Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker Sommersemester 2017 21.07.2017

Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker

Sommersemester 2017 21.07.2017

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Bearbeitungszeit: 2 Stunden Erlaubte Hilfsmittel:

• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)

• standardisierte Formelsammlungen Statistik I und II in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter) Nicht zugelassen sind:

• eigenes Papier

• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, Zusatzmaterialien zur Vorlesung, eigene Aufzeichnungen

• Lehrb¨ucher, Verteilungstabellen

Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.

Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle ¨ f¨ unf Aufgaben enth¨alt.

Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!

Aufgabe 1 2 3 4 5

erreichbare

Punkte 20 20 20 20 20 100

erreichte

Punkte

Aufgabe 1: Multiple Choice (20 Punkte)

Markieren Sie, ob die folgenden f¨unf Aussagen jeweils zutreffen oder nicht (jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung (jeweils 3 Punkte). Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.

a) F¨ur eine diskrete Zufallsvariable X istP(a < X < b) =P(X < b)−F(a).

Richtig Falsch

Denn P(a < X < b) = F(b)−F(a).

Denn P(a < X < b) = P(X < b)−P(X ≤a).

Denn P(a < X < b) = P(X < b)−P(X < a).

b) Die Begriffe Sch¨atzung und Sch¨atzfunktion sind Synonyme.

Richtig Falsch

Sch¨atzfunktion und Sch¨atzung bezeichnen beide eine Funktion, die auf Basis einer Zufallsvariable den oder die unbekannten Parameter der Verteilung einer Zufallsvariable sch¨atzt.

Eine Sch¨atzfunktion ist eine zuf¨allige Gr¨oße, die den oder die unbekannten Pa- rameter der Verteilung einer Zufallsvariable sch¨atzt, w¨ahrend die Sch¨atzung das Sch¨atzergebnis bezeichnet.

Sch¨atzfunktion und Sch¨atzung sind alternative Begriffe f¨ur Punktsch¨atzer.

c) Die Begriffe Signifikanzniveau, Konfidenzintervall und Vertrauenswahrscheinlichkeit sind Synonyme.

Richtig Falsch

Das Konfidenzintervall gibt einen Bereich an, der den unbekannten Parameter mit einer gewissen Vertrauenswahrscheinlichkeit, dem sogenannten Konfidenzniveau,

¨uberdeckt.

Das Konfidenzniveau gibt einen Bereich an, der den unbekannten Parameter mit einer gewissen Vertrauenswahrscheinlichkeit, dem sogenannten Konfidenz- intervall, ¨uberdeckt.

Konfidenzniveau, Konfidenzintervall und Vertrauenswahrscheinlichkeit sind al- ternative Begriffe und treffen eine Aussage ¨uber die Pr¨azision einer Inter- vallsch¨atzung.

d) Seien X₁, . . . , X_n stochastisch unabh¨angig und X_i ∼ N(µ, σ²). F¨ur die Zufallsvariable

Pn

i=1Xi gilt V ar(^Pni=1Xi) =n·σ². Richtig

Falsch

Bei einer linearen Transformation von X ∼N(µ, σ²) in der Form Y =a·X gilt V ar(Y) =a² ·σ².

V ar(^Pni=1X_i) kann nicht ausV ar(X_i) hergeleitet werden, da die Zufallsvariablen voneinander unabh¨angig sind.

Bei stochastischer Unabh¨angigkeit von X und Y gilt Cov(X, Y) = 0. Daher ist V ar(^Pni=1X_i) = ^Pni=1V ar(X_i).

e) Seien A und B Komplement¨arereignisse, dann giltP(A∪B) =P(A) +P(B).

Richtig Falsch

Es gilt P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) mit P(A6=B) = 0.

F¨ur B =A^C gilt P(A∩B) = 0.

F¨ur B =A^C gilt P(A∪B) = 0.

Aufgabe 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung (20 Punkte)

Wetterprognosen sind immer mit Unsicherheit behaftet. In Land A liegt z. B. der Wetterbericht lediglich in 70 Prozent aller F¨alle richtig. Durchschnittlich wird in diesem Land f¨ur 20 Prozent der Tage Regen f¨ur den n¨achsten Tag angesagt. Unter diesen Vorhersagen liegen 40 Prozent allerdings daneben.

(a) Stellen Sie die Daten in einer 2x2-Kontingenztafel mit den Dimensionen ’Regen vorherge- sagt’ (Ja/Nein) und ’Regen eingetreten’ (Ja/Nein) dar. Verwenden Sie hierzu die unten stehende Vorlage.(8.5 Punkte)

(b) Frau Mustermann, wohnhaft in Land A, hat einen Gutschein f¨ur eine Ballonfahrt ge- schenkt bekommen und w¨urde diesen gern morgen einl¨osen. Der Heißluftballon kann nur bei trockenem Wetter aufsteigen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Frau Mustermann Ballon fahren kann, wenn der Wetterbericht keinen Regen f¨ur morgen an- sagt?(6 Punkte)

(c) Die Ballonfahrt musste leider kurzfristig verschoben werden. Beim zweiten Versuch hat Frau Mustermann Gl¨uck und kann tats¨achlich ihren Gutschein einl¨osen. Wie hoch ist hier die Wahrscheinlichkeit, dass der Wetterbericht f¨ur diesen Tag Regen vorhergesagt hatte?

(5.5 Punkte)

Hinweise:

Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Regen vorhergesagt

Ja Nein

Regen Ja

eingetreten

Nein

Aufgabe 3: Diskrete Verteilung (20 Punkte)

In der Verhaltens¨okonomik wird untersucht, wie sich eingeschr¨ankt rationale Akteure verhal- ten. Hierzu werden unterschiedliche Experimente durchgef¨uhrt. Ein Beispiel f¨ur ein Experiment dieser Art ist das Ultimatumspiel. Beim Ultimatumspiel schl¨agt der Proposer eine Aufteilung eines festgesetzten Betrages zwischen sich und einer anderen Person (dem Responder) vor. Der Responder darf dann entscheiden, ob er dieses Angebot akzeptiert oder nicht. Im Folgenden wird die Annahme getroffen, dass der Proposer schon eine Aufteilung des Betrages vorgeschla- gen hat. Von Interesse ist nun, ob der Responder das Angebot akzeptiert oder ablehnt.

(a) Durch welche Verteilung mit welchem/welchen Parameter/n l¨asst sich die Frage nach der Wahrscheinlichkeit beschreiben, dass der Responder bei n unabh¨angig durchgef¨uhrten Spielenk Angebote akzeptiert?(4 Punkte)

(b) Das Spiel werde 18-mal hintereinander durchgef¨uhrt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Responder eine Aufteilung von 19 Einheiten f¨ur den Proposer und eine Einheit f¨ur sich selbst akzeptiert, liege bei 15%. Wie wahrscheinlich ist es, dass der Responder mindestens drei Angebote akzeptiert?(9 Punkte)

(c) Wie oft m¨usste das Spiel mindestens gespielt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Angebot akzeptiert wird, gr¨oßer als 80% ist?(7 Punkte)

Hinweis:

• Der Proposer schl¨agt in jeder Runde, die gespielt wird, die gleiche Aufteilung der Aus- zahlungen vor.

• Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenre- geln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Aufgabe 4: Normalverteilung und Sch¨atzen (20 Punkte)

Im Rahmen des G20-Gipfeltreffens in Hamburg wurden verschiedene Aspekte der Weltpolitik thematisiert. Unter anderem gab es ein mehrheitliches Bekenntnis zum Pariser Abkommen, das den Folgen des Klimawandels entgegenwirken soll.

Ein wichtiger Indikator f¨ur den Klimawandel ist die durchschnittliche LufttemperaturX. Neh- men Sie an, dass die Tagestemperaturenx_i Realisationen unabh¨angiger und identisch verteilter Zufallsvariablen X_i sind, X_i ∼ N(µ, σ²). F¨ur das Jahr 2016 ergab sich f¨ur Deutschland eine mittlere Tagestemperatur von 9.6^◦C.

(a) Bestimmen Sie ein 0.95-Konfidenzintervall f¨ur die erwartete Tagestemperatur in Deutsch- land. Nehmen Sie hierbei an, dassσ² = 49 gilt. Interpretieren Sie das Ergebnis inhaltlich.

(8 Punkte)

(b) Eine der Folgen des Klimawandels sind ansteigende Temperaturen im Sommer. Nehmen Sie an, dassX ∼N(9.6,49) gilt. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Tagestemperatur an einem gegebenen Tag in Deutschland mehr als 35^◦C betr¨agt?(7 Punkte)

(c) Klimaforscher besch¨aftigen sich unter anderem mit der Frage, wie sich die Temperatur im Laufe der Zeit entwickelt. Es ist festzustellen, dass sich Temperaturen sowohl im Durch- schnitt erh¨ohen als auch extremer werden. Welchen Einfluss haben diese Ver¨anderungen auf die Verteilung der Variable Temperatur? Erkl¨aren Sie den Effekt anhand einer Skizze.

(5 Punkte)

Hinweise:

Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Quantile der N(0,1)

p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 zp 1.2816 1.6449 1.9600 2.3263 2.5758

x 0.22 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.58

Φ(x) 0.5871 0.5987 0.6179 0.6368 0.6554 0.6736 0.6915 0.7088 0.7190

x 0.60 0.65 0.67 0.70 0.75 0.80 0.85 0.89 0.90

Φ(x) 0.7257 0.7422 0.7486 0.7580 0.7734 0.7881 0.8023 0.8133 0.8159

x 0.95 1.00 1.25 1.40 1.50 2.00 2.50 2.83 3.00

Φ(x) 0.8289 0.8413 0.8944 0.9192 0.9332 0.9772 0.9938 0.9977 0.9987

Aufgabe 5: Testen (20 Punkte)

Mit der Kampagne ”BE SMART! H¨ande ans Steuer - Augen auf die Straße” setzt sich ei- ne bundesweite Initiative gegen die Nutzung des Handys w¨ahrend der Autofahrt ein. Vali- de Daten dar¨uber, wie viele Autofahrer das Handy w¨ahrend der Fahrt tats¨achlich nutzen, und damit 60 Euro Bußgeld und einen Punkt in Flensburg riskieren, sind bislang rar. Daher f¨uhrte der M¨unchner Automobilclub ”Mobil in Deutschland” 2016 eine groß angelegte Ver- kehrsz¨ahlung durch. Von insgesamt 36 285 erfassten Autofahrern wurden 2 124 Handynutzer am Steuer erwischt.

(a) Von den insgesamt erfassten Autofahrern waren 10 061 auf der Autobahn und 15 636 in der Stadt unterwegs, wovon 4 326 Fahrer an einer roten Ampel hielten. Weitere Ergebnisse dieser Stichprobenziehung entnehmen Sie der Abbildung. Es interessiert, ob die Handy- nutzung am Steuer damit zusammenh¨angt, in welcher Verkehrsumgebung ein Autofahrer unterwegs ist. F¨uhren Sie f¨ur diese Fragestellung einen angemessenen statistischen Test zum 1%-Niveau durch.(16 Punkte)

(b) Auch die Berliner Polizei f¨uhrte im Herbst 2015 eine dreit¨agige Schwerpunktkontrolle durch, bei der fast 1 500 Handynutzer am Steuer erwischt wurden. Zuk¨unftig wollen die Beamten bundesweit noch mehr Autofahrer kontrollieren. Diese allgemeinen Verkehrskon- trollen kann man auch als L¨osung eines statistischen Testproblems verstehen. So k¨onnte die Nullhypothese lauten:

”Der Autofahrer hat das Handy am Steuer genutzt.”

W¨urden Sie diese Formulierung in der beschriebenen Situation als Nullhypothese bef¨urwor- ten? Begr¨unden Sie Ihre Entscheidung und schlagen Sie gegebenenfalls eine Alternative vor. (4 Punkte)

Hinweis:

Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.

Verwenden Sie zur L¨osung folgende Tabellen.

Quantile der N(0,1)

p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 z_p 1.2816 1.6449 1.9600 2.3263 2.5758

Quantile der χ²-Verteilung

χ²_6;0.9 = 10.6446; χ²_6;0.95 = 12.5916; χ²_6;0.99 = 16.8119;

χ²_4;0.9 = 7.7794; χ²_4;0.95 = 9.4877; χ²_4;0.99 = 13.2767;

χ²_3;0.9 = 6.2514; χ²_3;0.95 = 7.8147; χ²_3;0.99 = 11.3449;

χ²_2;0.9 = 4.6052; χ²_2;0.95 = 5.9915; χ²_2;0.99 = 9.2103;

VERKEHRSZÄHLUNG 2016:

HANDYNUTZUNG AM STEUER

AUF DER LANDSTRASSE

457

J( ••

AUF DER AUTOBAHN

371

IM FLIESSENDEN STADMRKEHR

738

AN DER ROTEN AMPEL JEDER 8. FAHRER

558

MIT HANDY IN DER HAND

Quelle: modifiziert aus https://www.besmart-mobil.de/groesste-verkehrszaehlung-mit-36-

285-fahrzeugen-zeigt-jeder-14-autofahrer-ist-ein-smartphonesuender/, abgerufen am 07.07.2017.