Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker
Sommersemester 2019 30.09.2019
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Matrikelnummer: ...
Bearbeitungszeit: 2 Stunden Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlungen Statistik I und II in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter) Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, Zusatzmaterialien zur Vorlesung, eigene Aufzeichnungen
• Lehrb¨ucher, Verteilungstabellen
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle ¨ f¨ unf Aufgaben enth¨alt.
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 P
erreichbare
Punkte 20 20 20 20 20 100
erreichte
Punkte
Aufgabe 1: Multiple Choice (20 Punkte)
Markieren Sie, ob die folgenden f¨unf Aussagen jeweils zutreffen oder nicht (jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung (jeweils 3 Punkte). Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.
(a) Ist X ∼Bin(1,0.25), dann ist 1−X∼Bin(1,0.75).
Richtig Falsch
Allgemein gilt, falls X ∼Bin(n, p), dann ist n−X ∼Bin(n−X,1−p).
Allgemein gilt, falls X ∼Bin(n, p), dann ist n−X ∼Bin(n,1−p).
Falls X ∼ Bin(1,0.25), dann ist 1 −X eine Zufallsvariable, deren Verteilung nicht mithilfe der urspr¨unglichen Verteilungsparameter dargestellt werden kann.
(b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige ZufallsvariableX einen Wert in einem bestimm- ten Bereich annimmt, berechnet man als P(a < X ≤b) = Rabf(x)dx.
Richtig Falsch
P(a < X ≤b) =Rx
i:xi<bf(xi)−Rx
i:xi≤af(xi).
P(a < X ≤b) =Pxi:a<xi≤bf(xi).
P(a < X ≤b) =F(b)−F(a).
(c) Die Eintrittswahrscheinlichkeit P(Ac) eines zu A komplement¨aren Elementarereignisses kann einen negativen Wert annehmen.
Richtig Falsch
Es ist P(Ac) = P(A)−1.
Es ist P(Ac) = 1−P(A).
Es ist P(Ac) = 1 +P(A).
(d) Die Form der Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable h¨angt von der Art der Vertei- lung dieser Zufallsvariablen ab.
Richtig Falsch
Die Dichtefunktion entspricht der Verteilungsfunktion.
Das Integral der Dichtefunktion ist die Verteilungsfunktion.
Die Summe der Dichtefunktion ist die Verteilungsfunktion.
(e) F¨ur die Ermittlung der Verteilungsfunktion von diskreten Zufallsvariablen, beispielsweise von Preisen f¨ur Kaffee, kann es sinnvoll sein, die Verteilungsfunktion durch eine stetige Funktion zu approximieren.
Richtig Falsch
Bei einer großen Anzahl von m¨oglichen Realisationen, sollte die Verteilungsfunktion ei- ner stetigen Zufallsvariablen, durch die Verteilungsfunktion einer disketen Zufallsvariablen approximiert werden.
Bei einer großen Anzahl von m¨oglichen Realisationen liegen die Werte diskreter Zufallsva- riablen niemals
”dicht“genug, um als quasi stetig angesehen zu werden.
Bei einer großen Anzahl von m¨oglichen Realisationen liegen die Werte einiger diskreter Zufallsvariablen so
”dicht“, dass sie als quasi stetig anzusehen sind.
Aufgabe 2: Wahrscheinlichkeiten (20 Punkte)
Der Studierende Bjarne plant einen Trip ins deutsche Gl¨uckspielmekka, nach Baden-Baden.
Als Student stehen ihm begrenzte monet¨are Mittel zur Verf¨ugung. Um seine Gewinnchancen beim Gl¨uckspiel maximieren zu k¨onnen, sammelt Bjarne im ¨ortlichen Casino Informationen. Er interessiert sich besonders f¨ur die Gl¨ucksspielautomaten, den W¨urfel- und den Roulettetisch, da er hier die gr¨oßten Gewinnchancen f¨ur sich vermutet.
(a) Der Spielautomat besteht aus drei Walzen mit jeweils sechs Symbolen. Immer dann, wenn auf allen drei Walzen das Symbol
”Gl¨uckskleeblatt“ erscheint, gewinnt der Spieler. Alle anderen Symbolkombinationen f¨uhren nicht zum Gewinn.
Beim W¨urfeln gewinnt der Spieler sofort, wenn er mit einem W¨urfel eine drei w¨urfelt.
W¨urfelt der Spieler eine eins, zwei, vier oder f¨unf, verliert der Spieler sofort. Beim Wurf einer sechs darf der Spieler erneut w¨urfeln. Der Spieler gewinnt, wenn er erneut eine sechs wirft. W¨urfelt er eine andere Augenzahl, verliert er.
Beim Roulette kann die sogenannte
”einfache Chance“ gespielt werden. Die Zahlen (eins bis 36) sind auf dem Rouletteteller zuf¨allig angeordnet und einer Farbe (schwarz oder rot) zugeordnet. Zus¨atzlich gibt es ein Feld f¨ur die Null. Die Null ist immer mit der Farbe
”gr¨un“hinterlegt. Gesetzt werden kann auf
”rot“,
”schwarz“ oder
”gr¨un“.
Berechnen Sie f¨ur den Automaten, den W¨urfel- und den Roulettetisch die Gewinnwahr- scheinlichkeiten. Welche Form des Gl¨ucksspiels w¨urden Sie Bjarne unter dem Aspekt der Auszahlungsmaximierung empfehlen? (13 Punkte)
(b) Bjarne hat w¨ahrend seiner Beobachtungsphase insgesamt 33 Spielerinnen und Spieler an drei verschiedenen Abenden beobachtet. 12 Prozent der Personen haben ausschließlich an Automaten gespielt. 21 Prozent der Spieler haben ausschließlich gew¨urfelt. 30 Prozent der Personen haben sowohl gew¨urfelt, als auch an Automaten gespielt, aber nicht am Roulettetisch. Alle anderen Personen haben sowohl an Automaten und am Roulettetisch gespielt, aber nicht gew¨urfelt.
Stellen Sie die gegebenen Daten in einer geeigneten Form graphisch dar. Spiegelt die Abbildung aus Bjarnes beobachteten Daten Ihre Erkenntnisse zur Gewinnwahrscheinlich- keitsmaximierung wider? Begr¨unden Sie Ihre Einsch¨atzung kurz. Runden Sie bei dieser Teilaufgabe auf ganze Zahlen auf/ab. (7 Punkte)
Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Aufgabe 3:
In einem Casino in Monte Carlo wird das Gl¨ucksspiel “Fortuna Globorum” angeboten: In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, 5 davon sind rot, 15 sind schwarz. Der Spielleiter zieht nacheinander 3 Kugeln. F¨ur jede rote Kugel die gezogen wird, gewinnt jeder Mitspieler 10e; f¨ur schwarze Kugeln gibt es keinen Gewinn. Nachdem alle Mitspieler einen Einsatz von 8ebezahlt haben und bevor die erste Kugel gezogen wird, d¨urfen die Mitspieler dar¨uber abstimmen, ob die Kugeln nach dem Ziehen wieder zur¨uckgelegt werden, oder nicht.
(a) Wof¨ur w¨urde ein Spieler abstimmen (zur¨ucklegen oder nicht), dessen erste Priorit¨at ein m¨oglichst hoher erwarteter Gewinn ist und der (bei gleichem erwarteten Gewinn) eine geringe Streuung der Gewinnsumme bevorzugt? Wie w¨urde ein Spieler abstimmen, dessen einziges Interesse ist, die Wahrscheinlichkeit f¨ur die h¨ochstm¨ogliche Gewinnsumme von 30e zu maximieren?(16 Punkte)
(b) Stellen sie sich vor, die Spieler m¨ussen nicht vor dem Spiel entscheiden, ob die Kugeln zur¨uckgelegt werden oder nicht, sondern k¨onnen dies nach jeder Ziehung entscheiden. Wie w¨urde die Entscheidung dann aussehen?(4 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Aufgabe 4: Sch¨atzen (20 Punkte)
An einem einarmige Banditen im Caesars Palace in Las Vegas herrscht ein reges Kommen und Gehen. Der Besitzer fragt sich, wie hoch die erwartete Anzahl an Spielern pro Stunde an einem beliebigen einarmigen Banditen ist. Er geht davon aus, dass die Anzahl an SpielernX an einem einarmigen Banditen pro Stunde Poisson-verteilt ist (X ∼P oi(λ)).
(a) Zur Sch¨atzung der erwarteten Anzahl der Spieler pro Stunde liegen dem Besitzer 3 Vor- schl¨age f¨ur Sch¨atzer vor. Dabei bezeichnenX1, ...., Xn die zu n unterschiedlichen Stunden erhobenen Anzahlen von Spielern. Es istn >2 und n gerade:
t1(X1, X2, . . . , Xn) = 1
2X1+ 1
5Xn−2+ 1 3Xn t2(X1, X2, . . . , Xn) = 1
15(9X1+ 9X2−3X3) t3(X1, X2, . . . , Xn) = 1
3X1+1 3Xn
2 +1
3Xn
Welchen Sch¨atzer sollte der Besitzer verwenden? Nutzen Sie f¨ur Ihre Entscheidung, die in der Vorlesung vorgestellten G¨utekriterien. (12 Punkte)
(b) Der Casino-Besitzer hat zu einer festgelegten Stunde an verschiedenen Tagen die Anzahl der Spieler pro Stunde an einem einarmigen Banditen in den letzten 14 Tagen aufge- zeichnet (siehe Tabelle 1). Berechnen Sie die erwartete Anzahl an Personen pro Stunde.
Verwenden Sie hierf¨ur den besten Sch¨atzer aus (a). (3 Punkte)
Tabelle 1: Anzahl der hinzukommenden Spieler von 19 bis 20 Uhr
Tag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Xi 6 4 4 4 2 5 7 7 4 3 5 1 2 2
(c) Die tats¨achliche Anzahl an erwartenden Spielern pro Stunde liegt bei 4. Warum stimmt das Sch¨atzergebnis nicht mit dem tats¨achlichen Wert ¨uberein? (2 Punkte)
(d) Nennen Sie einen Sch¨atzer, der besser geeignet w¨are um die erwartete Anzahl an Spielern zu bestimmen.(3 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Aufgabe 5:
Ein Mitarbeiter eines Casinos in Macau vermutet, dass das Rouletterad an Tisch 14 fehlerhaft ist und an diesem Tisch besonders h¨aufig die Zahl 15 f¨allt. Er hat ebenfalls die Vermutung, dass einige Stammg¨aste dies durchschaut haben und deshalb vermehrt auf die 15 setzen. Der Mana- ger des Casinos glaubt ihm nicht, weshalb sich der Mitarbeiter etwas ausdenkt: Er schl¨agt vor, dass nach einem Probedurchlauf das Rouletterad ausgetauscht wird, falls in 100 Durchg¨angen die Kugel mindestens 5 mal auf die 15 f¨allt. Der Manager entgegnet, dass er sich nur ¨uberzeugen lasse, wenn ein Test zum 1%-Signifikanzniveau best¨atigt, dass die 15 h¨aufiger f¨allt, als sie es bei einem funktionierenden Rad tun sollte.
(a) Der Test soll mit 100 Kugeln durchgef¨uhrt werden. Wie h¨aufig muss dabei die 15 minde- stens fallen, damit sich der Manager des Casinos ¨uberzeugen l¨asst?(14 Punkte)
(b) Je nach Ausgang des Tests wird das Rouletterad an Tisch 14 ausgetauscht oder nicht.
Beschreiben sie inhaltlich die beiden Fehler, die bei einer Entscheidung m¨oglich sind. (4 Punkte)
(c) Gehen sie davon aus, dass ihr Ergebnis in (a) 6 ist (dies ist nicht notwendigerweise das richtige Ergebnis). Der Test wurde durchgef¨uhrt, und die 15 ist insgesamt 4 mal gefal- len - der Manager des Casinos konnte also nicht von einem Fehler ¨uberzeugt werden.
Der Mitarbeiter m¨ochte den Test daher weitere Male durchf¨uhren, bis innerhalb von 100 Durchg¨angen die 15 mindestens 6 mal f¨allt. Beurteilen sie dieses Vorgehen.(2 Punkte) Hinweis 1:
Geben Sie jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Hinweis 2:
Ein Rouletterad hat 37 Zahlen (0-36). Ist das Rad nicht fehlerhaft, ist die Wahrscheinlichkeit f¨ur jede Zahl 371 = 0.027
Quantile der N(0,1)
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 zp 1.2816 1.6449 1.9600 2.3263 2.5758 Quantile der t-Verteilung mit 29 Freiheitsgraden
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995
t29;p 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 Quantile der t-Verteilung mit 99 Freiheitsgraden
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995
t99;p 1.2902 1.6604 1.9842 2.3646 2.6364
