Einf¨uhrung in die Diskrete Mathematik Ulrich Faigle Skriptum zur Vorlesung Wintersemester 2006/07 Universit¨at zu K¨oln Universit¨at zu K¨oln Mathematisches Institut Zentrum f¨ur Angewandte Informatik Weyertal 80

Einf ¨uhrung in die Diskrete Mathematik

Ulrich Faigle

Skriptum zur Vorlesung Wintersemester 2006/07

Universit¨at zu K¨oln

Universit¨at zu K¨oln Mathematisches Institut

Zentrum f¨ur Angewandte Informatik Weyertal 80

faigle@zpr.uni-koeln.de www.zaik.uni-koeln.de/AFS

Inhaltsverzeichnis

Teil 1. Z¨ahltheorie 3

Kapitel 1. Zahlen und Rechenstrukturen 5

1. Die nat¨urlichen Zahlen 5

2. Allgemeinere Zahlen, Gruppen, Ringe und K¨orper 10

3. Der Binomialsatz 13

4. Boolesche Algebra und Funktionenr¨aume 14

5. Polynomfunktionen 18

6. Doppeltes Z¨ahlen und das Schubfachprinzip 19 Kapitel 2. Formale Potenzreihen, Rekursionen

und erzeugende Funktionen 23

1. Der Ring der formalen Potenzreihen 24

2. Lineare Rekursionen 30

3. Erzeugende Funktionen 32

4. Konvergente Potenzreihen 35

Kapitel 3. Euklidische Ringe 39

1. Der gr¨osste gemeinsame Teiler 40

2. Kongruenzklassen und endliche K¨orper 42

Kapitel 4. Geordnete Mengen 55

1. Darstellung von Ordnungen 56

2. Inzidenzalgebra 63

3. Verb¨ande 72

4. Valuationen 76

Kapitel 5. Kombinatorische Geometrien 85

1. H¨ullensysteme und Abschlussoperatoren 85

2. Unahh¨angigkeitssysteme und geometrische Rangfunktionen 89 3. Kombinatorische Geometrien und Matroide 91

4. Projektive Geometrien 93

Kapitel 6. Graphen und Matroide 97

1. Gerichtete und ungerichtete Graphen 97

2. Potentiale, Fl¨usse und Spannungen auf Graphen 104

1

3. Graphische Matroide 106

4. Dualit¨at 111

Teil 1

Z¨ahltheorie

KAPITEL 1

Zahlen und Rechenstrukturen

Eine klassische Aufgabe der diskreten Mathematik (Kombinatorik) besteht darin zu ermitteln, wieviele

”Konfigurationen“ (d.h. diskrete Objekte von einem gewissen Typ) es gibt. Zu diesem Zweck wurden die

”Zahlen“ ent- wickelt. Wir gehen hier (aus Gr¨unden praktischer Zweckm¨assigkeit) den umgekehrten Weg und diskutieren zuerst kurz die Zahlen, bevor wir unter- suchen, wie man damit z¨ahlen kann.

Wir gehen von den nat¨urlichen Zahlen als gegeben aus. Alle anderen

”Zah- len“ sind mathematische Konzepte, die einem das logische Verst¨andnis von mathematischen Strukturen erleichtern k¨onnen. Praktisches Rechnen wird aberimmerauf das Rechnen mit nat¨urlichen Zahlen zur¨uckgef¨uhrt!

1. Die nat ¨urlichen Zahlen Die nat¨urlichen Zahlen bilden die Menge

N={0,1,2, . . . , n, n+ 1, . . .}.

Charakteristisch f¨ur sie ist, dass sie mit einem Element0beginnen und dann jedes Elementn ∈ Ngenau einen Nachfolgern+ 1 ∈ Nbesitzt. Dadurch kann man Elementemeiner MengeM

”der Reihe nach“ abz¨ahlen:

m₀, m₁, m₂, . . .

Dies ist ein algorithmischer Prozess, den man so pr¨azisieren kann:

(0) Setzen:= 0.

(i) IstM =∅, stop mit der Ausgabe

”M hatnElemente“.

IstM 6=∅, w¨ahlem ∈M und setze n :=n+ 1undM :=M \ {m}

und iteriere.

Endliche und unendliche Mengen. Wenn dieser Z¨ahlalgorithmus nach endlich vielen Schritten stoppt, dann istM endlichund hat |M| = n Ele- mente. Ansonsten heisstM unendlich, was mit|M|=∞ausgedr¨uckt wird.

5

1.1. Induktion und rekursive Definition. Die Konstruierbarkeit jeder nat¨urlichen Zahl n als

”Nachfolger von Nachfolger von .... von Nachfol- ger von0“ f¨uhrt auf das fundamentale Beweis- und Definitionsprinzip der mathematischen Induktion.

Man geht von einer Reihe von

”Aussagen“ A_n aus, die jeweils von einem Parametern∈Nabh¨angen. Das Schlussprinzip ist nun:

A₀ ist wahr

wennA_nwahr ist, dann auchA_n+1

=⇒ A_nist f¨ur allen∈Nwahr.

Nach diesem Prinzip kann man algebraische Operationen aufNdefinieren.

Die Addition erh¨alt man z.B. so:

(0) m+ 0 :=m

(n) m+n := (m+ (n−1)) + 1.

Die Multiplikation ist so definiert:

(0) m·0 := 0

(n) m·n:=m·(n−1) +m.

Es ist dann Routine, die G¨ultigkeit der folgenden Rechenregeln (per Induk- tion!) zu beweisen:

a+ (b+c) = (a+b) +c a+b = b+a a·(b·c) = (a·b)·c

a·b = b·a

a·(b+c) = (a·b) + (a·c)

Nach dem gleichen Prinzip lassen sich auch mathematische Ausdr¨ucke de- finieren. Zum Beispiel kann mann!so definieren:

(0) 0! := 1

(n) n! :=n·(n−1)!.

Eine solche Definition (per Induktion) heisst auchrekursiv.

MAN BEACHTE: Eine Definition per Rekursion beinhaltet immer einen Al- gorithmus zur praktischen Berechnung des Ausdrucks!

1.2. Die fundamentalen Z¨ahlprinzipien. Das Abz¨ahlprinzip der na- t¨urlichen Zahlen ergibt das grunds¨atzlichste aller Z¨ahlprinzipen. Sind M undN endliche Mengen, dann gilt dieSummenregel:

|M ∪N| = |M|+|N| wennM ∩N =∅

1. DIE NAT ¨URLICHEN ZAHLEN 7

Daraus folgt

”per Induktion“ sofort f¨ur die paarweise disjunkten Mengen M₁, . . . , M_n:

|M1∪. . .∪Mn|=

n

X

i=1

|Mi| (wennMi ∩Mj =∅f¨ur allei6=j.) Daraus wieder folgt die allgemeine Formel

|M|+|N|=|M ∪N|+|M ∩N|,

wie man durch Zerlegung in paarweise disjunkte Mengen sofort sieht:

M = (M \N)∪(M ∩N) N = (N \M)∪(M ∩N)

M ∪N = (M \N)∪(M ∩N)∪(N \M).

PARTITIONEN. Eine Partitionder Menge M ist eine Zerlegung von M in paarweise disjunkte TeilmengenM₁, . . . , M_k (den sog.Bl¨ockender Partiti- on):

M =

k

[

i=1

Mi mitMi∩Mj =∅f¨ur allei6=j.

Das zweite fundamentale Z¨ahlprinzip leitet sich aus dem ersten ab. Wir betrachten die MengeM ×N aller Paare (m, n)von Elementen m ∈ M undn ∈N. Dann gilt dieProduktregel

|M ×N| = |M| · |N|

Um die Produktregel einzusehen, nehmen wir M = {m₁, . . . , m_k} und N ={n₁, . . . , n_`}an.M×N l¨asst sich dann partitionieren in diekBl¨ocke

M₁ = {(m₁, n₁),(m₁, n₂), . . . ,(m₁, n_`)}

M₂ = {(m₂, n₁),(m₂, n₂), . . . ,(m₂, n_`)}

...

M_k = {(m_k, n₁),(m_k, n₂), . . . ,(m_k, n_`)}

Jeder BlockM_iumfasst`Elmente. Also ist|M×N|=k·`.

1.3. Kombinationen und Permutationen. SeiMeine Menge mit|M|= mElementen undkeine nat¨urliche Zahl. Eine(m, k)-Kombinationist eine Anordnung vonkverschiedenen Elementen vonM:

(m₁, m₂, . . . , m_k) (m_i ∈M \ {m₁, . . . , mi−1}, i= 2, . . . , k.}

SeiC(m, k)die Anzahl aller m¨oglichen (m, k)-Kombinationen. Dann gilt offenbar

(0) C(m, k) = 0, wennm6≥k.

(i) C(m,1) =m, wennm ≥1.

(ii) C(m, k) =m·C(m−1, k−1), wennm≥k ≥2.

Die Rekursion (ii) folgt aus der Summenregel, wenn wir die Kombinationen nach dem ersten Element geordnet in m Bl¨ocke partitionieren. Induktion ergibt somit f¨urm≥k ≥1:

(1) C(m, k) =m(m−1)· · ·(m−(k−1)) = m!

(m−k)!

Definieren wir zus¨atzlich C(0,0) := 1, dann gilt die Formel (1) f¨ur alle nat¨urlichen Zahlenm ≥k≥0.

Im Fall m = k heisst eine(m, k)−Kombination auch Permutationvon M. Also ist die Anzahl der Permutationen vonM:

C(m, m) = m! (m∈N)

1.4. Teilmengen. SeiM wieder eine Menge mit|M| =mElementen undk∈N. Wir bezeichnen die Anzahl allerk-elementigen Teilmengen von M mit dem Symbol ^m_k

. Dieser Parameter heisst auchBinomialkoeffizient.

(Woher diese Bezeichnung kommt, wird sp¨ater aus dem sog.

”Binomial- satz“ klar werden.)

Um eine Formel f¨ur diese Anzahl zu bekommen, ¨uberlegt man sich: aus jederk-Teilmenge vonM lassen sichk!Kombinationen bilden. Ausserdem f¨uhren verschiedene k-Teilmengen zu verschiedenen Kombinationen. Die Summenregel ergibt deshalb:

(2) C(m, k) = m

k

k! bzw.

m k

= m!

k!(m−k)! (m≥k ≥0) 1.4.1. Das Pascalsche Dreieck. Auch f¨ur die Binomialkoeffizienten l¨asst sich ¨uber die Summenregel leicht eine Rekursion aufstellen. Dazu ¨uberlegt man sich zun¨achst:

m k

= 0 (m6≥k) und m

0

= m

m

= 1 (m∈N), wobei die zweite Formel die Wahl der leeren Menge als einziger Teilmenge mit 0 Elementen bzw. der Wahl von M als Teilmenge mit m Elementen entspricht. Im Fallm ≥k ≥1beobachten wir die Relation

(3)

m k

=

m−1 k−1

+

m−1 k

,

1. DIE NAT ¨URLICHEN ZAHLEN 9

wenn wir diek-Teilmengen vonM danach unterteilen, ob sie ein fest gew¨ahl- tes Elementa ∈ M enthalten oder nicht enthalten. Diese Relation, aus der man die Binomialkoeffizienten nach einem rekursiven Schema berechnen kann, ist alsPascalsches Dreieckbekannt.

SeiP ot(M)die Potenzmenge vonM. Der gleiche rekursive Ansatz zeigt

|P ot(∅)|= 1 und |P ot(M)|= 2· |P ot(M \ {a})|.

Also schliessen wir:

|P ot(M)|= 2^|M| bzw.

m 0

+

m 1

+. . .+ m

m

= 2^m

1.5. Beschreibung durch Funktionen. Die oben eingef¨uhrten kombi- natorischen Grundstrukturen k¨onnen auch in der Sprache von Abbildungen verstanden werden. Zum Beispiel kann man sich eine Teilmenge S ⊆ M als durch eine Funktionf_S :M → {0,1}

”gegeben“ vorstellen, wobei S ={m∈M |f_S(m) = 1}.

Mit diesem Verst¨andnis w¨arefSetwa als eine

”Messapparatur“ aufzufassen, in die Elementem∈M eingegeben werden k¨onnen. Genau im Fallm∈S wird der Wert

”1“ angezeigt:

m∈S −→ f_S −→ 1, m /∈S −→ f_S −→ 0.

Eine(m, k)-Kombination w¨are in diesem Rahmen einfach eine injektive(!) Abbildung

f :{1, . . . , k} →M, die wir durch ihre Wertetafel angeben:

1 2 . . . k

f m₁ m₂ . . . m_k ←→ (m₁, m₂, . . . , m_k).

Um Partitionen zu beschreiben, definieren wir zuerst einegeordnete Parti- tionvonM inknichtleere Bl¨ocke als eine surjektive Abbildung

f :M → {1, . . . , k}.

Die zugeh¨origen k Bl¨ocke M₁ = f⁻¹(1), . . . , M_k = f⁻¹(k) bilden dann eineungeordnetePartition vonM.

BEMERKUNG.Der Unterschied zwischen

”ungeordneten“ und

”geordneten“ Par- titionen ist wie der Unterschied zwischen

”Teilmengen“ und

”Kombinationen“.

2. Allgemeinere Zahlen, Gruppen, Ringe und K¨orper In der algebraischen Struktur(N,+)kann man eine Gleichung vom Typ

a+x= 0 (a∈N\ {0})

nicht l¨osen. Deshalb definiert man neue Zahlenx_aals ideelle Gr¨ossen vom Typ

x_a =−a (a∈N\ {0})

und rechnet mit diesen neuen wie mit nat¨urlichen Zahlen unter Beachtung der Zusatzregel

a+ (−a) = 0 (a∈N).

MitZ={. . . ,−n, . . . ,−1,0, . . . , n, . . .}kommt man damit zu der Rechen- struktur(Z,+,·)der ganzen Zahlen mit der eindeutigen L¨osbarkeitseigen- schaft

a+x= 0 =⇒ x=−a (a∈Z).

In(Z,+,·)kann man jedoch keine Gleichungen der Form a·x= 1 (a6= 0,1)

l¨osen. Also erweitert man Zmit wieder neuen Zahlen vom Typx_a = a⁻¹ (wenna 6= 0) und rechnet wie in(Z,+,·)mit der Zusatzregel

a·a⁻¹ = 1 (a6= 0).

Damit kommen wir zur Menge der rationalen Zahlen Q={b·a⁻¹ |a, b∈Z, a6= 0}

mit den ¨ublichen Rechenregeln. In Q sind nun beliebige Gleichungen der Form

p·x=q (p, q ∈Q) l¨osbar.

BEMERKUNG.Sinda, b, c∈Zbeliebige ganze Zahlen6= 0, so sind die rationalen Zahlenb·a⁻¹und(b·c)(a·c)⁻¹ ¨aquivalent. Man schreibt dies kurz als Gleichung

b

a = b·c a·c

und interpretiert diese als K¨urzungsregel. Streng genommen ist eine

”rationale Zahl“ also eine ¨Aquivalenzklasse von Ausdr¨ucken der Formb·a⁻¹. F¨ur den

”Ma- thematiker“ erscheint dies als selbstverst¨andlich. Im

”richtigen Leben“ macht es jedoch einen gewaltigen Unterschied aus, ob man z.B.1 ganzes Ei oder 2 halbe Eier hat!

2. ALLGEMEINERE ZAHLEN, GRUPPEN, RINGE UND K ¨ORPER 11

2.1. Reelle und komplexe Zahlen. Anschaulich gesprochen ist eine reelle Zahlein Ausdruck der Form

r =a+

∞

X

i=1

a_i

10ⁱ mit a∈Z, ai ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,9}.

Genauer aber ist r eine Folge (r_n) von rationalen Zahlen der speziellen Form

r_n=a+

n

X

i=1

ai

10ⁱ,

als deren Limes man sich r denkt. Auch hier muss man eigentlich noch pr¨aziser sein und sichrals eine ¨Aquivalenzklasse von Folgen(r⁰_n)rationaler Zahlenr_n⁰ denken, mit der Eigenschaft

n→∞lim(r_n−r⁰_n) = 0.

EX. 1.1. Jede rationale Zahl q ist eine reelle Zahl. Um das einzusehen, nehmen wir0 ≤ q <1an und definierena_nrekursiv als die gr¨osste ganze Zahl mit der Eigenschaft

a_n 10ⁿ +

n−1

X

i=1

a_i

10ⁱ ≤ q.

Dann gilt

q= lim

n→∞

n

X

i=1

a_i 10ⁱ.

Man kann sich alsoQals Teilmenge der MengeRaller reellen Zahlen vor- stellen. In diesem Sinn gilt:

N⊆Z⊆Q⊆R.

InRkann man nicht nur Gleichungen der Forma·x=bsondern auch der Form

a^x =b (a, b >0)

l¨osen, deren L¨osung man alsx= log_abnotiert. Ausserdem kann man Wur- zeln (aus nichtnegativen) reellen Zahlen ziehen. D.h. die Gleichung

xⁿ−r= 0

ist f¨ur aller ≥ 0l¨osbar. Allerdings existieren schon keine Quadratwurzeln negativer Zahlen. Z.B. ist die folgende Gleichung inRunl¨osbar:

x²+ 1 = 0.

Man nimmt sich deshalb eine fiktive (

”imagin¨are“) neue

”Zahl“izur Hand, die man sich als L¨osung der obigen Gleichung vorstellt,

i² =−1, bildet die MengeCaller Ausdr¨uckezder Form

z =a+ ib (a, b∈R)

und rechnet mit diesen nach den ¨ublichen Rechenregeln. Es stellt sich nun heraus, dass in der Rechenstruktur(C,+,·)die Gleichung

a₀+a₁x+. . .+an−1xⁿ⁻¹ = 0 (a₀, . . . , an−1 ∈C)

immer l¨osbar ist, sofern a_i 6= 0f¨ur mindestens ein i ≥ 1gilt. Diese Fest- stellung ist als der sog.Fundamentalsatz der Algebrabekannt.

BEMERKUNG.Die obigen

”Konstruktionen“ von Zahlen haben bislang zu keinem erkennbaren Widerspruch im Rahmen unseres menschlichen Verst¨andnisses von

”logisch“ gef¨uhrt. Daraus folgern manche Leute, dass es tats¨achlich ein irgendwie

”absolutes“ Universum gibt, in dem es rein logisch zugeht und in dem diese fiktiven gedanklichen Einheiten echt existieren. (Bei solchen ¨Uberlegungen bewegt man sich aber schon im Bereich von Philosophie und Religion.)

2.2. Gruppen, Ringe und K¨orper. In Verallgemeinerung der alge- braischen Rechenstruktur von (N,+,·) verstehen wir unter einerkommu- tativen Halbgruppe eine algebraische Rechenstruktur (H,⊕) mit bin¨arer Verkn¨upfung⊕undNeutralelemente ∈H derart, dass f¨ur allea, b, c ∈H gilt:

a⊕(b⊕c) = (a⊕b)⊕c a⊕e = e⊕a = a

Der Halbring (H,⊕)heisst kommutativ (oder abelsch), wenn die Reihen- folge bei der Summenbildung keine Rolle spielt, d.h.

a⊕b =b⊕a f¨ur allea, b∈H.

So ist(N,+)eine (abelsche) Halbgruppe mit Neutralelemente = 0. Ebenso ist aber auch (N\ {0},·) eine (ablesche) Halbgruppe mit Neutralelement e= 1.

TERMINOLOGIE. Schreibt man die Halbgruppe mit Additionszeichen, so heisst das Neutralelement meistNullelement und wird mit

”0“ notiert. Bei multiplikati- ver Notation, heisst das Neutralelement entsprechend Einselement und wird mit

”1“ bezeichnet.

Unter einem Halbring versteht man eine algebraische Struktur (H,⊕,) derart, dass

(HR1) (H,⊕)ist eine kommutative additive Halbgruppe.

3. DER BINOMIALSATZ 13

(HR2) (H\ {0},)ist eine multiplikative Halbgruppe.

(HR3) F¨ur allea, b, c∈Hgilt

a0 = 0a = 0 a(b⊕c) = (ab)⊕(ac) (a⊕b)c = (ac)⊕(bc).

Der Halbring (H,⊕,) heisst kommutativ, wenn auch die Multiplikation inH kommutativ ist.

Die Halbgruppe(G,⊕)mit NeutralelementeheisstGruppe, wenn die Glei- chung

a⊕x=e

immer l¨osbar ist. Die L¨osungxa ∈ G heisstInverses vona. Im additiven Fall schreibt manx_a=−aund im multiplikativen Fallx_a=a⁻¹.

Der Halbring(R,⊕,)heisstRing, wenn(R,⊕)eine Gruppe ist. EinK¨orper ist ein Ring(K,⊕,), bei dem auch(K\{0},)eine kommutative Gruppe ist.

So ist (Z,+,·) ein kommutativer Ring (aber kein K¨orper). Q,R,C sind (unter den ¨ublichen Rechenregeln mit

”+“ und

”·“) K¨orper.

Ganz allgemein k¨onnen wir die Elemente jeder algebraischen Struktur als

”Zahlen“ interpretieren (weil wir mit diesen in einem vern¨unftigen Sinn

”rechnen“ k¨onnen). F¨ur die Zwecke dieser Vorlesung werden wir uns dabei aber auf Halbringe beschr¨anken.

3. Der Binomialsatz

SeiR = (R,+,·)ein beliebiger kommutativer Halbring undN ={1, . . . , n}

einen-elementige Menge. Wir betrachten beliebige Elementex₁, . . . , x_n, y₁. . . , y_n∈ Rund setzen f¨ur jede TeilmengeS ⊆N abk¨urzend

x_∅ := 1 ∈ R und x_S :=Y

s∈S

x_s (S 6=∅).

(y_Sist nat¨urlich analog definiert.) Dann ergeben die Rechenregeln inR:

SATZ1.1 (Binomialsatz).

n

Y

i=1

(x_i+y_i) = X

S⊆N

x_S·y_N\S

Beweis. Wir argumentieren (nat¨urlich) per Induktion. Im Falln= 1haben wir x₁+y₁ =x_∅y₁+x₁y_∅,

wie behauptet. F¨urn≥2schliessen wir deshalb

n

Y

i=1

(xi+yi) = (xn+yn)

n−1

Y

i=1

(xi+yi)

= x_n X

S⊆N\{n}

x_Sy_(N\{n}\S)+y_n X

S⊆N\{n}

x_Sy_(N\{n}\S)

= X

S3n

x_Sy_N\S+X

S63n

x_Sy_N\S

= X

S

xSyN\S.

3.1. Ein paar klassische Formeln f ¨ur Binomialkoeffizienten. Durch spezielle Wahl derx_i und y_i erh¨alt man nun sofort neue Formeln. Nimmt man z.B.x₁ =. . .=x_n=xundy₁ =. . .=y_n=y, dann erh¨alt man

(x+y)ⁿ= X

S⊆N

x^|S|y^n−|S|=

n

X

k=0

X

|S|=k

x^ky^n−k. Im FallR=Nhaben wir

X

|S|=k

x^ky^n−k= n

k

x^ky^n−k und erhalten somit die Identit¨at

(x+y)ⁿ =

n

X

k=0

n k

x^ky^n−k

Daraus wiederum folgen die Summenformeln der Binomialkoeffizienten 0 =

n

X

k=0

(−1)^n−k n

k

(x= 1, y =−1) 2ⁿ =

n

X

k=0

n k

(x=y= 1)

4. Boolesche Algebra und Funktionenr¨aume

Auf der zweielementigen MengeB={0,1}betrachten wir die Operationen

∨ 0 1 0 0 1 1 1 1

∧ 0 1 0 0 0 1 0 1

− 0 1 1 0

4. BOOLESCHE ALGEBRA UND FUNKTIONENR ¨AUME 15

Mit diesen Operationen istBein Halbring. Insbesondere haben wir z.B.

a∨b =a∧b.

Sei nunM eine beliebige Menge. Wir betrachten die Menge aller Funktio- nen

B^M ={χ:M → B}

Jedemχ∈ B^M entspricht eine eindeutige Teilmenge trχ={m∈M |χ(m)6= 0}.

Im Fall trχ = A benutzen wir deshalb auch die Notation χ_A (statt nur χ). Die oben eingef¨uhrte algebraische Struktur auf Bmacht B^M selber zu einem Halbring und es gelten die Regeln

χ_A∨χ_B = χA∪B

χ_A∧χ_B = χA∩B

χ_A = χ_M\A

χ_A∨(χ_B∧χ_C) = (χ_A∨χ_B)∧(χ_A∨χ_C) χA∨χB = χA∧χB.

Die Rechenregeln des Halbrings B^M ¨ubersetzen sich in die Sprache der Teilmengen vonM als die sog.de MorganschenGesetze:

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) M \(A∪B) = (M \A)∩(M \B)

(B^M,∨,∧,⁻) ist eine sog. boolesche Algebra. Im Fall M = {1, . . . , n}

benutzt man auch die Notation

B_n=B{1,2,...,n}

=Bⁿ.

4.1. Boolesche Funktionen. Eine Funktion ϕ : {0,1}ⁿ → {0,1} ist eine sog.boolesche Funktion. MitM ={0,1}ⁿbildet die Menge aller boo- leschen Funktionen die boolesche AlgebraB^M. Seiϕ eine feste boolesche Funktion. Wir setzen

C =trϕ ={x∈ {0,1}ⁿ |ϕ(x) = 1}

und erhalten dann die Darstellung ϕ(x) = _

c∈C

ϕ_c(x) mit ϕ_c(x) =

1 (x=c) 0 (x6=c)

Betrachten wir weiterhin die Tr¨agermengen trc= {i |ci = 1}, so k¨onnen wirϕ_c als Produkt von booleschen Variablenx_i und x_j (mit Werten in B) ausdr¨ucken:

ϕ_c(x) = ( ^

i∈trc

x_i)∧( ^

j /∈trc

x_j)

In dieser Form ausgedr¨uckt istϕc(x)eine sog.Klausel. Insgesamt erhalten wirϕ(x) als boolesche Summe von Klauseln, die selber nur Produkte von (m¨oglicherweise negierten) booleschen Variablen sind:

(4) ϕ(x) = _

c∈C

[ ^

i∈tr^c

x_i)∧ ^

j /∈tr^c x_j]

Diese Darstellung ist die sog.disjunktive Normalformder booleschen Funk- tionϕ. Analog erh¨alt man die konjuktive Normalform, n¨amlich ein boole- sches Produkt von Klauseln, die jeweils nur boolesche Summen von boole- schen Variablen sind:

(5) ϕ(x) = ^

c /∈C

ϕ_c(x).

Denn wir haben nach den booleschen Rechenregeln:

ϕ_c(x) = _

i∈tr^c

x_i∨ _

j /∈tr^c x_j.

4.2. Bin¨are Vektorr¨aume. Man kann auf der zweielementigen Menge Z2 ={0,1}auch die folgende Rechenstruktur definieren:

+ 0 1 0 0 1 1 1 0

· 0 1 0 0 0 1 0 1

Damit istZ2ein K¨orper und die FunktionenmengeZ^M2 (die aus dengleichen Funktionen besteht wieB^M) ist ein Vektorraum. Hier sind die Rechenregeln

χA+χB = χA∆B

χ_A·χ_B = χA∩B,

wobei die sog.symmetrische Differenzvon Teilmengen definiert ist als A∆B = (A∪B)\(A∩B).

4.3. Funktionenr¨aume. Sei(R,⊕,)ein beliebiger Halbring. Dann ist

R^M ={f :M → R}

ein Halbring unter den Operationen

f ⊕g ←→ (f ⊕g)(m) =f(m)⊕g(m) f g ←→ (f g)(m) =f(m)g(m)

4. BOOLESCHE ALGEBRA UND FUNKTIONENR ¨AUME 17

Im speziellen Fall einer konstanten Funktionχm(x) = m k¨onnen wirm ∈ M mitχ_m(x)∈ R^M identifizieren. In diesem Sinn gilt

M ⊆ R^M.

IstRein K¨orper, dann istR^M ein Vektorraum mit derSkalarmultiplikation mf =χmf ←→ (mf)(x) =mf(x),

die sich als Spezialfall einer allgemeineren Multiplikation von Vektoren(!) erweist.

4.4. Matrizen. MatrizenA= [a_ij]mit Koeffizientena_ijin einem Halb- ring(R,⊕,)k¨onnen nach den ¨ublichen Regeln des Matrixkalk¨uls addiert und multipliziert werden. Damit wird beispielsweise die MengeR^n×naller (n×n)-Matrizen ¨uberRzu einem (bzgl. der Multiplikation nichtkommu- tativen!) Halbring.

4.4.1. K¨urzeste Wege. Als Beispiel betrachen wirR = R∪ {∞} mit den Operationen

a⊕b = min{a, b}

ab = a+b

(R,⊕,)ist ein Halbring mit Nullelement(!)∞und Einselement(!)0:

a⊕ ∞=a und a0 =a.

SeiD= [dij] ∈R

n×neine Matrix, wobei wirdij als die (k¨urzeste)Distanz von i nach j interpretieren, wenn wir j von i in einem Schritt erreichen wollen. Die k¨urzeste Distanz mit genau einem Zwischenschritt ist

d⁽²⁾_ij = min

k {d_ik+d_kj}=M

k

(d_ikd_kj) Also finden wir

[d⁽²⁾_ij ] =DD=D².

Allgemeiner erhalten wir die k¨urzesten Distanzen d^(m)_ij mit genau m −1 Zwischenschritten aus der Matrixpotenz:

[d^(m)_ij ] =D^m−1·D=D^m.

FOLGERUNG: K¨urzeste Abst¨ande k¨onnen also mit simplen Matrixmultipli- kationen ermittelt werden.

BEMERKUNG. Im Falldii = 0f¨ur allei, istd^(m)_ij nat¨urlich die k¨urzeste Distanz voninachjmith¨ochstensm−1Zwischenschritten.

5. Polynomfunktionen

Eine Funktion p : R → R heisst Polynomfunktion, wenn p die folgende Darstellung erlaubt:

p(x) = a₀+a₁x+. . .+a_n−1xⁿ (a_i ∈ R).

(Der Einfachheit halber schreiben wir hier

”+“ statt des allgemeinen

”⊕“ usw.) PR bezeichnet die Menge aller Polynomfunktionen. Istq mit der Darstel- lung

q(x) = b₀+b₁x+. . .+bm−1x^m

eine weitere Polynomfunktion, so ist das Produkth = p·qeine Polynom- funktion, wobei

(6) h(x) =

n+m

X

k=0

c_kx^k mit c_k= X

i+j=k

a_ib_j,

wie man durch Ausmultiplizieren vonp(x)q(x)und Zusammenfassen nach Potenzenx^ksofort sieht. Ist Rein Ring, dann ist auchPR ein Ring. Denn die Polynomfunktion−pmit−p(x) =Pn

i=0(−ai)xⁱ l¨ost die Gleichung p+X = 0.

Im FallR=Csieht man leicht sup

x∈N

|

n

X

k=0

a_kx^k|=∞ wenna_n6= 0undn ≥1.

Daraus folgt, dass das Nullpolynomp₀ ≡0inP_Cnur die Darstellung p(x) = 0

gestattet. Damit findet man

LEMMA 1.1 (Eindeutigkeitslemma). Seien a₀, . . . , a_n, b₀, . . . , b_n ∈ Cder- art, dass

n

X

k=0

a_kx^k =

n

X

k=0

b_kx^k f¨ur allex∈N. Dann gilta_k =b_kf¨ur allek= 0, . . . , n.

Beweis. Sein≥1. Wir betrachten die Polynomfunktionp(x) =

n

X

k=0

(a_k−b_k)x^k. Nach Voraussetzung haben wirsup_x∈N|p(x)| = 0 und folglichak−bk = 0 f¨ur allek.

WegenZ⊆Q ⊆R ⊆Cfinden wir, dass auch z.B. f¨ur jede Polynomfunk- tionp∈ P_Zgilt:

6. DOPPELTES Z ¨AHLEN UND DAS SCHUBFACHPRINZIP 19

• entweder istp≡0oder es gibt eindeutig bestimmte Koeffizienten a₀, . . . , a_nmita_n6= 0und der Eigenschaft

p(x) =a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ.

EX. 1.2 (Vandermondsche Identit¨at). Wir w¨ahlenR=Nund substituieren x_i =xundy = 1in der binomischen Formel. Sind nuna, b∈ Nbeliebige nat¨urliche Zahlen, so erhalten wir

a+b

X

k=0

a+b k

x^k = (x+ 1)^a+b = (x+ 1)^a(x+ 1)^b

=

a

X

i=0

a i

xⁱ

·

b

X

j=0

b j

x^j Polynommultiplikation und Koeffizientenvergleich liefert

(7)

a+b k

= X

i+j=k

a i

b j

=

k

X

i=0

a i

b k−i

. 6. Doppeltes Z¨ahlen und das Schubfachprinzip

DasPrinzip des doppelten Z¨ahlens (in Bezug auf eine kommutative Halb- gruppeH) beruht auf der Tatsache, dass man die Koeffezientensumme einer Matrix

A =









a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

... ... ... ... a_m1 a_m2 a_m3 . . . a_mn









auf zwei Weisen berechnen kann:

• Addition der Spaltensummen vonAoder Addition der Zeilensum- men vonA:

n

X

j=1 m

X

i=1

a_ij =

m

X

i=1 n

X

j=1

a_ij.

Die Reihenfolge der Summanden in einer endlichen Summe inHist n¨amlich f¨ur den Summationswert irrelevant.

EX. 1.3 (Harmonische Zahlen). Relativ zu H = Ndefinieren wir f¨ur alle 1≤i, j ≤ndie Koeffizienten

a_ij =

(1 iteiltj, 0 iteiltj nicht.

Damit erhalten wir t_j =

n

X

i=1

a_ij = Anzahl der Teiler vonj

vi =

n

X

j=1

aij = Anzahl der Vielfachen≤nvoni, d.h. vi = bn/ic, wobeibacdie gr¨osste ganze Zahl≤ abezeichne. Wir interessieren uns f¨ur denDurchschnittswertt(n)der Teileranzahlentj:

t(n) := t1+t2+. . .+tn

n = 1

n

n

X

i=1 n

X

j=1

a_ij . Das Prinzip des doppelten Z¨ahlens f¨uhrt auf

t(n) = v₁+v₂+. . . v_n

n = 1

n(bn/1c+bn/2c+. . .+bn/nc). Wegenbn/ic ≤n/i≤ bn/ic+ 1finden wir

t(n)∼H_n bzw. |t(n)−H_n| ≤1,

wobeiHn= 1 + 1/2 + 1/3 +. . .+ 1/ndie sog.n-teharmonische Zahlist.

BEMERKUNG. Aus der Ann¨aherung des Integrals durch Riemannsche Sum- men gewinnt man in der vorliegenden Situation die Approximation:

H_n ∼ Z n

1

1

xdx = logn . In diesem Sinn k¨onnte man deshalb sagen:

”Im Durchschnitt“ hat eine nat¨urliche Zahlnetwalognviele Teiler.

Das Schubfachprinzip ist die Formulierung der folgenden trivialen Beob- achtung:

• WennnGegenst¨ande aufr >0Schubf¨acher verteilt werden, so enth¨alt mindestens ein Fachn/r(oder mehr) der Gegenst¨ande.

Mit dem Schubfachprinzip kann man keine genauen Anzahlen von Konfi- gurationen ableiten. Aber es liefert oft ¨uberraschend einfache Beweise der Existenzbestimmter Konfigurationen. Wir illustrieren dies am Beispiel des Satzes von Ramsey f¨ur GraphenK_n(s.u.).

Der (sog.vollst¨andige) Graph K_nhat als Knotendie Elemente der Menge N = {1,2, . . . , n} und alsKantenalle2-elementigen Teilmengene ⊆ N. Wir schreiben abk¨urzend

E_n= N

2

:={e⊆N |eist2-elementig}.

6. DOPPELTES Z ¨AHLEN UND DAS SCHUBFACHPRINZIP 21

Die Knoten u und v heissen die Endpunkteder Kante e = {u, v}. Unter einer (rot/blau)-F¨arbungvonE_nverstehen wir eine Abbildung

c: N

2

→ {r, b}

und nennen die Kantee ∈ E_n

”rot“ bzw.

”blau“ je nach dem, obc(e) = r oderc(e) =bgilt.

EX. 1.4 (Satz von Ramsey). Man sagt, K_n habe die Ramseyeigenschaft R(p, q), falls folgende Aussage richtig ist:

R(p, q): Zu jeder F¨arbungc : E_n → {r, b}existiert entweder ein U ⊆ N mit|U|=pderart, dass

c(e) = r f¨ur allee∈ ^U₂ ,

oder es existiert einV ⊆N mit|V|=qderart, dass c(e) =b f¨ur allee∈ ^V₂

.

Wir wollen nun f¨ur allep, q ≥2beweisen: Es gibt eine kleinste Zahlr(p, q) mit der Eigenschaft

n ≥ r(p, q) =⇒ K_nbesitzt die EigenschaftR(p, q).

Man ¨uberzeugt sich leicht (wennp, q ≥2):

r(p,2) =p und r(2, q) = q .

F¨ur den allgemeinen Fall nehmen wir nun an, dassr(p−1, q)undr(p, q−1) existieren und betrachten

n ≥ 2·max{r(p−1, q), r(p, q−1)}

und einen festen Knotena∈N ={1,2, . . . , n}. Nach dem Schubfachprin- zip sind mindestensn/2der Kanten mit Endpunktaz.B.

”rot“ gef¨arbt (bei

”blau“ w¨urden wir v¨ollig analog argumentieren). Sei N⁰ ={u∈N \ {a} |c({a, u}) =r}.

Wegen |N⁰| ≥ r(p−1, q)gibt es entweder eine Teilmenge V ⊆ N⁰ von q Knoten mit ausschliesslich blauen Kanten oder es gibt eine TeilmengeU⁰ ⊆ N⁰vonp−1Knoten mit ausschliesslich roten Kanten (sodassU =U⁰∪{a}

einep-Teilmenge vonN mit ausschliesslich roten Kanten ist).

Auf jeden Fall haben wir somit erkannt:

r(p, q) ≤ 2·max{r(p−1, q), r(p, q −1)}.

BEMERKUNG.Man sieht leicht ein:r(3,3) = 6. Im allgemeinen sind die exakten Werte der

”Ramseyzahlen“ r(p, q)nur in ganz wenigen F¨allen bekannt.

KAPITEL 2

Formale Potenzreihen, Rekursionen und erzeugende Funktionen

Wir gehen von folgender abstrakten Situation aus. Gegeben ist eine Klasse Okombinatorischer Objekte und eine Klassifikationsabbildungt:O →N. Wir nennen den Parameter t(O) ∈ N den Typ des Objektes O ∈ O und setzen

O_n={O ∈ O |t(O) =n}.

Wir nehmen an, die MengenO_nder Objekte vom Typnsind jeweils endlich und interessieren uns f¨ur die Parameter

f_n=|O_n| (n∈N).

Der KlasseOordnen wir somit den (unendlichen) Vektor f = (f₀, f₁, . . . , f_n, . . .)∈R^N zu und suchen eine

”geschlossene Form“ von f, aus der die f_n zur¨uckge- wonnen werden k¨onnen.

EX. 2.1. SeiM einen-elementige Menge undO =P ot(M)deren Potenz- menge. Mitt(O) =|O|erhalten wir

f = ( n

0

, n

1

, . . . , n

n

,0,0, . . .)

Eine”geschlossene Form“ w¨are gegeben z.B. durch die Funktion

f(x) = (1 +x)ⁿ =

n

X

k=0

n k

x^k =

∞

X

k=0

fkx^k, wo man diefkaus den Ableitungen gewinnen kann:

fk = f^(k)(0) k! .

Wir untersuchen nun allgemein das Rechnen mit solchen unendlichen Vek- torenf.

23

1. Der Ring der formalen Potenzreihen

Sei(R,+,·)ein beliebiger Ring. Wir betrachtenR^N, wobei es sich als in- tuitiv geschickt erweist, ein Element

f = (f₀, f₁, . . .)∈ R^N in der Form einer Potenzreihe zu notieren:

f ←→ f(x) =

∞

X

n=0

f_nxⁿ

Wir nennen deshalbf (bzw.f(x)) eineformale Potenzreihe.

NOTA BENE:f(x)bedeutet hierkeine(!) Funktion in der Variablenxsondern ist einfach eine andere Notation f¨ur die Funktion

f :N→ R mit f(n) =f_n.

Potenzreihen addiert man – wie bei Vektoren ¨ublich – komponentenweise:

f(x) =

∞

X

n=0

f_nxⁿ g(x) =

∞

X

n=0

g_nxⁿ











=⇒ (f+g)(x) =

∞

X

n=0

(f_n+g_n)xⁿ.

Es erweist sich als vorteilhaft, als Multiplikation die sog. Faltung (auch bekannt alsKonvolutionoderCauchy-Produkt) zu w¨ahlen:

(8) (

∞

X

n=0

f_nxⁿ)∗(

∞

X

n=0

g_nxⁿ) =

∞

X

n=0

h_nxⁿ mit h_n= X

i+j=n

f_ig_j .

BEMERKUNG. Die Faltung ist dadurch motiviert, dass man einfach formal

”aus- multipliziert“ und dann wieder nach Potenzen ordnet, wie man es von endlichen Summen kennt:

(f₀+f₁x+f₂x²+. . .)∗(g₀+g₁x+g₂x²+. . .)

= f₀g₀+ (f₀g₁+f₁g₀)x+ (f₀g₂+f₁g₁+f₂g₀)x²+. . .

Es ist nun einfach nachzurechnen, dass P[x] = (R^N,+,∗) ein Ring ist.

Wir nennenP[x]denRing der formalen Potenzreihen(¨uberR). Null- und Einselement sind:

f(x) = 0 ↔ 0= (0,0,0, . . .) bzw. g(x) = 1 ↔ 1= (1,0,0, . . .)

1. DER RING DER FORMALEN POTENZREIHEN 25

BEMERKUNG.IstRein K¨orper, dann istR^Nnat¨urlich ein Vektorraum. F¨ur unse- re Zwecke entscheidend ist die zus¨atzliche multiplikative Struktur, die die Faltung bietet.

1.1. Invertierbarkeit. Wir nennenf ∈ P[x]invertierbar, wenn es ein g ∈ P[x] gibt mit der Eigenschaft f ∗g = 1. Bez¨uglich der einzelnen Komponenten bedeutet dies:

f₀g₀ = 1 X

i+j=n

f_ig_j = 0 f¨ur allen≥1.

LEMMA 2.1. Die formale Potenzreihef(x) = P∞

n=0f_nxⁿ ist invertierbar genau dann, wenn der Koeffizientf₀ ∈ Rinvertierbar ist. In diesem Fall ist die Potenzreihe g(x) = P∞

n=0g_nxⁿ durch die Eigenschaft f ∗ g = 1 eindeutig festgelegt.

Beweis. Die Invertierbarkeit von f impliziert die Invertierbarkeit von f₀. Wir berechnen nun die Koeffizientengneiner Potenzreihegsukzessive:

g0 = f₀⁻¹

g1 = −f₀⁻¹(f1g0) ...

g_n = −f₀⁻¹(f₁gn−1+f₂gn−2+. . .+f_ng₀) ...

Dann gilt offenbarf∗g=1undgist durch diese Eigenschaft eindeutig festgelegt.

NOTATION. Die (eindeutig bestimmte) Inverse vonf wird oft mitf⁻¹oder1/f notiert.

EX. 2.2. Sei f(x) = 1−x. Dann berechnet man die Koeffizientengn von g(x) =f⁻¹(x)sukzessive als

g₀ = 1 g₁ = 1

... g_n = 1

...

und erh¨alt somit

1

f(x) = 1 1−x =

∞

X

n=0

xⁿ.

EX. 2.3 (Geometrische Summe). Seif(x) = 1 +x+. . .+xⁿ. Dann finden wir

f(x)∗(1−x) = 1−xⁿ⁺¹ und deshalb

n

X

k=0

x^k=f(x) = (1−xⁿ⁺¹)∗(1−x)⁻¹ = 1−xⁿ⁺¹ 1−x .

1.1.1. Substitution. Ersetzen wir die Unbestimmte x durch ein Ring- elementξ ∈ R, so ergibt sich aus einer formalen Potenzreihe eine (m¨ogli- cherweise unendliche) Summe:

f(ξ) =f0+f1ξ+f2ξ²+. . .+fnξⁿ+. . .=

∞

X

n=0

fnξⁿ.

Sind h¨ochstens endlich viele der Koeffizientenf_n6= 0, so ist der Summen- wertf(ξ)ein wohldefiniertes Element im RingR. In diesem Fall kann man f als Funktionf :R → Rauffassen.

Zum Beispiel beiR=Ckann die Summe auch bei unendlich vielen nicht- trivialen Summanden wohldefiniert sein (d.h. die Summe ist konvergent).

Wie man aus der Infinitesimalrechnung weiss, ist im Fall von Konvergenz die Substitutionξ → xin Produkte von Reihen mit der Multiplikation der Summenwerte vertr¨aglich:

(f ∗g)(ξ) = f(ξ)g(ξ).

Im Fall von Konvergenz ¨ubersetzt sich somit jede Formel f¨ur formale Po- tenzreihen automatisch in eine Formel f¨ur den substituierten Wert. (Z.B. die Formel der geometrischen Summe.)

1.2. Der Ring der formalen Polynome. MitR[x]bezeichnen wir den Teilring aller formalen Potenzreihenf(x) =P∞

k=0f_kx^k, bei denen h¨ochstens endlich viele Koeffizienten f_k von Null verschieden sind. Jedesp ∈ R[x]

kann folglich als endliche Summe notiert werden:

p(x) = p₀ +p₁x+. . .+p_nxⁿ ←→ p= (p₀, p₁, . . . , p_n,0,0, . . .).

Der Teilring R[x] ⊆ P[x] ist der Ring der (formalen) Polynome ¨uber R.

R[x] ist unter (Faltungs-)Produktbildung abgeschlossen. In der Regel ist

1. DER RING DER FORMALEN POTENZREIHEN 27

die Inverse eines (formalen) Polynoms aber kein Polynom, wie das Beispiel p(x) = 1−xim vorigen Abschnitt zeigt.

BEMERKUNG. Jedes formale Polynomp(x) = P_n

k=0p_kx^kdefiniert eine Poly- nomfunktionf_p:R → Rdurch die Vorschrift

f_p(ξ) =p₀+p₁ξ+. . .+p_nξⁿ f¨ur alleξ∈ R.

Es ist im allgemeinen jedoch m¨oglich, dass verschiedene (formale) Polynome die- selbe Polynomfunktion definieren. IstRein K¨orper mit unendlich vielen Elemen- ten, so kann man zeigen, dass die Zuordnung zwischen Polynomen und Polynom- funktionen eindeutig ist. (Wir kommen darauf noch sp¨ater zur¨uck.)

1.2.1. Euklidische Division. Seip(x) =Pn

k=0p_kx^k ∈ R[x]mitn ≥1 und ξ ∈ R beliebig. Wir suchen einen

”Rest“ r ∈ R und ein Polynom h(x) =Pn−1

j=0 h_jx^j derart, dass

n

X

k=0

p_kx^k =p(x) = (ξ−x)∗h(x) +r=ξ

n−1

X

j=0

h_jx^j−

n−1

X

j=0

h_jx^j+1+r.

Koeffizientenvergleich f¨uhrt zu dem Ansatz p_n = −hn−1

pn−1 = ξhn−1−hn−2

...

p1 = ξh1−h0

p₀ = ξh₀+r

Daraus ergeben sich geeigneteh_j undrdurch rekursives Rechnen:

hn−1 = −p_n

hn−2 = ξhn−1−pn−1

...

h₀ = ξh₁ −p₁ r = p₀−ξh₀.

LEMMA2.2 (Euklidischer Algorithmus). Zu jedem Polynomp(x) = Pn

k=0p_kx^k undξ ∈ Rexistierenr, h₀, . . . , hn−1 ∈ Rderart, dass

p(x) = (ξ−x)∗

n−1

X

j=0

h_jx^j +r.

1.2.2. Nullstellen und Faktorisierung. Seip(x) = (ξ−x)∗h(x) +r.ξ heisstNullstelledes Polynomsp(x), wenn die Substitutionx=ξden Wert p(ξ) = 0ergibt. In diesem Fall haben wir nat¨urlich

r=p(ξ)−(ξ−ξ)h(ξ) = 0 d.h. p(x) = (ξ−x)∗h(x).

Im FallR=Cgarantiert der Fundamentalsatz der Algebra und euklidische Division folglich eine Nullstelleξmit entsprechender Faktorisierung

p(x) =

n

X

k=0

p_kx^k = (ξ−x)∗h(x) = (ξ−x)∗

n−1

X

j=0

h_jx^j.

Iterieren wir dieses Argument, so erschliessen wir die Existenz von Null- stellenξ₁, . . . ξ_nderart, dass

p(x) = (−1)ⁿp_n(ξ_n−x)∗(ξn−1−x)∗. . .∗(ξ₁−x)

1.3. Rationale Potenzreihen. Eine Potenzreihef(x)∈ P[x]heisstra- tional, wenn sie eine Darstellung der Form

f(x) = p(x)

q(x) =p(x)∗q(x)⁻¹ mit p(x), q(x)∈ R[x]

gestattet. Wir nehmenR = Cundq(x) = Pk

j=0q_jx^j an. Die Invertierbar- keit von q(x) bedeutetq₀ 6= 0. OBdA sei weiterhin q_k 6= 0. Dann d¨urfen wir oBdA auch q_k = 1 annehmen (sonst dividieren wir Z¨ahler und Nen- ner in der Darstellung von f(x) durch q_n). Also gibt es komplexe Zahlen ξ₁, . . . , ξ_kderart, dass

q(x) =

k

Y

j=1

(ξ_j−x) =

k

X

j=0

q_jx^j.

Wir betrachten zun¨achst den Fall, wo dieξ₁, . . . , ξ_k ∈ C alle verschieden sind und suchen eine sog.Partialbruchzerlegungvonq(x)⁻¹, d.h. eine Dar- stellung der Form

1 q(x) =

k

X

j=1

c_j ξj−x mit geeigneten Koeffizientenc_j ∈C. Wegen

1

ξ−x = 1 ξ · 1

1−x/ξ = 1 ξ

∞

X

n=0

xⁿ ξⁿ =

∞

X

n=0

1 ξⁿ⁺¹xⁿ erhalten wir dann

1 q(x) =

∞

X

n=0

c₁

ξ₁ⁿ⁺¹ +. . .+ c_k ξ_kⁿ⁺¹

xⁿ =

∞

X

n=0

q_nxⁿ.

1. DER RING DER FORMALEN POTENZREIHEN 29

EX. 2.4. Im Fallξ1 6=ξ2haben wir z.B.

1

(ξ₁−x)(ξ₂−x) = c

ξ₁−x− c

ξ₂−x mit c= 1 ξ₂−ξ₁ und folglich

1

(ξ₁−x)(ξ₂−x) = 1 ξ₂−ξ₁

∞

X

n=0

1

ξ₁ⁿ⁺¹ − 1 ξ₂ⁿ⁺¹

xⁿ.

Seip(x) =Pm

i=0p_ixⁱ. Dann finden wir f¨ur

∞

X

n=0

f_nxⁿ = p(x) q(x) =p₀

∞

X

n=0

q_nxⁿ+p₁

∞

X

n=0

q_nxⁿ⁺¹+. . .+p_m

∞

X

n=0

q_nx^n+m. Koeffizientenvergleich f¨uhrt somit auf die Darstellung

f_n = p₀q_n+p₁q_n−1+. . .+p_mq_n−m (n ≥m) . EX. 2.5. Seiq(x) =x²+x−1 = (τ₁−x)∗(τ₂−x), wobei

τ1 =−1

2(1 +√

5) und τ2 =−1

2(1−√ 5).

Wegenτ₁τ₂ =−1findet man

∞

X

n=0

f_nxⁿ= 1

x²+x−1 = 1 τ₂−τ₁

∞

X

n=0

[(−τ₂)ⁿ⁺¹−(−τ₁)ⁿ⁺¹]xⁿ

= 1

√5

∞

X

n=0

[(−τ₂)ⁿ⁺¹−(−τ₁)ⁿ⁺¹]xⁿ Koeffizientenvergleich zeigt

fn = 1

√5

1−√ 5 2

!n+1

− 1

√5

1 +√ 5 2

!n+1

1.3.1. Urnenbelegungen. Wir untersuchen nun die Situation

∞

X

n=0

f_nxⁿ= 1

(1−x)^k = 1

1−x ∗. . .∗ 1 1−x =

∞

X

n=0

xⁿ

∗. . .∗

∞

X

n=0

xⁿ . Nach der Definition des Faltungsprodukts haben wir

f_n = X

i1+i2+...+ik=n

1

In einer anschaulichen Interpretation z¨ahlt folglichfn, auf wieviel verschie- dene Arten manngleiche

”Kugeln“ ¨uberk

”Urnen“ verteilen kann (die erste Urne erh¨alti₁Kugeln, die zweitei₂ usw.).

Um eine andere Form der Anzahlenf_n zu erhalten, ¨uberlegen wir uns erst die Anzahlf_n^∗von M¨oglichkeiten,nKugeln so zu verteilen, dass jede derk Urnen mindestens eine Kugel enth¨alt. Dazu legen wir dienKugeln in eine Reihe und m¨ussen auf denn−1Zwischenr¨aumenk−1Trennlinien w¨ahlen:

i₁ |i₂ |i₃ |. . .|i_k. Also:

f_n^∗ =

n−1 k−1

.

Wenn nun Urnen auch leer bleiben d¨urfen, nehmen wir einfach in Gedanken kweitere Kugeln dazu, wobei nun jede Urne eine erh¨alt. Also finden wir

f_n=f_n+k^∗ =

n+k−1 k−1

und folglich

1 (1−x)^k =

∞

X

n=0

n+k−1 k−1

xⁿ. Ebenso sieht man

x^k (1−x)^k =

∞

X

n=0

f_n^∗xⁿ=

∞

X

n=0

n−1 k−1

xⁿ.

2. Lineare Rekursionen

Wir betrachten eine Folge (f_n) von Parametern f_n, die eine lineare Glei- chung

f_n=a_kfn−1+ak−1fn−2+. . .+a₁fn−k.

erf¨ullen. Dabei nehmen wir an, dassa₁, . . . , a_k feste Elemente eines Rings R sind. Sind f0, . . . , fk−1 ∈ R festgelegt, so bestimmt die lineare Glei- chung s¨amtliche ¨ubrigen fn rekursiv. Wir suchen eine geschlossene Form der formalen Potenzreihe

f(x) =

∞

X

n=0

f_nxⁿ.

Dabei benutzen wir, dass die folgende Gleichung f¨urn ≥kgilt:

f_nxⁿ = a_kxf_n−1xⁿ⁻¹ +a_k−1x²f_n−2xⁿ⁻²+. . .+a₁x^kf_n−kx^n−k

2. LINEARE REKURSIONEN 31

und folglich

∞

X

n=k

f_nxⁿ = a_kx

∞

X

n=k

fn−1xⁿ⁻¹+. . .+a₁x^k

∞

X

n=k

fn−kx^n−k bzw.

f(x)−

k−1

X

n=0

f_nxⁿ = a_kx∗f(x)−a_kx∗

k−2

X

n=0

f_nxⁿ + a_k−1x² ∗f(x)−a_k−1x²∗

k−3

X

n=0

f_nxⁿ ...

+ a2x^k−1 ∗f(x)−a2x^k−1f0

+ a₁x^k∗f(x).

Damit erh¨alt man eine Gleichung, die man (im Ring der formalen Potenz- reihen) nachf(x)aufl¨osen kann. Setzen wir n¨amlich

p(x) =

k−1

X

n=0

fnxⁿ−ak k−2

X

n=0

fnxⁿ⁺¹−ak−1 k−3

X

n=0

fnxⁿ⁺²−. . .−a2f0x^k−1,

so finden wir

f(x)∗(1−a_kx−. . .−a₁x^k) =p(x) und damitf(x)als rationale Potenzreihe

f(x) = p(x)

1−akx−. . .−a1x^k = p(x) q(x)

mitq(x) = 1−a_kx−. . .−a₁x^k als dem sog.charakteristischen Polynom der linearen Rekursion. Man kann nun mit einem Partialbruchansatz nach einer expliziten Formel f¨ur dief_nsuchen.

EX. 2.6 (Fibonaccizahlen). Bzgl.R =Csind die FibonaccizahlenF_ndefi- niert durch

F₀ =F₁ = 1 und F_n=F_n−1+F_n−2 (n ≥2).

SeiF(x) =

∞

X

n=0

F_nxⁿ. Dann rechnen wir

F(x)−1−x =

∞

X

n=2

F_nxⁿ =

∞

X

n=2

Fn−1xⁿ+

∞

X

n=2

Fn−2xⁿ

= x

∞

X

n=2

F_n−1xⁿ⁻¹+x²X

n=2

F_n−2xⁿ⁻²

= x[F(x)−1] +x²F(x)

= xF(x)−x+x²F(x).

Daraus folgt

F(x)∗(1−x−x²) = 1 bzw. F(x) = −1 x²+x−1.

q(x) = 1−x−x²ist das charakteristische Polynom der Fibonacci-Rekursion.

Von Ex. 2.5 wissen wir deshalb

F_n = 1

√5

1 +√ 5 2

!n+1

− 1

√5

1−√ 5 2

!n+1

Wegen |1−√

5|ⁿ⁺¹/(2ⁿ⁺¹√

5) < 1/2 ist F_n also immer diejenige ganze Zahl, die der reellen Zahl

√1 5

1 +√ 5 2

!n+1

am n¨achsten liegt.

3. Erzeugende Funktionen

Seia₀, a₁, . . .eine Folge von Koeffizienten. Dann verstehen wir unter einer erzeugenden Funktion vom Standardtyp f¨ur die a_n eine Potenzreihendar- stellung

f(x) =

∞

X

n=0

a_nxⁿ.

Oft sind diea_nZ¨ahlkoeffizienten einer kombinatorischen Struktur, die eine Rekursion erf¨ullen. Dann kann manf(x)mit der Methodik des vergange- nen Abschnitts zu ermitteln versuchen. Kennt man f(x), dann kann man daraus diea_nbestimmen.

3. ERZEUGENDE FUNKTIONEN 33

EX. 2.7. Wieviele verschiedene ganzzahlige L¨osungen hat x₁+x₂+x₃+x₄ +x₅+x₆+x₇ = n

2 ≤ x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇ ≤ 6 ? Seia_ndiese Anzahl undf(x) =P∞

n=0a_nxⁿ. Dann haben wir f(x) = (x² +x³+x⁴+x⁵+x⁶)⁷

= x¹⁴∗(1 +x+x²+x³+x⁴)⁷ = x¹⁴∗ 1−x⁵ 1−x

7

= x¹⁴∗(1−x⁵)⁷ ∗ 1 (1−x)⁷

= x¹⁴∗

7

X

i=0

(−1)ⁱ 7

i

x⁵ⁱ∗

∞

X

k=0

k+ 6 6

x^k . Daraus erhalten wir zum Beispiel f¨urn= 25:

a₂₅ = (−1)⁰ 7

0

11 + 6 6

+ (−1)¹ 7

1

6 + 6 6

+ (−1)² 7

2

1 + 6 6

= 17

6

−7 12

6

+ 7

2

·7 = 6055.

3.1. Erzeugende Funktionen vom exponentiellen Typ. Man kann die Folgea₀, a₁, . . . auch durch eine Potenzreihe vomexponentiellen Typ, d.h.

in der Form

f(x) =

∞

X

n=0

a_nxⁿ n!

repr¨asentieren. Die Normierung der Koeffizienten mit n! modifiziert die Konvolution

∞

X

n=0

c_n n!xⁿ=

∞

X

n=0

a_n n!xⁿ

·

∞

X

n=0

b_n n!xⁿ

, wobei nun

c_n=n!

n

X

k=0

a_k

k! · bn−k

(n−k)! =

n

X

k=0

n k

a_kb_n−k .

ERINNERUNG.Bei der Konvolution von erzeugenden Funktionen vom Standard- typ ergeben sich die neuen Koeffizienten des Produkts als

cn=

n

X

k=0

akbn−k