Aufgabe 1 33 Punkte

(1)

PW-OPR-P11-011006-AUFGABEN Seite 1 von 5 Studiengang Wirtschaft (postgrad.)

Fach Operations Research

Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. PW-OPR-P11-011006

Datum 06.10.2001

Zur Lösung der drei Klausuraufgaben stehen Ihnen 90 Minuten zur Verfügung. Die maximal erreichbare Punktzahl beträgt 100 Punkte. Zum Bestehen der Klausur müssen mindestens 50 % der Gesamt- punktzahl erzielt werden.

Lassen Sie 1/3 Rand für die Korrekturen und schreiben Sie leserlich.

Denken Sie an Ihren Namen, Unterschrift und Matrikelnummer.

Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel:

Anzahl der Aufgaben: 3 Höchstpunktzahl: -100-

-Taschenrechner- -Studienbriefe-

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 ∑

max. erreichbare Punkte 33 33 34 100

Notenspiegel

Note ^1,0 ^1,3 ^1,7 ^2,0 ^2,3 ^2,7 ^3,0 ^3,3 ^3,7 ^4,0 ^5,0

bei Punkten 100 - 95 94,5 - 90 89,5 - 85 84,5 - 80 79,5 - 75 74,5 - 70 69,5 - 65 64, 5 - 60 59,5 - 55 54,5 - 50 49,5 - 0

(2)

Studiengang Wirtschaft (postgradual) FFH • Fern-Fachhochschule Hamburg

PW-OPR-P11-011006-AUFGABEN Seite 2 von 5

Aufgabe 1 33 Punkte

Gegeben sei die folgende Vorgangsliste eines kleinen Projektes, das nur Minimalforderungen (Minimalabstände) aufweist. Die Dauerwerte und Zeitdifferenzen sind dabei in „Tagen“ ge- nannt. In der Tabelle sind die Vorgänge einschließlich der Meilensteine „Anfang“ und „Ende“

nach steigendem Rang sortiert.

UV(Diff) Typ Vorgang Dauer FAZ SAZ FEZ SEZ

− Anfang 0 0 0

Anfang(0) EA D 2 0 2

D(1) EA B 3 3 6

D(0) EA H 1 2 3

H(2) AA A 3 4 7

B(0) EA J 3 6 9

H(3) EE L 1 5 6

J(1) EE C 3

A(2) EA F 3

A(0),L(0) EA G 2

C(0),G(−1) EA E 1

C(2) AA I 3

E(1) EA K 2

F(0),I(0),K(0) EA Ende 0

a) Tragen Sie die fehlenden Vorgangszeitpunkte in die obige Tabelle ein. Nen- nen Sie die Projektdauer (benützen Sie bitte dazu das Formblatt auf S. 6).

b) Nachstehend ist Ihnen ein Kalenderausschnitt für den Dezember 2001 gegeben. Erstellen Sie für das obige Beispiel einen Betriebskalender, wenn das Projekt am Donnerstag, dem 20.12.2001 abends abgeschlossen werden soll. Die Arbeitstage der Woche sind Montag bis einschließlich Freitag.

Die Arbeitszeiten sollen für alle Tage gleich sein. Außer Samstag und Sonntag liegen im Zeitraum keine weiteren Nichtarbeitstage.

Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag Sonntag

03.12.01 04.12.01 05.12.01 06.12.01 07.12.01 08.12.01 09.12.01

10.12.01 11.12.01 12.12.01 13.12.01 14.12.01 15.12.01 16.12.01

17.12.01 18.12.01 19.12.01 20.12.01 21.12.01 22.12.01 23.12.01

c) Ordnen Sie nur den frühesten Zeitpunkten aller echten Vorgänge Kalen- derdaten zu.

18 Punkte

5 Punkte

10 Punkte

(3)

Aufgabe 2 33 Punkte

Vom Lösungsweg der folgenden LO-Aufgabe

+

= + + →

+ ≥

+ + ≤

+ + ≥

≥

1

1 2 3

2 3

1 2 3

I Z 5x 3x 4x max

II 2x 2x x 20

x x x 14

x 2x x 18

III x , x , x 0

sei Ihnen nur die der Optimallösung entsprechende letzte Simplextabelle gegeben.

x1 x2 x3 s1 s2 s3 r. S.

0 0 −1 0 −7 −2 −62

1 0 1 0 2 1 10

0 0 1 1 2 0 8

0 1 0 0 −1 −1 4

a) Nennen Sie die Lösung der LO-Aufgabe und den maximalen Zielfunkti- onswert.

b) Führen Sie die Sensibilitätsanalyse (Sensitivitätsanalyse) für den Fall durch, dass nur der Zielfunktionskoeffizient von x₂ von 3 auf 3+t₂ geändert wird.

Nennen Sie das zugehörige Intervall für t2, die neue Optimallösung und Zmax,neu .

c) Wie lauten bezugnehmend auf Ihr Ergebnis zu b) die Optimallösung und Zmax , wenn die Zie lfunktion

= ₁+ ₂ + ₃ →

I Z 5x 4x 4x max

heißt?

d) Führen Sie für die ursprüngliche LO-Aufgabe die Sensibilitätsanalyse für den Fall durch, dass nur die rechte Seite der 2. Restriktion in II von 14 auf 14+c₂ geändert wird. Nennen Sie das entsprechende Intervall für c2, die neue Opti- mallösung und Zmax,neu. Interpretieren Sie den Schattenpreis π2.

e) Wie lauten bezugnehmend auf Ihr Ergebnis zu d) die Optimallösung und Zmax,neu, falls die 2. Restriktion in II

+ + ≤

1 2 3

x x x 17

lautet, während die übrigen Restriktionen ungeändert bleiben?

4 Punkte

9 Punkte

3 Punkte

13 Punkte

4 Punkte

(4)

Aufgabe 3 34 Punkte

Ein Wagen einer Speditionsfirma soll vom Ort 1 aus Möbel zu den Orten 2, 3, 4 und 5 brin- gen und anschließend zum Ausgangsort 1 zurückkehren. Die folgende Tabelle nennt die Dis- tanzen der einzelnen Orte voneinander in einer Einheit.

1 2 3 4 5

1 0 14 11 15 13

2 14 0 15 16 17

3 12 17 0 13 15

4 14 13 16 0 16

5 15 16 14 18 0

In welcher Reihenfolge sollte der Möbelwagen die Orte aufsuchen, um die Rundreiselänge zu minimieren? Lösen Sie die Aufgabe unter Verwendung von Reduktionstabellen und einer nach dem Verfahren der sukzessiven Einbeziehung von Stationen aus dem Kurzzyklus 1−2−1 gewonnenen Vergleichsrundreise mit dem Verfahren der begrenzten Enummeration.

Viel Erfolg!

von nach

(5)

Lösung zu Aufgabe 1a)

Name:

Matrikel-Nr.:

UV(Diff) Typ Vorgang Dauer FAZ SAZ FEZ SEZ

− Anfang 0 0 0

Anfang(0) EA D 2 0 2

D(1) EA B 3 3 6

D(0) EA H 1 2 3

H(2) AA A 3 4 7

B(0) EA J 3 6 9

H(3) EE L 1 5 6

J(1) EE C 3

A(2) EA F 3

A(0),L(0) EA G 2

C(0),G(−1) EA E 1

C(2) AA I 3

E(1) EA K 2

F(0),I(0),K(0) EA Ende 0

Bitte geben Sie dieses Blatt mit Ihrer Lösung ab.

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Studiengang Wirtschaft (postgrad.)

Fach Operations Research

Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. PW-OPR-P11-011006

Datum 06.10.2001

Um größtmögliche Gerechtigkeit zu erreichen, ist nachfolgend zu jeder Aufgabe eine Musterlösung in- klusive der Verteilung der Punkte auf Teilaufgaben zu finden. Natürlich ist es unmöglich, jede denkba- re Lösung anzugeben. Stoßen Sie bei der Korrektur auf eine andere als die angegebene Lösung, die richtig ist, ist eine entsprechende Punktzahl zu vergeben. Sind in der Musterlösung die Punkte für eine Teilaufgabe summarisch angegeben, so ist die Verteilung dieser Punkte auf Teillösungen dem Kor- rektor überlassen. Rechenfehler sollten nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wird mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, so sind die hierfür vorgesehenen Punkte zu erteilen.

50% der insgesamt zu erreichenden Punktzahl (hier also 50 Punkte von 100 möglichen) reichen aus, um die Klausur erfolgreich zu bestehen.

Die differenzierte Bewertung in Noten nehmen Sie bitte nach folgendem Bewertungsschema vor:

BEWERTUNGSSCHLÜSSEL

Aufgabe 1 2 3 ∑

max. erreichbare Punkte 33 33 34 100

NOTENSPIEGEL

Note ^1,0 ^1,3 ^1,7 ^2,0 ^2,3 ^2,7 ^3,0 ^3,3 ^3,7 ^4,0 ^5,0

notw. Punkte 100 - 95 94,5 - 90 89,5 - 85 84,5 - 80 79,5 - 75 74,5 - 70 69,5 - 65 64,5 - 60 59,5 - 55 54,5 - 50 49,5 - 0

Korrekturrichtlinie

(7)

Lösung Aufgabe 1 33 Punkte

a)

UV(Diff) Typ Vorgang Dauer FAZ SAZ FEZ SEZ

− Anfang 0 0 0 0 0

Anfang(0) EA D 2 0 0 2 4 , 2

D(1) EA B 3 3 3 6 6

D(0) EA H 1 2 4 3 6 , 5

H(2) AA A 3 4 6 7 9 , 9

B(0) EA J 3 6 6 9 9

H(3) EE L 1 5 8 6 9

J(1) EE C 3 7 9 , 7 10 10 , 12

A(2) EA F 3 9 11 12 14

A(0),L(0) EA G 2 7 , 6 9 9 11

C(0),G(−1) EA E 1 10 , 8 10 11 11

C(2) AA I 3 9 11 12 14

E(1) EA K 2 12 12 14 14

F(0),I(0),K(0) EA Ende 0 12,12,14 14 14 14

b)

Lfd. Nr. 1 2 3 4 5 6 7

Datum 03.12.01 04.12.01 05.12.01 06.12.01 07.12.01 10.12.01 11.12.01

Lfd. Nr. 8 9 10 11 12 13 14

Datum 12.12.01 13.12.01 14.12.01 17.12.01 18.12.01 19.12.01 20.12.01

c)

3 P 6 P 3 P 6 P

5 P

(8)

Vorgang FAT FET

D 03.12.01 04.12.01

B 06.12.01 10.12.01

H 05.12.01 05.12.01

A 07.12.01 11.12.01

J 11.12.01 13.12.01

L 10.12.01 10.12.01

C 12.12.01 14.12.01

F 14.12.01 18.12.01

G 12.12.01 13.12.01

E 17.12.01 17.12.01

I 14.12.01 18.12.01

K 19.12.01 20.12.01

Lösung Aufgabe 2 33 Punkte

a) Die Lösung lautet: x1=10 , x2=4 , x3=0 , s1=8 , s2=0 , s3=0 mit Zmax=62

b) Es wird nur der Zielfunktionskoeffizient 3 von x2 auf 3+t2 geändert. Führt man dieselben Umformungen wie in der ursprünglichen Rechnung durch, lautet die letzte Tabelle:

x1 x2 x3 s1 s2 s3 r.S.

0 t2 −1 0 −7 −2 −62

0 1 0 0 −1 −1 4

0 0 −1 0 −7+t2 −2+t2 −62−4t2

≤ 0 ≤ 0

t2 ≤ 7 t2 ≤ 2

Durch Subtraktion des t2-fachen der 3. Zeile von der Zielzeile gewinnt man die unter der Ta- belle stehende Zielzeile, die lediglich durch die Nichtbasisvariablen der zugehörigen Lösung ausgedrückt ist. Damit diese Tabelle wieder letzte Tabelle wird, müssen t2≤7 und t2≤2 gelten, was insgesamt t2≤ 2 bedeutet.

Ändert man nur den Zielfunktionskoeffizienten von x2 von 3 auf 3+t2 mit t2≤ 2 ab, bleibt die alte Optimallösung (10, 4, 0, 8, 0, 0) auch neue Optimallösung mit Zmax=62+4t2.

5 P 5 P

1 P 4 P

4 P

(9)

c) In der ursprünglichen Zielzeile wird der Koeffizient 3 von x2 in 4 geändert. 3+t2=4 liefert t₂=1. Da t₂≤ 2 erfüllt ist, lauten die Optimallösung (10, 4, 0, 8, 0, 0) und

66 1 4 62

Zmax,neu= + ⋅ = .

d) Es werde nur die rechte Seite der 2. Restriktion in II von 14 auf 14+c2 geändert.

Damit sich die Optimallösung qualitativ nicht ändert, muss bei vorliegender ≤-Re- striktion gelten:

→ + ≥ → ≥ −

      

 +    ≥ → + ≥ → ≥ − − ≤ ≤

      

     − → − ≥ → ≤

      

2 2

2 2 2 2

2 2

10 2 0 10 2c 0 c 5

8 c 2 0 8 2c 0 c 4 4 c 4

4 1 0 4 c 0 c 4

Ändert man nur die rechte Seite der 2. Restriktion von 14 auf 14+c2 mit −4≤c2≤4 ab, so heißen die neue Optimallösung (10+2c2, 4−c2, 0, 8+2c2, 0, 0) mit

= + π ⋅ = +

max,neu max,alt 2 2 2

Z Z c 62 7c . Dabei ist der Schattenpreis π2=7.

Das Unternehmen stimmt der Vergrößerung der rechten Seite der 2. Restriktion in II im obigen Rahmen −4≤c₂≤4 zu, wenn es für die Einheit der Vergrößerung höchstens π2=7 Geldeinheiten zu zahlen braucht.

e) Wird nur die rechte Seite der 2. Restriktion in II von 14 in 17 geändert, gilt

14+c2=17, was c2=3 ergibt. Da dieser Wert c2 die Forderung −4≤c2≤4 erfüllt, lauten die neue Optimallösung

(

¹⁰^{+ ⋅}2 3, 4 3, 0,8⁻ ^{+ ⋅}2 3,0,0

)

bzw. (16, 1, 0, 14, 0, 0) mit Z_max,neu =62 7 3+ ⋅ =83.

3 P

1 P

4 P

(10)

Lösung Aufgabe 3 34 Punkte

1 2 3 4 5 Min 1 2 3 4 5

1 ∞ 14 11 15 13 11 1 ∞ 3 0 4 2

2 14 ∞ 15 16 17 14 2 0 ∞ 1 2 3

3 12 17 ∞ 13 15 12 3 0 5 ∞ 1 3

4 14 13 16 ∞ 16 13 4 1 0 3 ∞ 3

5 15 16 14 18 ∞ 14 5 1 2 0 4 ∞

64 Min 0 0 0 1 2 3

1 2 3 4 5

1 ∞ 3 0 3 0

2 0 ∞ 1 1 1 Reduktionskon-

3 0 5 ∞ 0 1 stante ρ=64+3=67

4 1 0 3 ∞ 1

5 1 2 0 3 ∞

1−2−1 3 1−3−2−1 0+5+0=5

1−2−3−1 3+1+0=4 ∗

1−2−3−1 4 1−4−2−3−1 3+0+1+0=4 ∗

1−2−4−3−1 3+1+3+0=7

1−2−3−4−1 3+1+0+1=5

1−4−2−3−1 5 1−5−4−2−3−1 0+3+0+1+0=4 ∗

1−4−5−2−3−1 3+1+2+1+0=7

1−4−2−5−3−1 3+0+1+0+0=4

1−4−2−3−5−1 3+0+1+1+1=6

1. Vergleichrundreise 1−5−4−2−3−1 mit l*=4.

1−2 3 1−3−4−2−5−1 2 * neue RR.

1−2−3 4 1−3−4−5 1

1−2−3−4 4 1−3−4−5−2 3>2

1−2−3−4−5 5>4 1−3−5 1

1−2−3−5 5>4 1−3−5−2 3>2

1−2−4 4 1−3−5−4 4>2

0,5 P

1 P

1,5 P

1 P

2 P 2 P

4,5 P

Für alle 35 Teil- routen 17,5P. Je Fehler bzw. feh- lende Folge 0,5 P Abzug.

(11)

1−2−4−3 7>4 1−4 3>2

1−2−4−5 5>4 1−5 0

1−2−5 4 1−5−2 2

1−2−5−3 4 1−5−2−3 3>2

1−2−5−3−4 4 1−5−2−4 3>2

1−2−5−3−4−1 5>4 1−5−3 0

1−2−5−4 7>4 1−5−3−2 5>2

1−3 0 1−5−3−4 0

1−3−2 5>4 1−5−3−4−2 0

1−3−4 0 1−5−3−4−2−1 0 * neue RR.

1−3−4−2 0 1−5−4 3>0

1−3−4−2−5 1

Der kürzeste Hamiltonsche Zyklus lautet: 1−5−3−4−2−1 . Er besitzt die wahre Länge 0+ρ = 0+67 = 67.

4 P