L¨osungen zur 15. ¨Ubung H¨ohere Mathematik II (MB) 15.1

L¨ osungen zur 15. ¨ Ubung

H¨ohere Mathematik II (MB)

15.1 (a) Es gilt Tn(x) = Xn

k=0

ak·x^k mit ak= f^(k)(0) k! . Wegen

f^(k)(x) = (−1)^k/2 cosx (k gerade) bzw.

f^(k)(x) = (−1)^(k+1)/2 sinx (k ungerade) ist a_k = (−1)^k/2 1

k! (k gerade) bzw. a_k = 0 (k ungerade).

(b) Es ist Tn(x) = Xn

k=0

f^(k)(a)

k! ·(x−a)^k =e· Xn

k=0

(x−a)^k k!·a^k wegen

f^(k)(x) =a^−k·e^x/a. 15.2 Es ist

ln(1 +x) =Tn(x) + Rn+1(x) mit T_n(x) =

Xn

k=1

(−1)^k+1· x^k

k und

Rn+1(x) = (−1)ⁿ⁺²· xⁿ⁺¹

n+ 1 · 1

(1 +ξ)ⁿ⁺¹ , 0< ξ < x, wenn x >0

bzw. x < ξ <0, wenn x <0. (a) F¨ur n = 2 folgt

ln(1 +x) =T₂(x) +R₃(x) mit T₂(x) =x− ^x₂² , d.h. ln(1 + 0.15) =T2(0.15) +R3(0.15) mit T2(0.15) = 0.138750 und |R3(0.15)| ≤ (0.15)³

3 = 0.00113 (wegen ξ > 0 ist 1

|1 +ξ|³ <1).

(b) F¨ur n = 6 ist |R₇(0.15)| ≤ (0.15)⁷

7 <0.25·10⁻⁶ und ln 1.15≈T6(0.15) = 0.139762.

15.3 Das Taylor-Polynom T1(x) = 6x−13 hat die Nullstelle x= 13/6 = 2.166667.

Das Taylor-Polynom T2(x) = 6 (x−2)²+ 6x−13 hat die Nullstelle x= 3/2 +√

15/6 = 2.145497.

Zum Vergleich: die Nullstelle vonf istx^∗ = 2.145103.

–10 0 10 20 30 40

f,T

1 2 3 4

x

Abbildung 1: Graphen der Polynome f(x) (rot) sowie T1(x) und T2(x)

15.4 Tn(x) = (x−2)³+ 6 (x−2)²+ 6 (x−2)−1 =f(x), n > 2

15.5 Die Funktion f ist stetig auf R. Nach dem Zwischenwertsatz existiert wegen f(0) =−1<0, f(2) = 0.82>0

eine Nullstelle x^∗ ∈(0,2) .

Diese l¨asst sich schrittweise weiter eingrenzen:

wegen f(1) ≈ −0.16<0 ist x^∗ ∈(1,2), wegen f(1.5)≈0.50>0 ist x^∗ ∈(1,1.5), wegen f(1.25)≈0.19>0 ist x^∗ ∈(1,1.25), wegen f(1.125)≈0.02>0 ist x^∗ ∈(1,1.125),

wegen f(1.063)≈ −0.07<0 ist x^∗ ∈(1.063,1.125) usw.

Drei Schritte des Newton-Verfahren zur n¨aherungsweisen L¨osung von f(x) = 0 f¨uhren mit

x_k+1 =x_k− f(x_k)

f^′(xk), k = 0,1,2 und x0 = 1.00000000 zu

x1 = 1.11472867, x2 = 1.11415713, x3 = 1.11415714 .

15.6 (a) Die Funktion f hat drei Nullstellen nahe beix=−2, x= 0.5 bzw.x= 2 : x₁ =−1.87939, x₂ = 0.347296, x₃ = 1.53209.

(b) Die Funktion f hat drei Nullstellen in D:

x1 =−2.669079, x2 = 0.523976, x3 = 2.145103.

Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit

Bemerkungen an : u.streit@mathematik.tu-chemnitz.de [12. M¨arz 2019]