Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker
Sommersemester 2012 24.09.2012
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Matrikelnummer: ...
Bearbeitungszeit: 2 Stunden Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlungen Statistik I und II in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter) Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, Zusatzmaterialien zur Vorlesung, eigene Aufzeichnungen
• Lehrb¨ ucher, Verteilungstabellen
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ ¨ ufen Sie, ob Ihre Klausur alle f¨ unf Aufgaben enth¨alt.
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 P
erreichbare
Punkte 20 20 20 20 20 100
erreichte
Punkte
Aufgabe 1: Querbeet (20 Punkte)
Betrachten Sie die folgenden Aussagen. Markieren Sie jeweils, ob die angegebene Aussage zutrifft oder nicht(jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung(jeweils 3 Punkte).
Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.
1. Beim statistischen Testen wird der Fehler 1. Art kontrolliert.
Richtig Falsch Begr¨undung:
Die Wahrscheinlichkeit f¨ur den Fehler 1. Art wird durch das Signifikanzniveau beschr¨ankt.
Es wird der Fehler 2. Art kontolliert.
Die Wahrscheinlichkeit f¨ur den Fehler 1. Art wird nicht kontrolliert, sondern aus der Teststatstik berechnet.
2. Im Ziegenproblem ist “Wechseln” die bessere Strategie.
Richtig Falsch Begr¨undung:
Da der Moderator die Ziegen und das Auto vertauschen kann, verliert der Kandidat in jedem Fall.
Wenn der Kandidat die T¨ur mit dem Auto gew¨ahlt hat, verliert er beim Wechseln.
Bei mehrfacher Wiederholung des Spiels f¨uhrt Wechseln h¨aufiger zum Gewinn.
3. Der Erwartungswert ist das theoretische Gegenst¨uck zum Modus (wenn beide existieren).
Richtig Falsch Begr¨undung:
Der Erwartungswert teilt die Dichte im Verh¨altnis 50:50, daher ist er das Gegenst¨uck zum Median.
Der Erwartungswert ist der Schwerpunkt der Dichte, daher ist er das Gegenst¨uck zum arithmetischen Mittel.
Der Erwartungswert ist die Stelle, an der die Dichte maximal ist, daher ist er das Gegenst¨uck zum Modus.
4. Die stetige Gleichverteilung wird auch Rechteckverteilung genannt.
Richtig Falsch Begr¨undung:
Die Gleichverteilung wird nur Gleichverteilung genannt, es gibt keine alternative Bezeichnung.
Da die Dichtefunktion die Form eines Rechtecks hat, nennt man die Verteilung auch Rechteckverteilung.
Da die Dichtefunktion auf einem Intervall definiert ist, nennt man die Verteilung auch Intervallverteilung.
5. Die empirische Varianz se2 sch¨atzt die theoretische Varianz σ2 im Mittel besser als die Stichprobenvarianz s2.
Richtig Falsch Begr¨undung:
e
s2 ist erwartungstreu f¨ur σ2, s2 aber nicht.
s2 ist erwartungstreu f¨ur σ2, se2 aber nicht.
Beide Sch¨atzer sind erwartungstreu f¨urσ2 und daher gleich gut.
Aufgabe 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung (20 Punkte)
Eine Speditionsfirma transportiert unter anderem Maschinenteile von Berlin nach Paris. Da eine verz¨ogerte Lieferung mit hohen Vertragsstrafen verbunden ist, ist vor jedem dieser Transporte eine Inspektion des LKW vorgesehen, die jedoch von den Fahrern aus Bequemlichkeit in 20% der F¨alle nicht durchgef¨uhrt wird. Ohne Inspektion erleidet der LKW mit 3% Wahrscheinlichkeit mindestens eine Panne, die zu einer unzul¨assigen Verz¨ogerung f¨uhrt, mit Inspektion nur mit 0.5%.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat der Fahrer die Inspektion nicht durchgef¨uhrt, wenn sein LKW keine Panne erleidet?(10 Punkte)
(b) Neben Pannen gibt es mit 1% Wahrscheinlichkeit andere Gr¨unde, die zu unzul¨assigen Verz¨ogerungen f¨uhren wie z.B. Zoll oder Verkehrsstaus. Sei weiterhin 1.5% die Wahr- scheinlichkeit f¨ur eine Versp¨atung. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten beide Verz¨oge- rungsgr¨unde gleichzeitig auf? (10 Punkte)
Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Aufgabe 3: Kombinatorik (20 Punkte)
Es sei ein Kartenspiel betrachtet, bei dem aus einem Kartendeck zuf¨allig f¨unf Karten ohne Zur¨ucklegen gezogen werden. Das Deck umfasst insgesamt 52 Karten (13 Werte von jeder Farbe: Pik, Herz, Karo, Kreuz).
(a) Die Wahrscheinlichkeit f¨ur das Ziehen eines Paares (d.h., die gezogenen Karten weisen die Wertea, a, b, c, d auf, wobei a, b, c, d f¨ur unterschiedliche Kartenwerte stehen, und die Reihenfolge der Karten keine Rolle spielt) betr¨agt
13·
4
2
·
12
3
·4·4·4
52
5
≈0.4226
Wie kommt diese Formel zustande? Erkl¨aren Sie die einzelnen Bestandteile.(7 Punkte) (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit f¨ur das Ziehen von zwei Paaren? Dies ist der Fall, wenn
die gezogenen Karten die Wertea, a, b, b, caufweisen, wobei die gleichen Voraussetzungen gelten wie in (a).(7 Punkte)
(c) Man spricht von einem Flush, wenn alle f¨unf Karten dieselbe Farbe aufweisen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit f¨ur das Ziehen eines Flush? (6 Punkte)
Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Aufgabe 4: Binomialverteilung (20 Punkte)
Die Autobahnauffahrt Halle/Peißen wird erfahrungsgem¨aß von 65% PKW, 15% LKW, 10%
Bussen, 5% Motorr¨adern und 5% sonstigen Fahrzeugen genutzt.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist bei 20 vorbeifahrenden Fahrzeugen mindestens ein Bus dabei?(5 Punkte)
(b) Wie viele Fahrzeuge m¨ussen mindestens vorbeifahren, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Bus dabei ist, gr¨oßer als 90% ist?(7 Punkte)
(c) Wie groß muss der Anteil der die Auffahrt benutzenden Busse sein, damit bei 20 vorbei- fahrenden Fahrzeugen die Wahrscheinlichkeit, keinen Bus zu beobachten, genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, einen Bus zu beobachten? (8 Punkte)
Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Aufgabe 5: Testen (20 Punkte)
Seit Kurzem wird dar¨uber diskutiert, ob die Vorlesungen an einer deutschen Hochschule an- spruchsvoller geworden sind. Dazu wurden im Februar 2012 15 zuf¨allig ausgew¨ahlte Studenten der besagten Universit¨at nach ihrer w¨ochentlichen Nachbereitungszeit (gemessen in Stunden) f¨ur die Statistik-Vorlesung befragt. Dabei ergaben sich die folgenden Werte:
Student i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nachb.-zeit / h 4.7 4.3 5.7 5.2 2.5 5.0 3.8 5.7 3.0 2.9
Student i 11 12 13 14 15
Nachb.-zeit / h 5.3 3.4 3.7 3.1 0.9
(a) Es kann angenommen werden, dass die Nachbereitungszeit X eine zuf¨allige Gr¨oße ist, die normalverteilt ist mit Erwartungswert µ und Varianz σ2. Eine fr¨uhere Befragung ergab eine Nachbereitungszeit von durchschnittlich 4 Stunden pro Woche. Testen Sie zum Niveau α = 1% die Hypothese, dass sich die Nachbereitungszeit nicht ver¨andert hat, gegen die Alternative, dass dies nicht stimmt. Interpretieren Sie das Testergebnis.(9 Punkte)
(b) Angenommen, man verf¨uge ¨uber die richtige Information, die Varianzσ2 sei 0.005. L¨asst sich in diesem Fall die Nullhypothese verwerfen? (6 Punkte)
(c) Wie groß m¨usste der Stichprobenumfang gew¨ahlt werden, damit ein 99%-Konfidenzintervall der L¨ange 0.2 angegeben werden kann? Gehen Sie dabei vereinfachend von einer Varianz σ2 = 4 und von einem arithmetischen Mittel x= 0 aus. (5 Punkte)
Hinweis:
Stellen Sie zun¨achst die ben¨otigten Gr¨oßen bereit. Geben Sie die verwendeten Rechenregeln in allgemeiner Form an. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
Benutzen Sie zur L¨osung die auf der folgenden Seite angegebenen Tabellen.
Quantile der N(0,1)
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 zp 1.2816 1.6449 1.9600 2.3263 2.5758
Quantile der t13
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 t13;p 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123
Quantile der t14
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 t14;p 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768
Quantile der t15
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 t15;p 1.3406 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467
Quantile der χ21
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 χ21;p 2.7056 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794
Quantile der χ25
p 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995
χ25;p 9.2364 11.0705 12.8325 15.0863 16.7496
