L¨ osung zur Klausur zu Statistik II
Prof. Dr. Claudia Becker Sommersemester 2019
26.07.2017
Aufgabe 1: Multiple Choice (20 Punkte)
Markieren Sie, ob die folgenden f¨unf Aussagen jeweils zutreffen oder nicht (jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung (jeweils 3 Punkte). Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.
(a) FallsB ⊆A ist, dann istP(B)≥P(A).
Richtig X Falsch
Die Menge B enth¨alt mindestens so viele Elementarereignisse wie die Menge A.
X Die Menge A enth¨alt mindestens so viele Elementarereignisse wie die Menge B.
Die Menge B enth¨alt mehr Elementarereignisse als die Menge A.
(b) WennX∼P oi(λ), dann istP(X = 6)>0.
X Richtig Falsch
Ob P(X= 6)>0, h¨angt von der Stichprobengr¨oße ab.
Die Punktwahrscheinlichkeit ist immer Null.
X f(xi) = λxxi
i!e−λ >0.
(c) SeienA und B Komplement¨arereignisse, dann gilt P(A∪B) =P(A) +P(B).
X Richtig Falsch
Es gilt P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) mit P(A6=B) = 0.
X F¨ur B =AC gilt P(A∩B) = 0.
F¨ur B =AC gilt P(A∪B) = 0.
d) Die Begriffe Vertrauenswahrscheinlichkeit und Signifikanzniveau sind Synonyme.
Richtig X Falsch
Signifikanzniveau und Vertrauenswahrscheinlichkeit sind alternative Begriffe f¨ur denselben Sachverhalt und treffen eine Aussage ¨uber die Pr¨azision einer Inter- vallsch¨atzung.
X Die Vertrauenswahrscheinlichkeit, das sogenannte Konfidenzniveau, und das Signi- fikanzniveau addieren sich zu 100%.
Die Vertrauenswahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein un- bekannter Parameter im Signifikanzbereich, dem sogenannten Signifikanzniveau, liegt.
(e) Mit dem χ2-Unabh¨angigkeitstest k¨onnen nur zwei diskrete Zufallsvariablen betrachtet wer- den, jedoch nicht zwei stetige Zufallsvariablen.
Richtig X Falsch
X Die Durchf¨uhrung desχ2-Unabh¨angigkeitstests mit stetigen Zufallsvariablen ist m¨oglich, da ihre Auspr¨agungen diskretisierbar sind.
Eine Voraussetzung desχ2-Unabh¨angigkeitstests ist unter anderem die M¨oglichkeit der Dar- stellung in einer Kontingenztafel; dies ist nicht mit diskreten Zufallsvariablen m¨oglich.
Zur Betrachtung zweier Zufallsvariablen X und Y sollte vor der Durchf¨uhrung des χ2- Unabh¨angigkeitstests ein Test auf einen Anteil durchgef¨uhrt werden.
Aufgabe 2: (insgesamt 20 Punkte) Aufgabe 2 (a):(insgesamt 7 Punkte)
• geg.: P(> 60) = 0.3331, P(> 60∩U) = 0.1299, P(CDU) = 0.226 und P(CSU) = 0.063, dabei steht U f¨ur das Ereignis Union (CDU/CSU) gew¨ahlt (1 Punkt)
• ges.: P(>60|U) (1 Punkt)
• P(U) =P(CDU) +P(CSU) = 0.226 + 0.063 = 0.289 (2 Punkte)
• P(>60|U) = P(>60∩U)P(U) = 0.12990.289 = 0.4495 (2 Punkte)
• Mit einer Wahrscheinlichkeit von 44.95% ist ein Unionsw¨ahler ¨uber 60 Jahre alt.
(1 Punkt)
Aufgabe 2 (b): (insgesamt 7 Punkte)
• geg.: P(G∩18−29) = 0.0486, P(G) = 0.205, P(18−29) = 0.1677 (1 Punkt)
• ges.: P(18−29|GC) (1 Punkt)
• P(GC) = 1−P(G) = 0.795 (1 Punkt)
• P(18−29|GC) = P(18−29)−P(18−29|G)·P(G)
P(GC) = P(18−29)−PP(G(18−29∩G)C) (2 Punkt)
• = 0.1498 (1 Punkt)
• Mit einer Wahrscheinlichkeit von 14.98% ist eine Person, die nicht die Gr¨unen gew¨ahlt hat, zwischen 18 und 29 Jahren alt. (1 Punkt)
Aufgabe 2 (c):(insgesamt 6 Punkte)
• geg.: P(30−44) = 0.2201, P(SP D|45−49) = 0.14 (1 Punkt)
• ges.: P(SP D∩45−59) (1 Punkt)
• P(45−59) = 1−(P(18−29) +P(20−44) +P(>60)) = 0.2791 (1 Punkt)
• P(SP D|45−59) = P(SP D∩45−59)
P(45−59) (1 Punkt)
• P(SP D∩45−59) =P(SP D|45−59)·P(45−59) = 0.0391 (1 Punkt)
• Mit einer Wahrscheinlichkeit von 3.91% ist eine Person SPD-W¨ahler und gleichzeitig zwischen 45 und einschließlich 59 Jahren alt. (1 Punkt)
Aufgabe 3: Diskrete Verteilungen (20 Punkte) Aufgabe 3 (a):(insgesamt 6 Punkte)
X ∼N(0.5,16)(1 Punkt)
P(X >3) = 1−P(X ≤3) (0.5 Punkt)
P(X >3) = 1−Φ
3−0.5 4
(1 Punkt)
P(X >3) = 1−Φ(0.625) (0.5 Punkt)
P(X >3) = 1−0.7340 (1 Punkt)
P(X >3) = 0.2660 (1 Punkt)
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass der DAX innerhalb von einem Monat um mehr als 3% steigt, betr¨agt 27%. (1 Punkt)
Aufgabe 3 (b): (insgesamt 11 Punkte)
Wahrscheinlichkeit f¨ur einen Anstieg um mehr als 3%:
Aus 3 (a): P(X >3) = 0.2660 (1 Punkt)
Wahrscheinlichkeit f¨ur Kursverluste:
P(X <0) =P(X ≤0) (0.5 Punkte)
P(X <0) = Φ
0−0.5 4
(1 Punkt)
P(X <0) = Φ(−0.125) (0.5 Punkte) P(X <0) = 1−Φ(0.125) (1 Punkt) P(X <0) = 1−0.5497 (1 Punkt)
P(X <0) = 0.4503 (1 Punkt)
Wahrscheinlichkeit f¨ur eine Kursentwicklung zwischen 0% und 3%:
P(0≤X ≤3) = 1−P(X <0)−P(X >3) (0.5 Punkt) P(0≤X ≤3) = 1−0.2660−0.4503 (0.5 Punkt)
P(0≤X ≤3) = 0.2837 (1 Punkt)
Errechnen der WS f¨ur einen Stammtischbesuch mithilfe des Satzes der totalen Wahrschein- lichkeit:
P(A) = Pki=1P(A|Bi)·P(Bi) (1 Punkt) A = Stammtischbesuch
B1 = Kursverluste
B2 = Kursanstieg zwischen 0% und 3%
B3 = Kursanstieg von mehr als 3%
P(A) = 0.4503·0.2 + 0.2837·0.4 + 0.2660·0.65 = 0.3764 (1 Punkt)
Die Wahrscheinlichkeit f¨ur einen Stammtischbesuch betr¨agt ca. 38%. (1 Punkt)
Falls mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten gerechnet wird:(h¨ochstens 6 Punkte)
P(X <0) = 0.25 (1 Punkt)
P(0≤X ≤3) = 0.5 (1 Punkt)
P(X >3) = 0.25 (1 Punkt)
Errechnen der WS f¨ur einen Stammtischbesuch mithilfe des Satzes der totalen Wahrschein- lichkeit:
P(A) = Pki=1P(A|Bi)·P(Bi) (1 Punkt) A = Stammtischbesuch
B1 = Kursverluste
B2 = Kursanstieg zwischen 0% und 3%
B3 = Kursanstieg von mehr als 3%
P(A) = 0.25·0.2 + 0.5·0.4 + 0.25·0.65 = 0.4125 (1 Punkt)
Die Wahrscheinlichkeit f¨ur einen Stammtischbesuch betr¨agt ca. 41%. (1 Punkt)
Aufgabe 3 (c):(insgesamt 3 Punkte)
Die Anzahl der Stammtischteilnahmen ist binomialverteilt (1 Punkt) mit p = 0.3775 (1 Punkt) und n= 12. (1 Punkt)
ODER:
Wenn Y = Anzahl der Stammtischteilnahmen in einem Jahr, ist Y ∼ Bin(12,0.3775). (3 Punkte)
Aufgabe 4 (a):(insgesamt 10 Punkte)
Erfrischungsgeld X als normalverteilte Zufallsvariable X ∼ N(µ, σ2) wobei σ2 und µunbe- kannt sind
(1 Punkt)
Gesucht: 0.99-Konfidenzintervall f¨ur µ. (1 Punkt)
Im Normalverteilungsfall mit unbekannter Varianz ist
"
X− S
√n ·tn−1;1−α
2;X+ S
√n ·tn−1;1−α
2
#
(1 Punkt)
ein (1−α)-Konfidenzintervall f¨urµ.
X = n1 ·Pni=1xi = 30.8(1 Punkt)
S =qn−11 Pni=1(Xi−X)2 ≈11.6749 (2 Punkte)
Mitt29,0.995 = 2.7564 (1 Punkt)ergibt sich das 0.99-Konfidenzintervall f¨ur µals
"
30.8− 11.6749
√30 ·2.7564; 30.8 + 11.6749
√30 ·2.7564
#
(1 Punkt)
[24.9247; 36.6752] (1 Punkt)
Mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit liegt das erwartete Erfrischungsgeld im Bereich von 24.92 bis 36.67 Euro. (1 Punkt).
Aufgabe 4 (b): (insgesamt 6 Punkte)
• Erwartungstreue und geringe Varianz(2 Punkte)
• Ein Sch¨atzer, der nicht erwartungstreu ist, liefert im Mittel das falsche Ergebnis. Die Wahlvorhersage ist also verzerrt.(2 Punkte)
• Mit einem erwartungstreuen Sch¨atzer mit hoher Varianz wird das Wahlergebnis im Mittel korrekt vorhergesagt, einzelne Vorhersagen k¨onnen allerdings weit vom wahren Wahlergebnis entfernt liegen.(2 Punkte)
Aufgabe 4 (c):(insgesamt 4 Punkte) Beispiel:
Die ABC-Partei liegt nach ersten Hochrechnungen bei 17% Stimmanteil (Punktsch¨atzer: 1 Punkt). Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%(Angabe der Wahrscheinlichkeit: 1 Punkt)wird das Wahlergebnis zwischen 15.4 und 18.6 Prozent (Angabe der Intervallgrenzen: 1 Punkt;
Punktsch¨atzer liegt innerhalb des Interwalls: 1 Punkt) liegen.
Aufgabe 5: (insgesamt 20 Punkte) Aufgabe 5 (a):(insgesamt 5 Punkte)
• ges.: ˆp= ¯x, da erwartungstreuer Sch¨atzer mit geringster Varianz f¨ur µ(2 Punkte)
• x¯= n1 Pni=1xi (1 Punkt)
• x¯= 33341 ·175 = 0.0525 (1 Punkt)
• Man kann erwarten, dass die Partei 5.25% der Stimmen bei der s¨achsischen Landtags- wahl bekommt.(1 Punkt)
Aufgabe 5 (b): (insgesamt 11 Punkte)
• Test auf einen Anteil (1 Punkt)
• Testproblem: H0 :p≤p0vs.H1 :p > p0 mit p0 = 0.05 (1 Punkt)
• Teststatisitk:√
n· x¯−p0
qp0·(1−p0)
(1 Punkt)
=√
3334· 0.052−0.05
q
0.05·(0.95)
(2 Punkte)
=√
3334· 0.002
√0.0475
!
= 0.5299 (1 Punkt)
• Entscheidungsregel: VerwerfeH0, falls√
n· x¯−p0
qp0·(1−p0)
> z1−α (1 Punkt)
• Kritischer Wert:
Signifikanzniveau α= 0.05→z1−α =z1−0.05=z0.95= 1.6449 (1 Punkt)
• Testentscheidung:
0.5312≯1.6449 , damit kann H0 nicht verworfen werden. (1 Punkt)
Anhand der Stichprobe erh¨alt die Partei “WirliebenunserLand” zu einem Niveau von 5% nicht mehr als 5% der Stimmen .(2 Punkte)
Aufgabe 5 (c):(insgesamt 4 Punkte)
• Fehler 1. Art(1 Punkt), dass heißt man sichert sich dagegen ab, dass man H0 verwirft, obwohlH0 gilt. (1 Punkt)
• Bei Entscheidungen gegen H0 und damit f¨ur H1 spricht man von einem signifikanten Ergebnis.(2 Punkte)
