Weiterfahrt mit einer Wahrscheinlichkeit von je 50 Prozent. Herr Wetz fragt sich, an wie vielen Ampeln er vorbei f¨ahrt, bis er zum ersten Mal auf Grund eines Lichtsignals halten muss.

(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass Herr Wetz genau 3 Ampeln passieren kann ohne zu halten? Verdeutlichen Sie Ihren L¨osungsweg. (4 Punkte)

(b) Definieren Sie f¨ur die beschriebene Situation die betrachtete Zufallsvariable und veran- schaulichen Sie die zugeh¨orige Dichtefunktion grafisch. Wo vermuten Sie die Position des Erwartungswertes von X? (5 Punkte)

(c) Nun interessiert Herrn Wetz die Zeit, die er regelm¨aßig an einer Schranke halten muss.

Die Verteilung der Zufallsvariablen Y (Haltezeit in Minuten) sei stetig und folge der Dichtefunktion

f(y, c) =

( c·(y−2) ,2≤y≤3 0 , sonst

Bestimmen Sie die zugeh¨orige Verteilungsfunktion von Y f¨ur c = ⁵⁴₂₇. Erl¨autern Sie zun¨achst Ihr Vorgehen.(6 Punkte)

(d) In der Zeitung las Herr Wetz, dass die durchschnittliche Haltezeit an jener Schranke 160 Sekunden betr¨agt. ¨Uberpr¨ufen Sie diese Aussage rechnerisch. (5 Punkte)

Hinweis:

Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Aufgabe 4: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (20 Punkte)

Ein kleines Unternehmen m¨ochte zu Werbezwecken eine Facebook-Seite erstellen. Dort sollen Beitr¨age ver¨offentlicht werden, die seine Produkte vorstellen, aber auch weitere n¨utzliche In- formationen f¨ur die Kunden enthalten. Eine wichtige Kennzahl f¨ur die Erfolgsmessung solcher Seiten ist die Anzahl an Interaktionen mit den ver¨offentlichten Beitr¨agen. Die Annahme hier- bei ist, dass die Wirkung der Beitr¨age als Werbeinstrumente umso st¨arker ist, je h¨aufiger die Kunden mit den Beitr¨agen interagieren.

Um ein Gef¨uhl daf¨ur zu bekommen, mit welchen Mitteln man diese Kennzahl beeinflussen kann, hat das Unternehmen einen Praktikanten damit beauftragt, die Facebook-Seite des di- rekten Konkurrenten unter die Lupe zu nehmen und verschiedene Merkmale der ver¨offentlichten Beitr¨age zu erfassen. Die folgende Tabelle gibt die zweidimensionale Verteilung der Varia- blen ’Anzahl von Interaktionen’ (X) und ’Anzahl von Fotos im Beitrag’ (Y) wieder. Um die

¨Ubersichtlichkeit zu wahren, wurden die Wertebereiche klassiert und jeweils Klassenmitten als Repr¨asentanten in der Tabelle verwendet.

Anzahl Interaktionen X

30 350 gesamt

Anzahl Fotos Y

0 40 0 40

2 110 20 130

7 50 100 150

gesamt 200 120 320

(a) Wie hoch ist die erwartete Anzahl an Interaktionen pro Beitrag? Berechnen Sie hierzu die Randdichte vonX. (4 Punkte)

(b) Um Ihnen einen Kredit zu gew¨ahren, erwartet eine Crowdfunding-Gemeinschaft einen Nachweis, dass die erwartete Anzahl an Interaktionen Ihrer Beitr¨age mindestens auf einer gegebenen H¨ohe liegt. Dieser Nachweis soll mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit gef¨uhrt werden. Mit welcher Ihnen bekannten Methode k¨onnen Sie den Nachweis f¨uhren? Wie w¨urden Sie dabei vorgehen? (Bitte nur argumentieren, nicht rechnen!)(6 Punkte)

(c) Verschiedene Eigenschaften von Beitr¨agen (z.B. L¨ange, Fotoanzahl, Schreibstil, verwen- dete Smileys usw.) k¨onnen einen Einfluss darauf haben, wie stark damit interagiert wird.

¨Uberpr¨ufen Sie anhand der Daten in der oben angegebenen Tabelle, ob die Variablen X (Anzahl Interaktionen) und Y (Anzahl Fotos) voneinander unabh¨angig sind, indem Sie die Kovarianz zwischen X und Y bestimmen. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis inhaltlich.

Wo sehen Sie Schwierigkeiten bei der Interpretation? Schlagen Sie einen L¨osungsansatz daf¨ur vor.(10 Punkte)

Hinweise:

Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Aufgabe 5: Diskrete Verteilungen (20 Punkte)

In einem mittelst¨andischen Unternehmen haben sich f¨ur die Arbeit an einem Projekt 10 Mit- arbeiter beworben, von denen 4 bereits Erfahrungen in ¨ahnlichen Projekten sammeln konnten.

Per Losentscheid werden 6 Mitarbeiter aus den Bewerbern f¨ur das Projekt ausgew¨ahlt.

(a) Durch welche Modellsituation (d.h., durch welche Verteilung mit welchen Parametern) l¨asst sich die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass genau ein erfahrener Mitarbeiter am Projekt beteiligt sein wird, beschreiben und warum? (3 Punkte)

(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein erfahrener Mitarbeiter am Projekt beteiligt sein wird. (5 Punkte)

(c) Wie viele erfahrene Mitarbeiter m¨ussten sich bewerben, damit die Wahrscheinlichkeit, dass zwei erfahrene Mitarbeiter am Projekt beteiligt sein werden, gleich¹⁄³ist? Gehen Sie f¨ur Ihre Berechnungen davon aus, dass (^N−M4 )

(^N6) = ¹³. (6 Punkte)

(d) Wie viele Mitarbeiter m¨ussten sich insgesamt bewerben, damit im Mittel mit 2 erfahrenen Mitarbeitern im Projekt zu rechnen ist? Hierbei wird unterstellt, dass der Anteil der erfahrenen Bewerber an der Gesamtanzahl der Bewerber nicht konstant ist. Vielmehr wird angenommen, dass f¨ur die Anzahl der erfahrenen Bewerber (M) in Abh¨angigkeit von der Gesamtanzahl der Bewerber (N) folgender Zusammenhang gilt: M = N^0.8. (6 Punkte)

Hinweise:

• Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf.

auf 4 Nachkommastellen.

• Beachten Sie, dass ⁿ_k= ⁿ₁ · ⁿ⁻¹₂ · · ·^n−(k−1)_k .

• Zur Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion kann folgende Formel ver- wendet werden: x_1,2 =−^p₂ ±

r _p

2

2

−q.