L¨osung zur Klausur zu Statistik II Prof. Dr. Claudia Becker Sommersemester 2016 29.07.2016

L¨ osung zur Klausur zu Statistik II

Prof. Dr. Claudia Becker Sommersemester 2016

29.07.2016

Aufgabe 1: Multiple Choice (20 Punkte)

Markieren Sie, ob die folgenden f¨unf Aussagen jeweils zutreffen oder nicht (jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung (jeweils 3 Punkte). Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.

a) Die hypergeometrische Verteilung ist eine symmetrische Verteilung.

Richtig x Falsch

x Es h¨angt von der Wahl der Parameter ab, ob die hypergeometrische Vertei- lung symmetrisch ist.

Das Ziehen ohne Zur¨ucklegen ist ein symmetrischer Vorgang.

Aussagen zur Symmetrie sind bei diskreten Verteilungen nicht m¨oglich.

b) Sind zwei Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabh¨angig, dann ist ρ(X, Y) = 0.

x Richtig Falsch

Aus der Unabh¨angigkeit von X und Y folgt nicht notwendigerweise die Un- korreliertheit beider Zufallsvariablen.

x Wenn X und Y stochastisch unabh¨angig sind, so gilt Cov(X, Y) = 0.

Das Konzept der Korrelation und der stochastischen Unabh¨angigkeit h¨angen nicht miteinander zusammen.

c) Zur Sch¨atzung eines unbekannten Parameters θ stehen drei Sch¨atzer (t₁, t2, t3) zur Wahl. Es ist bekannt, dass E(t₁) = ^θ₂, E(t₂) = 0, E(t₃) =θ und V ar(t₁)< V ar(t₂)<

V ar(t₃). Daher sollte zur Sch¨atzung des Parameters der Sch¨atzert₁ verwendet werden.

Richtig x Falsch

Der Sch¨atzer t₁ hat die geringste Varianz.

Der Sch¨atzer t₂ hat den geringsten Erwartungswert.

x Die Sch¨atzer t₁ und t₂ sind nicht erwartungstreu.

d) Sei X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Es istP(X = 0) = ^√1_2π. Richtig

x Falsch

x P(X = 0) = 0.

Φ(0) =^R_−∞⁰ ϕ(t)dt= 0.5.

ϕ(0) = ^√1_2π, da µ= 0 undσ = 1.

e) Seien A, B, C Teilmengen einer Menge Ω, dann ist (A∩B)^C =A^C∪B^C. x Richtig

Falsch

x Es gelten die de Morgan’schen Gesetze.

Es gilt das Assoziativgesetz.

Das Kommutativgesetz gilt nicht.

Aufgabe 2: (insgesamt 20 Punkte)

Aufgabe 2 (a):(insgesamt 6.5 Punkte) S . . . S¨ußigkeiten bekommen

M . . . M¨unze vom Automaten angenommen (1 Punkt f¨ur Variablendefinition)

Gegeben (1 Punkt):

P(S) = 0.5 P(M^C|S) = 0.26 P(M^C ∩S^C) = 0.16 Gesucht(0.5 Punkte):

P(S∩M)

Allgemein: P(A∩B) =P(A|B)·P(B) (1 Punkt) Da Kommutativgesetz gilt:

P(S∩M) =P(M ∩S) =P(M|S)·P(S) = (1−P(M^C|S))·P(S) = (1−0.26)·0.5 = 0.37 (2 Punkte)

Mit 37% Wahrscheinlichkeit funktioniert der Automat, wie er soll.(1 Punkt) Aufgabe 2 (b): (insgesamt 9.5 Punkte)

Gesucht(0.5 Punkte):

P(S|M^C)

Allgemein: P(B_i|A) = _Pk^{P(A|Bi)·P(Bi)}

j=1P(A|B_j)·P(Bj) (1 Punkt) Umsetzung:

P(S|M^C) = P(M^C|S)·P(S)

P(M^C|S)·P(S) +P(M^C|S^C)·P(S^C) (2 Punkte)

Exkurs: P(M^C|S^C) ⇒ Allgemein P(A|B) = ^P(A∩B)_P(B) , also P(M^C|S^C) = ^P(M_P(S^C∩SC)^C) = ^0.16_0.5 = 0.32 (3 Punkte)

P(S|M^C) = 0.26·0.5

0.26·0.5 + 0.32·0.5 = 0.4483 (2 Punkte)

Gegeben, dass die M¨unze vom Automaten nicht angenommen wurde, bekomme ich mit 44.83% Wahrscheinlichkeit trotzdem S¨ußigkeiten. (1 Punkt)

Aufgabe 2 (c):(insgesamt 4 Punkte)

Wenn der Automat einwandfrei funktioniert, nimmt er die M¨unzen immer an und man bekommt daf¨ur immer S¨ußigkeiten. In diesem Fall giltP(M ∩S) = 1 (1 Punkt).

S¨ußigkeiten bekommen

Ja Nein f_X(x_i)

M¨unze vom Ja 1 0 1

Automaten angenommen Nein 0 0 0

f_Y(y_j) 1 0 1

(insgesamt 3 Punkte f¨ur Tabelle)

Aufgabe 3: (insgesamt 20 Punkte)

Aufgabe 3 (a):(insgesamt 4 Punkte)

EreignisA_i = i-te Ampel steht auf gr¨un bzw. l¨asst passieren und EreignisAi = i-te Ampel steht auf rot bzw. l¨asst anhalten, i= 1,2,3,4 P(A_i) = 0.5,P(A_i) = 0.5 wobei die Ereignisse A_i unabh¨angig sind (1 Punkt f¨ur Definition der Ereignisse)

gesucht: Wahrscheinlichkeit f¨ur

”Herr Wetz passiert die ersten drei 3 Ampeln ohne zu hal- ten“ ⇒ P(gr¨un, grun, gr¨ un, rot)¨

Nutze f¨ur unabh¨angige Ereignisse P(A∩B) = P(A)·P(B) (1 Punkt)

⇒ P(A₁∩A₂ ∩A₃∩A₄)(1 Punkt)= 0.5⁴ = 0.0625 (1 Punkt)

Aufgabe 3 (b): (insgesamt 5 Punkte)

ZufallsvariableX = Anzahl der Verkehrsampeln, die Herr Wetz bis zum ersten Halt passiert Dichtefunktion direkt aus den Wahrscheinlichkeiten aufstellen, L¨osungsweg siehe 2(a) (2 Punkte f¨ur 4 Werte)

x_i 0 1 2 3 4

P(X =x_i) 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 (2 Punkte f¨ur folgende Grafik)

Die Abbildung der Dichte l¨asst vermuten, dass der Schwerpunkt der Verteilung nahe 1 liegt.

(1 Punkt)

x

●

●

●

● ●

0 1 2 3 4

f(x)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−

−

−

−

−

Aufgabe 3 (c):(insgesamt 6 Punkte)

Stetige zugeh¨orige Verteilungsfunktion erh¨alt man durch st¨uckweise Integration der Dichte (1 Punkt)

f¨ur x <2 ist f(x) = 0, und daher auch F(x) = 0; (0.5 Punkte) f¨ur x >3 ist F(x) =^R_−∞^x f(t)dt =^R₂³f(t)dt= 1 (0.5 Punkte) Im Bereich von 2≤x≤3 erh¨alt man:

F(y) =

Z y

−∞

f(t)dt =

Z y 2

2·(t−2)dt (1 Punkt)

= 2·(1

2·t²−2·t)^y

2 =y²−4·y−4 + 8 (1 Punkt)=y²−4·y+ 4 (1 Punkt) Insgesamt also (1 Punkt)

F(y) =







0, y <2 y²−4·y+ 4, 2≤y≤3

1, y >3

Aufgabe 3 (d): (insgesamt 5 Punkte)

Rechnerische Pr¨ufung, ob erwartete Haltezeit an der Schranke bei 160 Sekunden liegt:

Bestimme E(Y):

E(Y) =

Z ∞

−∞y·f(y)dy (1 Punkt)

=

Z ₃

2

y·2(y−2)dy (1 Punkt)=

Z ₃

2

(2y²−4y)dy (1 Punkt)

=

"

2y³

3 − 4y² 2

#3

2

(1 Punkt)= 2·27 3 − 36

2 − 16 3 + 16

2

= 16

6 (1 Punkt)

Da Dichtefunktionf(y) in Minuten angegeben: umrechnen des ErwartungswertesE(Y)·60 = 160 Sekunden. Entsprechend ist die Aussage korrekt. (1 Punkt)

Aufgabe 4: (insgesamt 20 Punkte)

Aufgabe 4 (a):(insgesamt 4 Punkte) Gesucht:E(X) Allgemein: E(X) = ^P∞

i=1

xi·fX(x_i) mitfX(x_i) = ^P∞

j=1

fX,Y(x_i, yj) (1 Punkt)

Anzahl InteraktionenX

30 350

Anzahl Fotos Z 0 2 7

fX(x_i) 0.625 0.375 1 (1 Punkt f¨ur Randverteilung)

E(X) = 30·0.625 + 350·0.375 = 150 (1 Punkt)

Es werden 150 Interaktionen pro Beitrag erwartet.(1 Punkt) Aufgabe 4 (b): (insgesamt 6 Punkte)

• Diese Frage k¨onnte mit einem statistischen Hypothesentest ¨uber den Erwartungswert beantwortet werden(1 Punkt)

• Testproblem (1 Punkt)

• Passender Test (Annahmen?)(1 Punkt)

• Teststatistik ermitteln(1 Punkt)

• Vergleich mit kritischem Wert(1 Punkt)

• Entscheidung(1 Punkt)

Aufgabe 4 (c):(insgesamt 10 Punkte) Gesucht:Cov(X, Y)

Allgemein: Cov(X, Y) = E(X·Y)−E(X)·E(Y) (1 Punkt)

Anzahl InteraktionenX

30 350 f_Y(y_j) Anzahl Fotos Z

0 0.1250 0.0000 0.1250 2 0.3438 0.0625 0.4063 7 0.1562 0.3125 0.4687 fX(x_i) 0.6250 0.3750 1 (1 Punkt f¨ur Tabelle)

E(X) = 150 (siehe Teilaufgabe (a)) E(Y) = ^P∞

j=1

y_j·f_Y(y_j) =. . .= 4.0938 (1 Punkt) E(X·Y) =. . .= 862.8125 (2 Punkte)

Cov(X, Y) = 248.7425 (1 Punkt)

Da Cov(X, Y)6= 0, scheinen beide Variablen voneinander abh¨angig zu sein, (1 Punkt) ABER: Interpretation der Gr¨oßenordnung der Kovarianz unm¨oglich, da H¨ohe der Kovarianz von den Einheiten abh¨angig ist, in denenX und Y gemessen werden. (1 Punkt)

Mit Hilfe des Korrelationskoeffizienten kann St¨arke und Richtung der linearen Abh¨angigkeit zweier Zufallsvariablen bestimmt werden. Er ist auf einen Wertebereich zwischen -1 und +1 normiert. (2 Punkte)

Aufgabe 5: (insgesamt 20 Punkte)

Aufgabe 5 (a):(insgesamt 3 Punkte)

• Situation entspricht hypergeometrischer Verteilung (Urnenmodell mit Ziehen ohne Zur¨ucklegen) (1 Punkt)

• Parameter:n = 6, da 6 Mitarbeiter f¨ur das Projekt gesucht werden, (0.5 Punkte)

• N = 10, da sich 10 Mitarbeiter beworben haben und(0.5 Punkte)

• M = 4, da 4 erfahrene Mitarbeiter unter den Bewerbern sind (0.5 Punkte)

• gesucht ist WK, dass genau ein erfahrener Mitarbeiter gew¨ahlt wird, also P(X = 1) = f(1), wobei X ∼Hyp(n, M, N) (0.5 Punkte)

Aufgabe 5 (b): (insgesamt 5 Punkte)

• X ∼Hyp(n = 6, M = 4, N = 10) mit f(x_i) = (^M_xi)(^N−Mn−xi)

(^N_n)

• gesucht:P(X ≥1)

• P(X ≥1) = 1−P(X = 0)

• P(X = 0) = (⁴0)(¹⁰⁻⁴6−0) (¹⁰₆) = ^1·1

(¹⁰₆)

• P(X = 0)≈0.0048 → P(X ≥1)≈0.9952

Aufgabe 5 (c):(insgesamt 6 Punkte)

• X ∼Hyp(n = 6, M =?, N =?)

• gesucht:M so, dassP(X = 2) = ¹₃

• P(X = 2) = (^M₂)(^N−M6−2)

(^N6) = ¹₃ → P(X = 2) =^M₂· ¹₃ = ¹₃

• ^M₂= 1 → M · ^M−1₂ = 1 → M²−M −2 = 0

• M_1/2 = ¹₂ ±

r 1

2

2

+ 2

• M₁ = 2, M₂ =−1 (entf¨allt) Aufgabe 5 (d): (insgesamt 6 Punkte)

• X ∼Hyp(n = 6, M =?, N =?)

• gesucht:N so, dass E(X) = 2

• E(X) = n· ^M_N

• E(X) = 6·^N_N^0.8 = 2, daM =N^0.8

• 6·N^−0.2 = 2 → N^−0.2 = ¹₃

• (N^−0.2)⁻⁵ =¹₃⁻⁵ → N = 243