(1)Fakult¨at f¨ur Mathematik Dr

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Dr. U. Streit 1. Juli 2019

Fourier - Reihe

f(t) : R→R, periodische Funktion, PeriodeT ω1 = 2π

T – Grundfrequenz , {ωk: ωk =k ω1, k∈Z} – Frequenzspektrum Die Formeln f¨ur f(t) gelten in den Stetigkeitspunkten von f, wenn f Voraussetzungen erf¨ullt, die die Konvergenz der Reihen sichern.

komplexe Form f(t) =

∞

X

k=−∞

cke^iωkt

ck= 1 T

Z T /2

−T /2

f(τ)e^−iωkτ dτ











f(t) = ω1

2π

∞

X

k=−∞

Z T /2

−T /2

f(τ)e^iωk(t−τ) dτ

reelle Form f(t) = a₀

2 +

∞

X

k=1

a_k cos ω_kt+b_k sin ω_kt

a_k = 2 Rec_k= 2 T

Z T /2

−T /2

f(τ) cos ω_kτ dτ c_k =







a_k/2 k = 0

(ak−i bk)/2 k >0 (a⁻k+i b⁻k)/2 k <0 (k ∈N∪ {0})

b_k =−2 Imc_k = 2 T

Z T /2

−T /2

f(τ) sin ω_kτ dτ (k ∈N)

Amplitudenform f(t) = a0

2 +

∞

X

k=1

A_k sin (ω_kt+ϕ_k) a0

2 – Gleichspannungsanteil A_k =q

a²_k+b²_k = 2|c_k| – Amplitude a_k =A_ksinϕ_k ϕk= Arg (bk+i ak) = Arg (i ck) – Phasenverschiebung bk=Akcosϕk

(jeweils k∈N) Symmetriefall

f(t) gerade : ck = 2 T

Z T /2 0

f(τ) cos ωkτ dτ , k∈Z

f(t) ungerade : ck=−i 2 T

Z T /2 0

f(τ) sin ωkτ dτ , k ∈Z