(a) Zeigen Sie, dass eABe−A

Ubungen zur Theoretischen Physik V¨ Quantenmechanik II

WS 2004/2005 Prof. H. B¨uttner

Blatt 3 Abgabe: Donnerstag, den 04.11.2004, bis 14 Uhr vor Zi. 01.504

Aufgabe 6: Baker-Hausdorff-Formel

Es seien A, B Operatoren auf einem Hilbertraum.

(a) Zeigen Sie, dass

e^ABe^−A=

∞

X

k=0

[A, B]_k k!

wobei die iterierten Kommutatoren [A, B]_k rekursiv durch die Gleichungen [A, B]₀ =B und [A, B]_k= [A,[A, B]_k−1], k ∈N , definiert sind.

(Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst, dass ∀ k∈N0 :P_k

n=0 k n

AⁿB(−A)^k−n= [A, B]_k) (b) Zeigen Sie: Gilt [A,[A, B]] = [B,[A, B]] = 0, so ist

(i) e^AB = (B+ [A, B]) e^A, (ii) e^(A+B)= e^Ae^Be^−12[A,B]und (iii) e^Ae^B = e^Be^Ae^[A,B].

Aufgabe 7: Vorbereitung f¨ur Aufgabe 8

Seien A, B Operatoren mit [A,[A, B]] = [B,[A, B]] = 0 und a(t), b(t) zwei stetig differenzierbare Funktionen mit den Ableitungen a^′(t) undb^′(t) sowiea(0) =b(0) = 0.

Zeigen Sie, dass die L¨osung der Differentialgleichung

d_t|Ψi= (a^′(t)A+b^′(t)B)|Ψi durch

|Ψ(t)i= exp [b(t)B] exp [a(t)A] exp Z t

0

dτ b(τ)a^′(τ)[A, B]

|Ψ(0)i

gegeben ist. Dabei wird e^b(t)Be^a(t)Ae^{R0tdτ b(τ)a′(τ)[A,B]} =: ˜T(t,0) als Zeitentwicklungsoperator be- zeichnet. (Anmerkung: F¨ur den Beweis hilfreich sind die Ergebnisse aus Aufgabe 6.)

Aufgabe 8: Zeitabh¨angige St¨orungsrechung

Ein harmonischer Oszillator H₀ = _2m^p2 +¹₂mω²x² =~ω a^†a+¹₂

wird einer ¨außeren Kraft ausge- setzt, die durch das Potential

V(t) = (

~f(t) a^†+a

0≤t≤T

0 sonst mitf(t) =−(2~mω)^−1/2Dcos(Ωt) beschrieben wird.

(a) Geben Sie die Bewegungsgleichungen eines Zustandes |Ψi und der Operatoren a, a^† sowie H =H₀+V im Schr¨odinger-, Heisenberg- und Wechselwirkungsbild (V St¨orung zu H₀) an.

(b) Berechnen Sie die Zeitentwicklung eines Zustandes |Ψi im Wechselwirkungsbild, und geben Sie den Zeitentwicklungsoperator ˜T(t,0) an.

(Ergebnis: ˜T(t,0) = e^{−F∗(t)a†}e^F(t)ae^{−R0tdτ F∗(τ)F′(τ)}, wobei F(t) = −iRt

0dτ f(τ)e^−iωτ und F^′(t) =d_tF(t))

(c) Wenn der Oszillator zur Zeit t= 0 im Grundzustand|0i ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet er sich zur Zeit t > T im n-ten angeregten Oszillatorzustand|ni?

(Gesucht ist also P_n=|hn|T˜(t,0)|0i|² f¨urt > T.)

(d) Berechnen Sie die in c) gesuchte Wahrscheinlichkeit jetzt in erster Ordnung St¨orungsrechnung, und vergleichen Sie mit dem Resultat in c).