d) Potenzialbarriere – der Tunneleffekt

(1)

1 d) Potenzialbarriere – der Tunneleffekt

a x x

V

a x V

x V

x x

V















für

0 ) ( III)

0 für 0

) ( II)

0 für

0 ) ( I)

0

x k i

x x

x k i x

k i

e E x

e D e

C x

e B e

A x



























 ) ( III)

) ( II)

) ( I)

III II I





x a x

a a a

x x



 



 



 



 

) ( )

) ( ( )

(

) 0 ( )

0 ) (

0 ( )

0 (

III II

II I



 



 



Wellenfunktionen in den drei Bereichen stetig und differenzierbar an den Grenzen bei x = 0 und x = a:

Resultate wie oben: Welle kann exponentiell gedämpft in die Barriere eindringen (Bereich II) und setzt sich jenseits der Barriere (Bereich III) als ebene Welle fort. Transmissionskoeffizient sinkt exponentiell mit  :

) (

1 2

0

2

m V E

e

T 

^ ^ ^^a

  

 



Beispiele zum Tunneleffekt

- Rastertunnelmikroskop - Laserpulse in einem Gas - Ammoniak-Molekül (NH

₃

) - Alpha-Zerfall von Atomkernen - Tunneln mit Mikrowellen:

Mikrowellen (l = 2,8 cm) werden in einem Prisma aus Paraffin totalreflektiert.

Mit einem zweiten Prisma im Abstand a < l wird ein Teil transmittiert.

a

Empfänger Sender

Sondenempfänger

Prisma 2 Prisma 1

(2)

George Gamow (1904 – 1968)

Der Alpha-Zerfall von Atomkernen

Antoine-Henri Becquerel (1952 – 1908) 1896 Becquerel entdeckt, dass Uransalze Fotoplatten schwärzen

1908 Rutherford weist Helium spektroskopisch nach 1928 Gamow erklärt den -Zerfall durch Tunneleffekt

Helium-Kerne (-Teilchen) werden mit konstanter Energie von einigen MeV emittiert (was aufgrund der konstanten Reichweite am Luft evident ist). Je höher die Energie, desto kleiner die Halbwertzeit des radioaktiven Isotops. Zwei Protonen und zwei Neutronen sind besonders fest gebunden und bilden quasi ein "Teilchen"

innerhalb des Atomkerns.

Das Innere des Atomkerns kann (grob) als Kastenpotenzial beschrieben werden, d.h.

die Kraft auf Nukleonen und -Teilchen ist konstant und nimmt am Rand schnell ab (die starke Wechselwirkung ist kurzreichweitig). Die Potenzialbarriere entsteht durch das abstoßende Coulomb-Potenzial, ist also nicht konstant, sondern eine Funktion des Radius:

2 2

0

2 4

) 1

( r

e r Z

V  

 





Ladung des -Teilchens 2e Ladung des Tochterkerns Ze Radius des Kerns r

₁

Radius des äußeren "Umkehrpunkts" r

₂

(3)

WBK-Näherung (1926 Wentzel, Kramers, Brillouin)

0 )

2 ( )

2 (

²

2 2

2 2 2

2

  



 



 

 





 

 







 

 

         



 p

k x V x

m E E x

x x V

m

 

 ^V ^E 

p m e

A x

V E p m

k e

A x

x x k i





























1 2 )

(

1 2 )

(









Wellenzahl, reeller Impuls

exponentieller Ausdruck, imaginärer Impuls Schrödinger-Gleichung

WKB-Näherung: wenn sich V(x) langsam ändert (z.B. über eine de-Broglie-Wellenlänge nahezu konstant ist), dann bleibt die Wellenfunktion sinusförmig oder exponentiell und A, k und  sind langsam veränderliche Funktionen von x. Der Exponent kann auch durch die Phase f (x) ausgedrückt werden.

x k i x

i

x A e

e x A

x )  ( )  statt ( )  

^ ^

(

⁽ ⁾



^f

0 2

und 0

2

₂

2 2 2

2

      



 



  



 





 



 



 



 

 

 



 





 





 



 



 



 



 

 

 





 

 

f f

f f f

f f



f



f f

f

f f

A p A

A A

i A i

A A

e i

i A e

A

e i

A e

A

i i

i

i i



Nebenrechnung: erste und zweite Ableitung nach x

Zweite Ableitung in die Schrödinger-Gleichung (s.o.) eingesetzt, zwei getrennte Gleichung (Real- und Imaginärteil)

Zweite Gleichung

f f

f       C  A

C A

A

²

) 0

²

(

Erste Gleichung p x

dx x p p

A p

A        



 



  





  ⁰ ^f

²

_

²²

^f _ ^f _ ¹  ⁽ ⁾ ^statt _

(4)

 

 e

^ ^p ^x ^^dx

x

p

x C

⁽ ⁾

1

) ) (

(

^

Ergebnis: 

Beispiel: unendlich hoher Potenzialtopf der Breite a mit unebenem Boden

Das Integral geteilt durch ħ ersetzt k∙x, wenn V nicht konstant ist.

Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen am Ort x zu finden, ist umso kleiner, je höher der Impuls (und damit die Geschwindigkeit) ist.

   

 f



f f



^f ^f



























 

 

 ^p ^x ^dx ⁿ

C a

C C

x p e

C e

C x p x

a k a

i i





 

statt 0 2

2 1

) 1 (

0 0

) (

0 ) 0 (

cos sin

) ( 1 )

( ) 1

(

(vgl. unendlich hoher Potenzialtopf mit ebenem Boden)

Zurück zum Tunneleffekt beim Alpha-Zerfall

Das obige Ergebnis gilt auch für den Betrag des (imaginären) Impulses, wenn E < V:

Links, rechts und innerhalb der Barriere:

 

 e

^ ^p ^x ^^dx

x

p

x C

⁽ ⁾

1

) ( )

(

^



r d r p e

T A e

F

C e

r p e D

r p r C

r r

e F r

r e

B e

A r

r

r r d r p

r d r p r

d r p

r k i r

k i r

k i

r

r r

) ˆ ( ˆ mit 1

0 wobei

) ( )

( )

(

) (

0 2

ˆ ˆ) 1 (

ˆ ˆ) 1 ( ˆ

ˆ) 1 ( 2

1

2 1

0

0 0

 





 



 

 





















 























Wellenfunktion nimmt eher exponentiell ab als zu

Tunnel- oder Gamow-Faktor

r dr r E

dr m r E

E r m dr

r E e m Z

r r r

r r

r

  

 



  



 



  





   

 



   

 





²

1 2

1

2 1 1 2

2 4

2 1

1

² ₂ ₂

0

 

  



(5)

Ergebnis (nach Auswertung des Integrals):

fm 485 1 , 1 und

MeV 980

, 1

mit

₁ ₂

1 2

1

     

 K Z r K K

E K Z



Fermi"

"

1 m 10 fm

1 

^¹⁵



Zahl der "Tunnelversuche" pro Sekunde bei Geschwindigkeit v: Erfolgswahrscheinlichkeit: