Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker
Sommersemester 2014 29.09.2014
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Matrikelnummer: ...
Bearbeitungszeit: 2 Stunden Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlungen Statistik I und II in gehefteter Form (unver¨ andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨ atze, keine losen Bl¨ atter) Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, ¨ Zusatzmaterialien zur Vorlesung, eigene Aufzeichnungen
• Lehrb¨ ucher, Verteilungstabellen
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ ¨ ufen Sie, ob Ihre Klausur alle f¨ unf Aufgaben enth¨ alt.
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 P
erreichbare
Punkte 20 20 20 20 20 100
erreichte
Punkte
Aufgabe 1: Querbeet (20 Punkte)
Betrachten Sie die folgenden Aussagen. Markieren Sie jeweils, ob die angegebene Aussage zutrifft oder nicht(jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung(jeweils 3 Punkte).
Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.
a) Seien A, B, C Teilmengen einer Menge Ω, dann ist (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C).
Richtig Falsch Begr¨undung:
Es gilt das Distributivgesetz.
Es gilt das Kommutativgesetz.
Das Assoziativgesetz gilt nicht.
b) Falls f¨ur zwei Zufallsvariablen X und Y gilt Cov(X, Y) = 0, dann sindX und Y stocha- stisch unabh¨angig.
Richtig Falsch Begr¨undung:
Aus der Unkorreliertheit von X und Y folgt nicht notwendigerweise die Un- abh¨angigkeit beider Zufallsvariablen.
Sind X und Y unkorreliert, dann sind beide Zufallsvariablen immer auch stocha- stisch unabh¨angig.
Die Konzepte der Korrelation und der stochastischen Unabh¨angigkeit h¨angen nicht miteinander zusammen.
c) Bezeichne f(x) die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung, dann ist
0
R
−∞
f(x)dx=
∞
R
0
f(x)dx= 0.5.
Richtig Falsch Begr¨undung:
f(x) ist symmetrisch um den Wert 0.
Der Fl¨acheninhalt unter der Dichtekurve betr¨agt immer 1.
Das Integral der Dichte der Standardnormalverteilung kann nicht analytisch darge- stellt werden, daher kann der Fl¨acheninhalt nicht berechnet werden.
d) Die Binomialverteilung ist immer eine symmetrische Verteilung.
Richtig Falsch Begr¨undung:
Es h¨angt von der Wahl des Parameterspab, ob die Binomialverteilung symmetrisch ist.
Die Binomialverteilung ist immer asymmetrisch.
Aussagen zur Symmetrie sind bei diskreten Verteilungen nicht m¨oglich.
e) Die Begriffe Sch¨atzer, Sch¨atzung und Sch¨atzfunktion sind Synonyme.
Richtig Falsch Begr¨undung:
Sch¨atzer, Sch¨atzung und Sch¨atzfunktion sind alternative Begriffe f¨ur Punktsch¨atzer.
Sch¨atzer und Sch¨atzfunktion sind Synonyme und bezeichnen eine Funktion, um den oder die unbekannten Parameter der Verteilung einer Zufallsvariable zu sch¨atzen.
Sch¨atzer und Sch¨atzung sind Synonyme und bezeichnen die Realisation der Sch¨atzfunktion an einer konkreten Stichprobe.
Aufgabe 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung (20 Punkte)
Eine Speditionsfirma transportiert unter anderem Maschinenteile von Deutschland in die Schweiz.
Da eine verz¨ogerte Lieferung mit hohen Konventionalstrafen verbunden ist, ist vor jedem dieser Transporte eine Inspektion des LKW vorgesehen, die jedoch von den Fahrern aus Bequem- lichkeit in 20% der F¨alle nicht durchgef¨uhrt wird. Ohne Inspektion erleidet der LKW auf der Wegstrecke mit 12% Wahrscheinlichkeit eine Panne, die zu einer unzul¨assigen Verz¨ogerung f¨uhrt, mit Inspektion nur mit 2%.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein auf der Strecke liegengebliebener Fahrer die In- spektion nicht durchgef¨uhrt? (13.5 Punkte)
(b) Neben Pannen gibt es mit 1%-iger Wahrscheinlichkeit andere Gr¨unde, die zu unzul¨assigen Verz¨ogerungen f¨uhren, wie z.B. Zollkontrollen oder Verkehrsstaus. Mit welcher Wahr- scheinlichkeit kommen die Maschinenteile versp¨atet an? Nutzen Sie bitte den Wert von 0.035 f¨ur die Wahrscheinlichkeit des Eintritts einer Panne. (Dies ist nicht notwendig das korrekte Ergebnis f¨ur Teil (a)!) (Hinweis: Gehen Sie davon aus, dass die sonstigen Ver- sp¨atungsursachen von den Pannen unabh¨angig sind.) (6.5 Punkte)
Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie jeweils die allgemeinen Formeln an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Aufgabe 3: Bivariate stetige Verteilung (20 Punkte) Gegeben sei folgende stetige Funktion
f(x, y, a) =
( −163 ((x−a)2+y2) + 38 ,0≤x≤2;−1≤y≤1 0 , sonst
(a) Bestimmen Sie a so, dass es sich bei f(x, y, a) um eine gemeinsame Dichtefunktion von X und Y handelt. (Hinweis:f(x, y, a)≥0 f¨ur alle x, y ist nicht zu ¨uberpr¨ufen. Gehen Sie davon aus, dass diese Bedingung erf¨ullt ist.)(10 Punkte)
(b) Bestimmen Sie die Randdichte von X und stellen Sie diese im relevanten Bereich grafisch dar. Rechnen Sie mit einem Wert von 1 f¨ur das Ergebnis aus (a). (10 Punkte)
Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen. Zur Bestim- mung der Nullstellen einer quadratischen Funktion kann folgende Formel verwendet werden:
x1,2 =−p2 ±
r p
2
2
−q.
Aufgabe 4: Poisson-Verteilung (20 Punkte)
Die ambitionierte, aber erfolglose Schauspielerin Penny verdient ihren Lebensunterhalt als Kell- nerin in der
”Cheesecake Factory“. Sie ist frustriert, weil ihr Auto h¨aufig auf dem Weg zur Arbeit kaputt geht. Sie schildert das Problem ihren Freunden Leonard, Sheldon, Rajesh und Howard, die daraus eine statistische Denksportaufgabe entwickeln. Sie vermuten, dass die Wahrschein- lichkeit von genau einem Defekt w¨ahrend der Fahrt zur Arbeit relativ groß ist im Vergleich zur Wahrscheinlichkeit, mit der ein Defekt zweimal oder noch ¨ofter auftritt. Deshalb behaupten sie, dass die Anzahl der Defekte auf dem Weg zur Arbeit mittels einer Poisson-Verteilung modelliert werden kann.
(a) Weshalb ist die Annahme einer Poisson-Verteilung in diesem Zusammenhang gerechtfer- tigt?(6 Punkte)
Sheldon, der kl¨ugste der Freunde, hat berechnet, dass es nur in 10% der Fahrten nicht zu Vorf¨allen kommt.
(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei einer gegebenen Fahrt zur Arbeit zu genau einem Defekt kommt?(14 Punkte)
Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Aufgabe 5: Testen (20 Punkte)
Derzeit laufen bundesweit wieder Befragungen zur Radionutzung in Deutschland. F¨ur tiefer- gehende Einblicke soll ein Gruppeninterview mit 9 zuf¨allig ausgew¨ahlten Jugendlichen durch- gef¨uhrt werden. Diese werden vorab nach ihrem t¨aglichen Radiokonsum befragt. Dabei ergaben sich die folgenden Werte:
Befragte 1 2 3 4 5 6 7 8 9
H¨ordauer (Minuten) / Tag 200 95 340 120 400 320 240 280 120
(a) Es kann angenommen werden, dass die t¨agliche H¨ordauer X eine zuf¨allige Gr¨oße ist, die normalverteilt ist mit Erwartungswert µ und Varianz σ2. Laut den Ergebnissen der Mediaanalyse I 2014 betr¨agt die durchschnittliche H¨ordauer in Deutschland 240 Minuten pro Tag. Testen Sie zum Niveau α = 5% die Hypothese, dass die t¨agliche H¨ordauer von Jugendlichen sich nicht von der aktuellen durchschnittlichen H¨ordauer der gesamten Bev¨olkerung unterscheidet. Wie interpretieren Sie das Testergebnis? (9 Punkte)
(b) Wie breit ist das Konfidenzintervall f¨ur die erwartete H¨ordauer bei einem Konfidenzni- veau von 90 %, wenn die Grundgesamtheit normalverteilt ist? Gehen Sie dabei von einer Varianzσ2 = 81 Minuten und von einem arithmetischen Mittel x= 300 Minuten aus. (5 Punkte)
(c) Jemand ¨außert die Vermutung, dass die Dauer der Radionutzung bei Jugendlichen generell k¨urzer sei als unter der deutschen Bev¨olkerung im Allgemeinen. Welche Auswirkung hat diese Information auf das Testproblem in Teilaufgabe a)? Zeichnen Sie in die Abbildungen die verschiedenen Entscheidungsregeln ein.(6 Punkte)
Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Nutzen Sie zur L¨osung die folgenden Tabellen:
Quantile der N(0,1)
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 zp 1.2816 1.6449 1.9600 2.3263 2.5758
Quantile der t8
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 t8;p 1.3968 1.8598 2.3060 2.8965 3.3554
Quantile der t9
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 t9;p 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498
Quantile der t10
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 t10;p 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693
Quantile der χ21
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 χ21;p 2.7056 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794
Quantile der χ25
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995
χ25;p 9.2364 11.0705 12.8325 15.0863 16.7496
