Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker Sommersemester 2018 21.09.2018

Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker

Sommersemester 2018 21.09.2018

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Bearbeitungszeit: 2 Stunden Erlaubte Hilfsmittel:

• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)

• standardisierte Formelsammlungen Statistik I und II in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter) Nicht zugelassen sind:

• eigenes Papier

• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, Zusatzmaterialien zur Vorlesung, eigene Aufzeichnungen

• Lehrb¨ucher, Verteilungstabellen

Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.

Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle ¨ f¨ unf Aufgaben enth¨alt.

Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!

Aufgabe 1 2 3 4 5

erreichbare

Punkte 20 20 20 20 20 100

erreichte

Punkte

Aufgabe 1: Multiple Choice (20 Punkte)

Markieren Sie, ob die folgenden f¨unf Aussagen jeweils zutreffen oder nicht (jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung (jeweils 3 Punkte). Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.

(a) Ein aus statistischer Sicht geeigneter Punktsch¨atzer sollte nach M¨oglichkeit erwartungs- treu sein.

Richtig Falsch

Diese Aussage gilt nur f¨ur Intervallsch¨atzer.

Ein erwartungstreuer Sch¨atzer sch¨atzt den unbekannten Parameter im Mittel korrekt.

Eine Sch¨atzfunktion gilt nur dann als geeignet, wenn sie die Bedingung der Va- rianzgleichheit erf¨ullt.

(b) Bei einem Wurf mit 5 W¨urfeln (gleichzeitig) sei Y die Anzahl an gew¨urfelten Einsen. Es gilt: Y ∼Bin(5,¹₆).

Richtig Falsch

Y ∼Bin(1,¹₆), da nur einmal gew¨urfelt wird, handelt es sich um eine Bernoulli- Verteilung.

Y ∼Hyp(5,1,6), da f¨unf W¨urfel geworfen werden, jeder W¨urfel eine interessie- rende Seite (die Eins) besitzt und insgesamt 6 Seiten hat. Die W¨urfel werden zudem nicht zur¨uckgelegt.

Die W¨urfel sind unabh¨angig voneinander.

(c) Gegeben sei die Dichtefunktion der Zufallsvariable X f(x) =







1 ,0≤x≤ 1 0 , sonst Der Erwartungswert betr¨agt E(X) = 0.

Richtig Falsch

R+∞

−∞ x·f(x)dx = 0.5.

Die Punktwahrscheinlichkeit ist Null.

Die stetige Gleichverteilung ist symmetrisch um Null, daher ist E(X) = 0.

(d) Eine Laplace-Wahrscheinlichkeit f¨ur ein Ereignis A resultiert aus einem Zufallsexperi- ment, bei dem die Wahrscheinlichkeiten aller m¨oglichen Ergebnisse gleich sind.

Richtig Falsch

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit entspricht in diesem Fall der Anzahl der f¨ur A g¨unstigen Elementarereignisse, dividiert durch die Anzahl m¨oglicher Elementa- rereignisse.

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit entspricht in diesem Fall der Anzahl m¨oglicher Elementarereignisse, dividiert durch die Anzahl der f¨ur A g¨unstigen Elementa- rereignisse.

Die Elementarereignisse k¨onnen auch mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten auftreten.

(e) Ein statistischer Test f¨ur das Testproblem H0 vs.H1 heißt Test zum Niveau α, wenn f¨ur einen vorgegebenen Wert von α, 0 < α < 1, gilt, dass die Wahrscheinlichkeit f¨ur den Fehler 1. Art kleiner oder gleich α ist.

Richtig Falsch

Ein statistischer Test f¨ur das Testproblem H0 vs. H1 heißt Test zum Niveau α, falls gilt: P(Entscheidung f¨ur H1|H0 ist wahr) ≤α.

Ein statistischer Test f¨ur das Testproblem H0 vs. H1 heißt Test zum Niveau α, falls gilt: P(Entscheidung f¨ur H1|H0 ist wahr) ≥α.

Ein statistischer Test f¨ur das Testproblem H0 vs. H1 heißt Test zum Niveau α, falls gilt: P(Entscheidung f¨ur H0|H1 ist wahr) ≤α.

Aufgabe 2: Wahrscheinlichkeiten (20 Punkte)

Der “Die ¨Arzte” Fan G¨unter (53) hat erfahren, dass “Die ¨Arzte” ihr Erscheinen bei dem Festival

“Rock im Park” 2019 (07.06. bis 09.06.2019) angek¨undigt haben. G¨unter hat sofort beim Kar- tenvorverkauf zugeschlagen und Karten f¨ur sich und seine Frau Sieglinde (54) f¨ur das gesamte Festival in der N¨ahe von N¨urnberg gekauft, Camping im Park inklusive. G¨unters Frau Sieglinde hat allerdings Bedenken wegen der zu erwartenden Kombination von Wetter und Camping im Juni. G¨unter m¨ochte diese Bedenken zerstreuen und hat recherchiert. Das Festival “Rock im Park” gibt es seit 1997:

Anzahl der Jahre mit Temperatur von mindestens 20^◦an allen drei Festivaltagen 4 Anzahl der Jahre mit Temperatur unter 20^◦an einem der drei Festivaltage 6 Anzahl der Jahre mit Temperatur unter 20^◦an zwei der drei Festivaltage 0 Anzahl der Jahre mit Temperatur unter 20^◦an allen drei Festivaltagen 12 Anzahl der Jahre ohne Regen an allen drei Festivaltagen 7 Anzahl der Jahre mit Regen an einem der drei Festivaltage 8 Anzahl der Jahre mit Regen an zwei der drei Festivaltage 5 Anzahl der Jahre mit Regen an allen drei Festivaltagen 2

(a) F¨ur Sieglinde kommt Camping im Zelt eigentlich nur ab Temperaturen von 20 Grad Celsius oder mehr in Frage. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ehepaar an allen drei Tagen des Festivals mit mindestens 20 Grad Celsius rechnen kann? (5 Punkte) (b) Sieglinde hat gelesen, dass es in der N¨ahe von N¨urnberg im Juni besonders viel regnen soll. Mit welcher Wahrscheinlichkeit m¨ussen Sieglinde und G¨unter mit Regen an allen drei Tagen des Festivals rechnen?(4 Punkte)

(c) Da Sieglinde nicht weiß, ob sich die Gelegenheit zum Besuch eines Konzerts der in die Jahre gekommenen Punkband so schnell noch einmal ergeben wird, ist sie zu einem Kom- promiss bereit. Wenn die Temperaturen an allen drei Tagen des Festivals ¨uber 20 Grad Celsius liegen, akzeptiert sie auch Niederschlag beim Camping. Mit welcher Wahrschein- lichkeit muss sie damit rechnen, dass es an allen drei Tagen des Festivals zwar ¨uber 20 Grad Celsius geben, aber an allen drei Tagen regnen wird? Gehen Sie davon aus, dass hier Unabh¨angigkeit zwischen Niederschlag und Temperatur unterstellt werden kann.

(5 Punkte)

(d) Welche Annahme m¨ussen Sie treffen, um die in (a) bis (c) berechneten Wahrscheinlich- keiten bestimmen zu k¨onnen? Halten Sie diese Annahme f¨ur realistisch? (6 Punkte) Hinweis:

Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Aufgabe 3: Stetige Zufallsvariablen (20 Punkte)

Ein Mitarbeiter des Statistiklehrstuhls stellt fest, dass die Kaffeemaschine im B¨uro trotz glei- cher Einstellung nicht immer die gleiche Menge Kaffee ausgibt. Er misst aus diesem Grund die genaue Menge des Kaffees pro Tasse ¨uber einen Zeitraum von mehreren Monaten. Die Menge des Kaffees kann auf einen halben Milliliter genau gemessen werden. Der Mitarbeiter betrachtet die gemessenen Mengen als Realisationen von unabh¨angigen und identisch verteilten Zufallsva- riablen.

Er kommt zu folgenden Ergebnissen:

• Die niedrigste gemessene Menge betr¨agt 251.5 ml

• Die h¨ochste gemessene Menge betr¨agt 299.0 ml

• Der Durchschnitt aller gemessenen Mengen betr¨agt 274.8976 ml

Nach einer Auswertung der Daten kommt er zu der Vermutung, dass Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X (Kaffeemenge pro Tasse) folgende Form annimmt:

F(x) =















0 , x <2.5

8x²−40x+ 50 ,2.5≤x≤2.75

−8x²+ 48x−71 ,2.75< x≤3 1 , x >3

Zur einfacheren Berechnung hat er die Mengen zur Ermittlung der Verteilungsfunktion in De- ziliter umgerechnet (100ml = 1dl).

Gehen Sie f¨ur die Berechnung der Aufgaben (a) bis (c) davon aus, dass der Mitarbeiter mit seiner Vermutung zur Verteilungsfunktion Recht hat.

(a) Berechnen Sie die Dichtefunktion und stellen Sie diese graphisch dar. (8 Punkte)

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enth¨alt eine frisch zubereitete Tasse Kaffee zwischen 265ml und 280ml Kaffee? (5 Punkte)

(c) Berechnen Sie das 40%-Quantil und interpretieren Sie das Ergebnis. (7 Punkte) Hinweis:

Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Aufgabe 4: Sch¨atzen (20 Punkte)

Die Sportlehrerin einer Grundschule m¨ochte eigene Notentabellen erstellen, um die Leistung der Zweitkl¨assler beim Sportfest im Weitsprung fair zu bewerten. Sie notiert die im Schuljahr 2016/17 erzielten Sprungweiten der Sch¨ulerinnen und Sch¨uler im Sportunterricht.

(a) Die folgende Tafel zeigt einen Auszug der erhobenen Werte. Sch¨atzen Sie auf dieser Basis die erwartete Sprungweite von Zweitkl¨asslern.(3 Punkte)

2.76 2.41 2.27 1.96 1.98 2.47 2.08 2.28 1.78 2.38 2.25 2.34 1.74 2.06 2.67 1.79 2.52 2.12 2.21 2.15 2.10 1.53 2.62 2.33 2.56 2.23 1.40 2.50 2.32 1.98

(b) In welchem Bereich liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% die erwartete Sprungweite der Sch¨ulerinnen und Sch¨uler? Nehmen Sie an, dass die in Teilaufgabe (a) gegebenen Sprungweiten Realisationen unabh¨angiger und normalverteilter ZufallsvariablenXi sind, Xi ∼N(µ, σ²). (9 Punkte)

(c) Grenzen Sie die beiden Ihnen bekannten Arten des Sch¨atzens voneinander ab. Nutzen Sie zur Veranschaulichung Ihre Berechnungen aus Teilaufgabe (a) und (b).(8 Punkte) Hilfsgr¨oßen:

P

i

xi = 65.79, ^P

i

x²_i = 147.3763.

Hinweis:

Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Nutzen Sie zur L¨osung die folgenden Tabellen:

Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

x 0.25 0.28 0.2963 0.35 0.4444 0.45 0.50 0.55 0.5556 Φ(x) 0.5987 0.6103 0.6165 0.6368 0.6716 0.6736 0.6915 0.7088 0.7108

x 0.56 0.60 0.67 0.70 0.71 0.75 0.80 0.85 0.875

Φ(x) 0.7123 0.7257 0.7486 0.7580 0.7611 0.7734 0.7881 0.8023 0.8092

x 0.90 0.95 1.00 1.20 1.25 1.40 1.50 1.67 2.00

Φ(x) 0.8159 0.8289 0.8413 0.8849 0.8944 0.9192 0.9332 0.9525 0.9772 Quantile der Standardnormalverteilung

p 0.005 0.01 0.05 0.07 0.10 0.15 0.20 0.25

z_p -2.5758 -2.3263 -1.6449 -1.4758 -1.2816 -1.0364 -0.8416 -0.6745

p 0.28 0.30 0.70 0.75 0.80 0.90 0.95 0.97

z_p -0.5828 -0.5244 0.5244 0.6745 0.8416 1.2816 1.6449 1.8808

p 0.975 0.98 0.99 0.995

z_p 1.9600 2.0537 2.3263 2.5758

Quantile der t-Verteilung mit 29 Freiheitsgraden

p 0.005 0.01 0.05 0.07 0.10 0.15 0.20 0.25

t_29;p -2.7564 -2.4620 -1.6991 -1.5174 -1.3114 -1.0553 -0.8542 -0.6830

p 0.28 0.30 0.70 0.75 0.80 0.90 0.95 0.9702

t29;p -0.5896 -0.5302 0.5302 0.6830 0.8542 1.3114 1.6991 1.9600

p 0.975 0.98 0.99 0.995

t_29;p 2.0452 2.1503 2.4620 2.7564

Aufgabe 5: Testen (20 Punkte)

Als begeisterter Dart-Fan greift Peter auch gerne selbst zu den Pfeilen. Dabei spielt er meistens die typische Variante 501, bei der der Spieler versuchen muss, mit so wenig Pfeilen wie m¨oglich die 501 auf exakt Null zu werfen. Dazu werden die pro Wurf erzielten Punkte sukzessive vom Ausgangswert 501 abgezogen. Bevor der Gegenspieler an der Reihe ist, wirft ein Spieler immer genau dreimal hintereinander. Die drei aufeinanderfolgenden W¨urfe werden im Dart auch als ein Versuch bezeichnet. In der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse einer Partie 501 von Peter dargestellt.

Tabelle: Ergebnisse Dart-Partie

Versuch 1 2 3 4 5 6 7

Wurf 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Punkte 60 20 20 20 15 10 60 50 1 40 5 15 25 15 15 60 40 1 28 (a) Peter interessiert nun die Frage, ob er im Mittel bei einem vollst¨andigen Versuch von drei

W¨urfen zu einem Niveau von 5 % signifikant weniger als 100 Punkte wirft. Er geht davon aus, dass seine Versuche unabh¨angig und die erzielten Punktzahlen normalverteilt mit Erwartungswert µund Varianzσ² sind. Beantworten Sie die Frage mit einem geeigneten Test. (9 Punkte)

(b) Was w¨urde passieren, falls das Signifikanzniveau bei 10 % liegen w¨urde? Erkl¨aren und begr¨unden Sie das Ergebnis kurz.(4 Punkte)

(c) Peter interessiert nun die Frage, wie viele vollst¨andige Versuche er machen m¨usste, damit er f¨ur die pro Versuch erwartete Punktzahl ein 95 %-Konfidenzintervall der L¨ange 10 an- geben k¨onnte. Gehen Sie wie in Teil (a) davon aus, dass die Punktzahlen unabh¨angig und identisch normalverteilt sind mit Erwartungswert µund Varianz σ². Die Standardabwei- chungσ betrage dabei 25. Bestimmen Sie die gesuchte Stichprobengr¨oße. (7 Punkte) Hilfsgr¨oße:

s= 28.4300 Hinweis:

Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Verwenden Sie zur L¨osung folgende Tabellen.

Quantile derN(0,1)

p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

z_p 1.2816 1.6449 1.9600 2.3263 2.5758 Quantile dert₅

p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

t_5;p 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 Quantile dert₆

p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

t6;p 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 Quantile dert₁₈

p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

t_18;p 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784