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Algorithmische Mathematik II – Blatt 7

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Academic year: 2022

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Priv.-Doz. Dr. Gennadiy Averkov Felix Jost, Clemens Zeile

Sommersemester 2018

Algorithmische Mathematik II – Blatt 7

www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/sose18/algomat2/

Abgabe vor Beginn der Vorlesung am 24.5.2018 oder vorher in G02-204, G02-221a

Wichtige organisatorische Informationen

• Es gibt in jeder Woche ein ¨Ubungsblatt mit Aufgaben im Wert von in der Regel 14 Punkten. Die L¨osungen sind zu zweit anzufertigen und sollen sp¨atestens in der Vorlesung der folgenden Woche abgegeben werden. Die L¨osungen werden in der darauf folgenden ¨Ubung zur¨uckgegeben und besprochen.

• Voraussetzungen f¨ur die Teilnahme an der Pr¨ufung ist der Leistungsnachweis:

– ≥50 % der Punkte aus den ¨Ubungen

– und das erfolgreiche Vorrechnen mindestens einer der Aufgaben – und die erfolgreiche Bearbeitung des Programmierprojekts.

• Die Programmieraufgaben sind bis zur Abgabefrist (Vorlesung) im .cpp-Format an algomath1718@ovgu.dezu senden.

Hinweis: Bei allen Aufgaben ist der komplette L¨osungsweg unter Angabe aller Be- gr¨undungen, Bemerkungen und Schlussfolgerungen in mathematisch und logisch einwand- freier Form, klar strukturiert und deutlich erkennbar darzustellen, sowie lesbar und gram- matikalisch korrekt zu formulieren. Alle zur L¨osungsgewinnung herangezogenen Aussagen sind zu beweisen bzw. zu begr¨unden; aus der Vorlesung bekannte Aussagen sind als solche kenntlich zu machen und k¨onnen ohne Beweisangabe verwendet werden.

Aufgabe 1 (3 Punkte)

Sei E = {e1, . . . , en}die kanonische Basis in Rn und seiσ eine Permutation. (Eine Permu- tation der Elemente {1, . . . , n} ist eine bijektive Abbildung σ ∶ {1, . . . , n} → {1, . . . , n}).

Die Vektoren eσ(1), . . . , eσ(n) bilden wieder eine Basis in Rn und es gibt eine bijektive lineare AbbildungTσ mitTσ(ej) =eσ(j). SeiPσ die Matrix vonTσ bez¨uglich E. Die Matrix Pσ heißt Permutationsmatrix. Man definiert das Produkt zweier Permutationen σ1 und σ2 wie folgt:

σ1σ22○σ1 d.h. σ1σ2(k) =σ2○σ1(k) =σ21(k)) Zeigen Sie:

(a) F¨ur σ1, σ2 ∈Sn gilt Pσ2○σ1 =Pσ1 σ2 =Pσ2Pσ1 (b) det(Pσ1) = ±1

(c) det(Pσn ... σ1) = (−1)n mit σi eine Permutation, die nur zwei Elemente ver- tauscht.

S. 1/2

(2)

Algorithmische Mathematik II – Blatt 7 S. 2/2

Aufgabe 2 (3 Punkte)

Eine Matrix R∈Rn×n mit Eintr¨agen rij heißt obere Dreiecksmatrix, falls gilt: rij =0 f¨ur i>j. Zeigen Sie:

(a) Im Fall der Invertierbarkeit von R ist die inverse R−1 wieder eine obere Dreiecks- matrix.

(b) Dies gilt auch f¨ur untere Dreiecksmatrizen (d.h. rij =0 f¨uri<j).

(c) Seien R und ˜R zwei untere Dreiecksmatrizen mit rii=1=r˜ii, i=1, . . . , n.

Zeigen Sie: ˆR=RR˜ mit ˆrii=1.

Aufgabe 3 (4 Punkte)

Definition: F¨ur die Matrix A∈Rn×n f¨uhren wir die folgenden Typen elementarer Zeilen- transformation ein

• Typ 1: Vertauschen von zwei Zeilen: Ai,⋆ und Aj,⋆.

• Typ 2: Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile:Ai,⋆ ∶=Ai,⋆+cAj,⋆

mit i≠j und c∈R∖0.

• Typ 3: Multiplikation einer Zeile mit einer Konstante, die ungleich Null ist: Ai,⋆∶=

cAi,⋆, mit c∈R∖0.

Zeigen Sie folgende Aussagen:

(a) Entsteht A aus A durch elementare Zeilentransformationen, so existiert eine re- gul¨are Matrix M mit M A=A.

(b) Sind Ax = b und Ax = b zwei lineare Gleichungssysteme mit A, A ∈ Rm×n und b, b∈Rm derart, dass die Matrix (A∣b)durch Anwendung von endlich vielen Ele- mentartransformationen zur Matrix(A ∣ b)enstanden ist, so ist die L¨osungsmenge von Ax=b und Ax=b gleich.

(c) Sind A, A∈Rn×n zwei Matrizen derart, dass A aus A durch Anwendung von end- lich vielen Elementartransformationen vom Typ 1 entstanden ist, so gilt det(A) = det(A), wenn die Anzahl der angewendeten Transformationen vom Typ 1 gerade war und det(A) = −det(A) sonst.

(d) SindA, B∈Rn×nMatrizen derart, dass (In ∣B)aus (A∣In)durch Anwendung von endlich vielen Elementartransformationen entstanden ist, so gilt B=A−1.

Aufgabe 4 (4 Punkte)

Schreiben Sie ein C++ Programm, das einen selbst geschriebenen Gauss-Algorithmus (LU Zerlegung mit Pivotisierung) zur L¨osung vonAx=b mit gegebener regul¨arer Matrix A∈Rn×n und Vektor b∈Rn enth¨alt.

Als Standardeingabe bekommt das Programm

• eine regul¨are Matrix A

• die rechte Seite b und gibt

• die eindeutige L¨osung x aus.

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