L¨ osungen zur 25. ¨ Ubung
H¨ohere Mathematik II (MB)
25.1 Es ist B ={(x, y, z) :x2+y2 ≤R2, |z| ≤H/2} und p(x, y, z) =p
y2+z2, bzw. in Zylinderkoordinaten
B ={(r, ϕ, z) : 0≤r ≤R ,0≤ϕ≤2π , |z| ≤H/2} und p2 =r2sin2ϕ+z2 sowie db=r dr dϕ dz .
Also gilt
I =̺ Z H/2
−H/2
Z 2π
0
Z R
0
r3sin2ϕ dr dϕ dz+̺ Z H/2
−H/2
Z 2π
0
Z R
0
rz2 dr dϕ dz .
Der erste Summand berechnet sich zu
̺ Z H/2
−H/2
dz· Z 2π
0
sin2ϕ dϕ· Z R
0
r3 dr = ̺·H·π· R4 4 , der zweite zu
̺ Z H/2
−H/2
z2 dz· Z 2π
0
dϕ· Z R
0
r dr = ̺·2 3
H3
8 ·2π· R2 2 .
Damit folgt unter Beachtung der Zylindermasse m=̺πR2H schließlich
I =̺πR2H R2
4 + H2 12
= m R2
4 +H2 12
.
25.2 Mit der vorgeschlagenen Parametrisierung entspricht F dem durch u2+v2 ≤R2 definierten ebenen Bereich B. Außerdem ergibt sich f¨ur die Normale
n=xu×xv =
u
√u2+v2, v
√u2+v2, 1 ⊤
.
Damit gilt f¨ur den gesuchten Fl¨acheninhalt Z Z
F
dσ = Z Z
Bknkdu dv = √ 2
Z Z
B
du dv = √ 2πR2.
Anmerkung:Die Fl¨acheF ist die Mantelfl¨ache eines Kreiskegels mit Radius R und H¨ohe R (und L¨ange √
2R der Mantellinie).
25.3 Eine Parametrisierung von F ist
x(u, v) = (cosu sinv, sinu sinv, cosv)⊤
mit 0≤u <2π und 0≤ v ≤arcsin12 f¨ur den Polabstand v. Dessen Maximalwert definiert die Schnittkurve von Kugelfl¨ache und Zylinder.
Es ist n =−sinv(cosusinv, sinusinv, cosv)⊤ und damit
Z Z
F
dσ =
Z arcsin12
0
Z 2π
0
knkdu dv =
Z arcsin12
0
|sinv|dv· Z 2π
0
du= (2−√
3)π≈0.84.
25.4 Die gesuchte Gr¨oße ist gleich dem Kurvenintegral I =H
Kv·dx l¨angs der Randkurve K =∂F von F. Die Kreislinie K hat die Parameterdarstellung
x(t) = (2 cost, 2 sint, 0)⊤, 0≤t ≤2π . Damit ist I =R2π
0 v·x dt˙ =R2π
0 (16 cos2t·sint−4 sin2t+ 8 sint)dt=−4π ≈ −12.57. 25.5 Nach dem Stokesschen Satz ist die gesuchte Zirkulation Γ =H
∂F v dx identisch mit Z Z
F
rotv·dσ .
Dabei ist F das Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C und der
Parametrisierung x(u, v) = (0, u, v)⊤, 0≤u≤1, 0≤v ≤1−u . Die Auswertung ergibt Γ = 1.
25.6 (a) divkxkx =kxk−1
(b) Mit a= (a1, a2, a3)⊤ erh¨alt man div (a·x)x
= div((a1x+a2y+a3z)x, (a1x+a2y+a3z)y, (a1x+a2y+a3z)z)⊤
= ((a1x+a2y+a3z)x)x + ((a1x+a2y+a3z)y)y + ((a1x+a2y+a3z)z)z
= (2a1x+a2y+a3z) + (a1x+ 2a2y+a3z) + (a1x+a2y+ 2a3z)
= 4a1x+ 4a2y+ 4a3z
= 4 (a·x). (c) Es ist
divv = (x ez)x+ (y ey)y+ (z ex)z =ez +ey+y ey+ex und damit
grad (divv) = (ex,2ey + y ey, ez)⊤.
25.7 Nach dem Gaußschen Integralsatz ist der gesuchte Fluss gleich dem Bereichsintegral I =
Z Z Z
B
divv db
¨
uber dem Halbkugelbereich B =n
(r, ϑ, ϕ) : 0≤r≤R, 0≤ϑ≤π, −π
2 ≤ϕ ≤ π 2
o .
F¨ur Kugelkoordinaten ist
divv =x2 =r2cos2ϕsin2ϑ , db=r2sinϑ dϕ dϑ dr.
Damit erh¨alt man
I = Z R
0
Z π
0
Z π
2
−π2
r4sin3ϑcos2ϕ dϕ dϑ dr
= Z R
0
r4 dr· Z π
0
sin3ϑ dϑ· Z π2
−π2
cos2ϕ dϕ= R5 5 · 4
3· π 2 = 2
15πR5 ≈0.42R5.
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
Bemerkungen an : u.streit@mathematik.tu-chemnitz.de [12. Juni 2019]
