Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker
Sommersemester 2017 21.09.2017
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Matrikelnummer: ...
Bearbeitungszeit: 2 Stunden Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlungen Statistik I und II in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter) Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, Zusatzmaterialien zur Vorlesung, eigene Aufzeichnungen
• Lehrb¨ucher, Verteilungstabellen
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle ¨ f¨ unf Aufgaben enth¨alt.
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 P
erreichbare
Punkte 20 20 20 20 20 100
erreichte
Punkte
Aufgabe 1: Multiple Choice (20 Punkte)
Markieren Sie, ob die folgenden f¨unf Aussagen jeweils zutreffen oder nicht (jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung (jeweils 3 Punkte). Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.
a) FallsP(A) =P(A∩B1)∪P(A∩B2)∪P(A∩B3) undB1, B2, B3 paarweise disjunkt sind, dann istP(A) =P(A|B1)·P(B1) +P(A|B2)·P(B2) +P(A|B3)·P(B3).
Richtig Falsch
Denn P(A) = P(A∩B1) +P(A∩B2) +P(A∩B3).
DennP(A) =P(A) +P(B1)−P(A∩B1) +P(A) +P(B2)−P(A∩B2) +P(A) + P(B3)−P(A∩B3).
Denn der Produktsatz kann nicht verwendet werden, da B1, B2, B3 paarweise disjunkt sind.
b) F¨ur eine diskrete Zufallsvariable ist die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert an- zunehmen, gleich Null.
Richtig Falsch
Bei diskreten Zufallsvariablen kann nur die Wahrscheinlichkeit f¨ur ein bestimmtes Intervall bestimmt werden.
Bei stetigen Zufallsvariablen ist die Punktwahrscheinlichkeit gleich Null.
Bei stetigen und diskreten Zufallsvariablen k¨onnen Punktwahrscheinlichkeiten bestimmt werden.
c) Unter gewissen Voraussetzungen kann die hypergeometrische Verteilung durch die Bino- mialverteilung approximiert werden.
Richtig Falsch
Die hypergeometrische Verteilung kann unter gewissen Voraussetzungen durch die geometrische Verteilung approximiert werden.
Die hypergeometrische Verteilung h¨angt nicht mit der Binomialverteilung zusam- men.Die hypergeometrische Verteilung kann durch die Binomialverteilung approxi- miert werden, wenn Nn klein genug ist.
d) Der Erwartungswert einer Sch¨atzfunktion ist zuf¨allig.
Richtig Falsch
Der Sch¨atzer ist eine Zufallsvariable, der Erwartungswert dagegen fest.
Der Erwartungswert ist abh¨angig von der jeweiligen Stichprobe.
Der Erwartungswert ist immer 1.
e) Intervallsch¨atzer treffen Aussagen ¨uber die Genauigkeit der Sch¨atzung.
Richtig Falsch
Intervallsch¨atzer treffen eine Aussage ¨uber den Bereich, in dem sich der interes- sierende Parameter nicht befindet.
Die Breite des Intervallsch¨atzers gibt Auskunft ¨uber die Qualit¨at des Stichpro- benumfangs.
Intervallsch¨atzer treffen eine Aussage ¨uber den Bereich, der den interessierenden Parameter mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ¨uberdeckt.
Aufgabe 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung (20 Punkte)
Zum Zweck der Vorbereitung auf die Klausur Statistik II hat sich Paul, Student der Wirt- schaftswissenschaften im Bachelorprogramm 180LP im 4. Fachsemester, eine Aufgabe ¨uberlegt.
In den vergangenen Semestern hat er 60% seiner Klausuren bestanden. Von den Vorklausuren hat er 75% bestanden. F¨unf Vorklausuren hat Paul nicht bestanden. Nur in Statistik I hat er danach die eigentliche Klausur trotzdem bestanden. Da Paul ein vorbildlicher und ¨uberaus engagierter Student ist, hat er alle Vorlesungen, ¨Ubungen und Tutorien besucht. Die aktuellen
¨Ubungsbl¨atter hat er immer vorbereitend gel¨ost.
(a) Stellen Sie die Daten in einer 2x2-Kontingenztafel mit den Dimensionen ’Vorklausur be- standen’ (Ja/Nein) und ’Klausur bestanden’ (Ja/Nein) in relativen H¨aufigkeiten dar.
Verwenden Sie hierzu die unten stehende Vorlage. (8.5 Punkte)
(b) Paul wohnt wie viele seiner Kommilitonen in einer WG. Seine Mitbewohner kennen Paul noch nicht so gut, da er erst vor kurzem eingezogen ist. Seit Bestehen der WG wetten die Bewohner auf ihre Klausurergebnisse. Der Verlierer muss einen Kasten Bier spendieren.
Paul wettet darauf, dass er die Klausur besteht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Paul die Klausur tats¨achlich besteht, wenn er unterstellen kann, die Vorklausur bestanden zu haben?(6 Punkte)
(c) Die Vorklausur konnte auf Grund von Formfehlern nicht ausgewertet werden. Obwohl er sich am Morgen der Klausur Statistik II gar nicht gut f¨uhlte, hat Paul die Klausur geschrie- ben und bestanden. Er schrieb die Klausur mit, weil eine WG-Wettregel lautet: Wer sich krank schreiben l¨asst, muss eine Flasche Whiskey f¨ur die WG-Klausurenendeparty kaufen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Vorklausur bestanden h¨atte?(5.5 Punkte)
Hinweise:
Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Vorklausur bestanden
Ja Nein
Klausur Ja
bestanden
Nein
Aufgabe 3: Diskrete Verteilung (20 Punkte)
Russisch Roulette ist ein Spiel, das angeblich in der zaristischen Armee im 19. Jahrhundert gespielt wurde. Die Soldaten sollen aus Langeweile einen Revolver genommen, ihn mit einer Kugel gef¨ullt, an den Kopf gehalten und den Abzug gedr¨uckt haben. Ein normaler Revolver fasst bis zu sechs Kugeln. Max und Tobias kommen auf die Idee, ein ¨ahnliches Spiel mit Spiel- zeugrevolver und Platzpatronen zu spielen. Max l¨adt den Revolver mit zwei Platzpatronen, dreht die Trommel und zielt in die Luft.
(a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Patrone mit lautem Knall zerplatzt, wenn Max dreimal hintereinander abdr¨uckt, ohne nachzuladen und ohne die Trommel von Neuem zu drehen? (7 Punkte)
(b) Welche diskrete Verteilung w¨urde vorliegen, falls Max dreimal schießt und nach jedem Schuss nachladen und die Trommel erneut drehen w¨urde? Welche Werte w¨urden die Pa- rameter annehmen?(3 Punkte)
(c) Der bis jetzt verwendete Revolver wird gegen einen anderen ausgetauscht, der mit 12 Platzpatronen geladen werden kann. Tobias l¨adt den Revolver wieder mit zwei Platzpa- tronen. Wie oft m¨usste Tobias mindestens schießen,ohne nachzuladen und ohne die Trom- mel zu drehen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Platzpatrone z¨undet, gr¨oßer als 70% ist. (Beachten Sie: Formen Sie die ermittelte Gleichung so um, dass Sie eine quadratische Ungleichung erhalten. Nutzen Sie die p-q Formel und ¨uberpr¨ufen Sie, f¨ur welchen ganzzahligen Stichprobenumfang die Ungleichung erf¨ullt ist.) (10 Punkte) Hinweis:
• Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf.
auf 4 Nachkommastellen.
• nk= k!(n−k)!n!
• n! =n·(n−1)! =n·(n−1)·(n−2)! =. . .
• x1,2 =−p2 ±q(p2)2−q
Aufgabe 4: Normalverteilung (20 Punkte)
Der j¨ahrlich Pro-Kopf-Verbrauch von Speiseeis in Litern in Deutschland ist eine normalverteilte Zufallsgr¨oße, wobei µ= 7.5 und σ = 1.25 ist. Nehmen Sie an, dass es in Halle 11.500 Familien gibt. Eine Mehrkindfamilie besteht aus zwei Erwachsenen und mehr als drei Kindern. Gehen Sie in der Klasse ”5 und mehr Kinder”von durchschnittlich 7 Kindern aus.
Anzahl der minderj¨ahrigen Kinder (X)
1 2 3 4 5 und mehr
Anteil der Familien in % (Y) 53 36 8 2 1
(a) Wie viele Familienmitglieder hat eine durchschnittliche hallesche Mehrkindfamilie? Wie viel Speiseeis konsumiert eine hallesche Mehrkindfamilie pro Jahr? In welchem Bereich liegt deren Speiseeisverbrauch mit 97% Wahrscheinlichkeit? Die Varianz des Speiseeisver- brauchs der durchschnittlichen Mehrkindfamilie liegt dabei bei 10.9375.(13 Punkte) (b) In den Medien wird viel ¨uber steigende Milchpreise berichtet. Was erwarten Sie als Re-
sultat daraus f¨ur die Verteilung des Pro-Kopf-Verbrauchs an Speiseeis? Stellen Sie Ihre Vermutung in einer Skizze graphisch dar.(7 Punkte)
Hinweise:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Quantile der N(0,1)
p 0.95 0.955 0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 zp 1.6449 1.6954 1.7507 1.8119 1.8808 1.9600 2.0537 2.1701 2.3263 2.5758
Aufgabe 5: Testen (20 Punkte)
Ein Student fragt sich, da er bisher immer in demselben Raum durch Pr¨ufungen gefallen ist, ob der Raum einen Einfluss auf das Bestehen einer Klausur hat. Hierzu nutzt er die ihm bekannten Ergebnisse der letzten Klausur. Er weiß, dass insgesamt 350 Studenten an der Klausur teilge- nommen haben. Die Quote des Bestehens lag bei 62%. Davon saßen 78 Personen im Audimax und 49 im HS XX. Insgesamt saßen 117 Personen im Audimax, 64 im HS XXII und 76 im HS XXIII. Außerdem sind im HS XXII 43,75% der teilnehmenden Personen durchgefallen.
(a) Stellen Sie das Testproblem auf. F¨uhren Sie einen geeigneten Test zum Niveau von 5%
durch. Wie lautet die Testentscheidung?(14 Punkte)
(b) Was w¨urde geschehen, wenn der Test in (a) zu einem Niveau von 1% durchgef¨uhrt w¨urde?(3 Punkte)
(c) Beschreiben Sie den Fehler 1. und 2. Art. Welche Fehlerwahrscheinlichkeit wird beim statistischen Testen kontrolliert?(3 Punkte)
Hinweise:
• Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf.
auf 4 Nachkommastellen.
• Verwenden Sie zur L¨osung folgende Tabellen.
Quantile der N(0,1)
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 zp 1.2816 1.6449 1.9600 2.3263 2.5758
Quantile der χ2-Verteilung
χ26;0.9 = 10.6446; χ26;0.95 = 12.5916; χ26;0.99 = 16.8119;
χ24;0.9 = 7.7794; χ24;0.95 = 9.4877; χ24;0.99 = 13.2767;
χ23;0.9 = 6.2514; χ23;0.95 = 7.8147; χ23;0.99 = 11.3449;
χ22;0.9 = 4.6052; χ22;0.95 = 5.9915; χ22;0.99 = 9.2103;
