Algorithmische Mathematik II – Blatt 7

Priv.-Doz. Dr. Gennadiy Averkov Felix Jost, Clemens Zeile

Sommersemester 2018

Algorithmische Mathematik II – Blatt 7

www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/sose18/algomat2/

Abgabe vor Beginn der Vorlesung am 24.5.2018 oder vorher in G02-204, G02-221a

Wichtige organisatorische Informationen

• Es gibt in jeder Woche ein ¨Ubungsblatt mit Aufgaben im Wert von in der Regel 14 Punkten. Die L¨osungen sind zu zweit anzufertigen und sollen sp¨atestens in der Vorlesung der folgenden Woche abgegeben werden. Die L¨osungen werden in der darauf folgenden ¨Ubung zur¨uckgegeben und besprochen.

• Voraussetzungen f¨ur die Teilnahme an der Pr¨ufung ist der Leistungsnachweis:

– ≥50 % der Punkte aus den ¨Ubungen

– und das erfolgreiche Vorrechnen mindestens einer der Aufgaben – und die erfolgreiche Bearbeitung des Programmierprojekts.

• Die Programmieraufgaben sind bis zur Abgabefrist (Vorlesung) im .cpp-Format an algomath1718@ovgu.dezu senden.

Hinweis: Bei allen Aufgaben ist der komplette L¨osungsweg unter Angabe aller Be- gr¨undungen, Bemerkungen und Schlussfolgerungen in mathematisch und logisch einwand- freier Form, klar strukturiert und deutlich erkennbar darzustellen, sowie lesbar und gram- matikalisch korrekt zu formulieren. Alle zur L¨osungsgewinnung herangezogenen Aussagen sind zu beweisen bzw. zu begr¨unden; aus der Vorlesung bekannte Aussagen sind als solche kenntlich zu machen und k¨onnen ohne Beweisangabe verwendet werden.

Aufgabe 1 (3 Punkte)

Sei E = {e₁, . . . , e_n}die kanonische Basis in Rⁿ und seiσ eine Permutation. (Eine Permu- tation der Elemente {1, . . . , n} ist eine bijektive Abbildung σ ∶ {1, . . . , n} → {1, . . . , n}).

Die Vektoren e_σ(1), . . . , e_σ(n) bilden wieder eine Basis in Rⁿ und es gibt eine bijektive lineare AbbildungT_σ mitT_σ(e_j) =e_σ(j). SeiP_σ die Matrix vonT_σ bez¨uglich E. Die Matrix P_σ heißt Permutationsmatrix. Man definiert das Produkt zweier Permutationen σ₁ und σ₂ wie folgt:

σ₁σ₂ =σ₂○σ₁ d.h. σ₁σ₂(k) =σ₂○σ₁(k) =σ₂(σ₁(k)) Zeigen Sie:

(a) F¨ur σ₁, σ₂ ∈S_n gilt P_σ2○σ1 =P_{σ1 σ2} =P_σ2P_σ1 (b) det(P_σ1) = ±1

(c) det(Pσn ○ ... ○ σ1) = (−1)ⁿ mit σi eine Permutation, die nur zwei Elemente ver- tauscht.

S. 1/2

Algorithmische Mathematik II – Blatt 7 S. 2/2

Aufgabe 2 (3 Punkte)

Eine Matrix R∈R^n×n mit Eintr¨agen r_ij heißt obere Dreiecksmatrix, falls gilt: r_ij =0 f¨ur i>j. Zeigen Sie:

(a) Im Fall der Invertierbarkeit von R ist die inverse R⁻¹ wieder eine obere Dreiecks- matrix.

(b) Dies gilt auch f¨ur untere Dreiecksmatrizen (d.h. r_ij =0 f¨uri<j).

(c) Seien R und ˜R zwei untere Dreiecksmatrizen mit r_ii=1=r˜_ii, i=1, . . . , n.

Zeigen Sie: ˆR=RR˜ mit ˆr_ii=1.

Aufgabe 3 (4 Punkte)

Definition: F¨ur die Matrix A∈R^n×n f¨uhren wir die folgenden Typen elementarer Zeilen- transformation ein

• Typ 1: Vertauschen von zwei Zeilen: A_i,⋆ und A_j,⋆.

• Typ 2: Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile:Ai,⋆ ∶=Ai,⋆+cAj,⋆

mit i≠j und c∈R∖0.

• Typ 3: Multiplikation einer Zeile mit einer Konstante, die ungleich Null ist: Ai,⋆∶=

cA_i,⋆, mit c∈R∖0.

Zeigen Sie folgende Aussagen:

(a) Entsteht A^′ aus A durch elementare Zeilentransformationen, so existiert eine re- gul¨are Matrix M mit M A=A^′.

(b) Sind Ax = b und A^′x = b^′ zwei lineare Gleichungssysteme mit A, A^′ ∈ R^m×n und b, b^′∈R^m derart, dass die Matrix (A^′∣b^′)durch Anwendung von endlich vielen Ele- mentartransformationen zur Matrix(A ∣ b)enstanden ist, so ist die L¨osungsmenge von Ax=b und A^′x=b^′ gleich.

(c) Sind A, A^′∈R^n×n zwei Matrizen derart, dass A^′ aus A durch Anwendung von end- lich vielen Elementartransformationen vom Typ 1 entstanden ist, so gilt det(A^′) = det(A), wenn die Anzahl der angewendeten Transformationen vom Typ 1 gerade war und det(A^′) = −det(A) sonst.

(d) SindA, B∈R^n×nMatrizen derart, dass (I_n ∣B)aus (A∣I_n)durch Anwendung von endlich vielen Elementartransformationen entstanden ist, so gilt B=A⁻¹.

Aufgabe 4 (4 Punkte)

Schreiben Sie ein C++ Programm, das einen selbst geschriebenen Gauss-Algorithmus (LU Zerlegung mit Pivotisierung) zur L¨osung vonAx=b mit gegebener regul¨arer Matrix A∈R^n×n und Vektor b∈Rⁿ enth¨alt.

Als Standardeingabe bekommt das Programm

• eine regul¨are Matrix A

• die rechte Seite b und gibt

• die eindeutige L¨osung x aus.