H¨ohere Mathematik II

Lehrstuhl II f¨ ur Mathematik Prof. Dr. E. Triesch

H¨ohere Mathematik II

SoSe 2015

Variante A

Zugelassene Hilfsmittel:

Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Bl¨ atter (Vorder- und R¨ uckseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke). Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierbl¨ atter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen.

Sonstige Hilfsmittel, wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte oder Taschenrechner, sind nicht erlaubt.

Bewertung:

Benutzen Sie bitte zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen!

Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile:

I: (Aufgabe I.1-I.3) Sie m¨ ussen unter expliziter Darstellung des L¨ osungsweges nachvollziehbar zu einer L¨ osung kommen. Ohne L¨ osungsweg gibt es keine Punkte.

II: (Aufgabe II.1-II.4) Sie m¨ ussen das richtige Ergebnis in das entsprechende “Ergebnis”- K¨ astchen des Antwortbogens eintragen. Dar¨ uber hinaus k¨ onnen Sie in dem dazugeh¨ origen Feld “L¨ osungsskizze” einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung miteinbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein.

III: (Aufgabe III.1-III.4) Sie m¨ ussen Aussagen den Wahrheitswert “wahr”(W) oder “falsch”(F) zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahr- heitswerte richtig und komplett zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte.

Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begr¨ undungen zu Teil III auf den Antwortbogen.

Nutzen Sie daf¨ ur Ihr eigenes Konzeptpapier.

Beispiel:

Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: (2 Pkt.) 1. 2 · 3 = 6

2. 1 + 1 = 3.

Antwort 1. 2. Punkte

(i) W W 0

(ii) W F 2

(iii) F W 0

(iv) F F 0

Antwort 1. 2. Punkte

(v) F - 0

(vi) W - 0

(vii) - F 0

(viii) - W 0

Viel Erfolg!

Teil I

Aufgabe I.1: (8+7 Pkt.)

a) Bestimmen Sie die (reelle) Partialbruchzerlegung von x ² + 3x − 1

x ³ − 8 . b) Bestimmen Sie den Wert des Integrals

1

Z

0

1

3(x − 2) − 5

6(x − 2) ² + x + 2 (x ² + 4x + 5)

dx.

Aufgabe I.2: (5+5 Pkt.)

a) Zeigen Sie, dass die Funktion f : R ² → R mit

f(x, y) =



 

 

x sin(x ² + y ² )

x ² + y ² , (x, y ) 6= (0, 0), 0 , (x, y ) = (0, 0) im Punkt (0, 0) stetig ist.

b) Gegeben sei die Funktion g : R → R mit

g(x) =



 

 

sin(x ² )

x , x 6= 0,

0 , x = 0.

Zeigen Sie, dass g auf ganz R differenzierbar ist und geben Sie die Ableitung von g an.

Aufgabe I.3: (6+(4+4) Pkt.)

a) Gegeben sei die rekursive Folge (a _n ) n∈ N durch

a ₁ = 5, a _n+1 = 9 + 4a _n 4 + a _n .

Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert a.

Teil II

Aufgabe II.1: (6+5 Pkt.)

a) Bestimmen Sie den Wert des (uneigentlichen) Integrals

∞

Z

−∞

1

4x ² − 4x + 2 dx.

b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion

f : (0, ∞) → R , f(x) = sin( √ x).

Aufgabe II.2: (5 Pkt.)

Gegeben sei die Funktion f : R → R mit

f (x) = sin(cos x).

Bestimmen Sie zu f das Taylor-Polynom T _2,

2

(x) zweiten Grades an der Stelle x ₀ = ^π ₂ .

Aufgabe II.3: (3+7 Pkt.)

Gegeben sei die Funktion f : [−π, π) → R mit

f (x) =

( x ² − πx , x ∈ [0, π),

−x ² − πx , x ∈ [−π, 0).

Geben Sie die Koeffizienten a ₀ , a _k und b _k f¨ ur k ∈ N an, so dass a ₀

2 +

∞

X

k=1

(a _k cos(kx) + b _k sin(kx))

die Fourierreihe der 2π-periodischen Fortsetzung von f auf R ist. Unterscheiden Sie dabei die F¨ alle:

a) a k f¨ ur k ∈ N ⁰ b) b _k f¨ ur k ∈ N . Hinweis:

a _k = 1 π

π

Z

−π

f(x) cos(kx) dx, b _k = 1 π

π

Z

−π

f(x) sin(kx) dx, a ₀ 2 = 1

2π

π

Z

−π

f (x) dx

Aufgabe II.4: (3+4+5 Pkt.)

a) Berechnen Sie den Wert der konvergenten Reihe

∞

X

n=0

3 + (−2) ⁿ 4 ⁿ .

b) Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge (a _n ) n∈ N mit

a _n =

√ 4n ⁴ − 3n ³ − n ² 2n ² + 1 . c) Bestimmen Sie den Grenzwert b der Folge (b _n ) n∈ N mit

b n = 1

n ² + 2n + 1 + 2

n ² + 2n + 2 + · · · + n n ² + 2n + n . Hinweis: F¨ ur alle 1 ≤ k ≤ n gilt

k

n ² + 2n + n ≤ k

n ² + 2n + k ≤ k

n ² + 2n + 1 .

Teil III

Aufgabe III.1: (6 Pkt.)

Gegeben sei die Funktion f : (−1, ∞) → R mit

f(x) = x · arctan(x) ln(x + 1) − x . Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:

1. lim

x→0 f(x) = −2 2. lim

x→0 f(x) = 2 3. lim

x→0 f(x) = 0 4. lim

x→0 f (x) = ¹ ₂ 5. lim

x→0 f(x) = 1 6. lim

x→0 f(x) = ∞ 7. lim

x→0 f(x) = ^π ₂ 8. lim

x→0 f (x) = −1

Aufgabe III.2: (4+5 Pkt.)

a) Gegeben sei die Funktion f : R \ {0} → R mit

f(x) = x ² − ln(x ² ).

Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.

1. Die Funktion f (x) ist streng monoton steigend f¨ ur x ∈ (1, ∞).

2. Die Funktion f (x) ist streng monoton steigend f¨ ur x ∈ (0, 1).

3. Die Funktion f (x) ist streng monoton fallend f¨ ur x ∈ (−1, 0).

4. Die Funktion f (x) ist streng monoton fallend f¨ ur x ∈ (−∞, −1).

b) Gegeben sei die Funktion g : [−1, 1] → R

g(x) = xe ^−2x . Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.

1. Die Funktion g hat in −1 ein lokales Minimum.

2. Die Funktion g hat in 1 ein lokales Maximum.

3. Die Funktion g hat in 0 ein lokales Minimum.

4. Die Funktion g hat in ¹ ₂ ein globales Maximum.

Aufgabe III.3: (3 Pkt.) Gegeben sei die Funktion f : R → R mit

f(x) = ln(2) sin x + cos x

2 ^x .

Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.

1. Die Ableitung von f(x) ist f ⁰ (x) = − 1 + ln(2) 2 ^x sin x.

2. Die Ableitung von f(x) ist f ⁰ (x) = (ln(2) + 1)(cos x − sin x)

2 ^x .

3. Die Ableitung von f(x) ist f ⁰ (x) = − 1 + (ln(2)) ² 2 ^x sin x.

4. Die Ableitung von f(x) ist f ⁰ (x) = (ln(2) cos x − sin x)2 ^x − (ln(2) sin x + cos x)x 2 ^x−1

2 ^2x .

Aufgabe III.4: (2+3 Pkt.)

Gegeben sei die Funktion h : ^3π ₂ , 2π

→ ¹ ₂ , 1 mit h(x) = 1

1 + cos x . a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.

1. Die Umkehrfunktion von h(x) ist h ⁻¹ (x) = arccos x

1 − x

.

2. Die Umkehrfunktion von h(x) ist h ⁻¹ (x) = arccos

1 − x x

.

3. Die Umkehrfunktion von h(x) ist h ⁻¹ (x) = arccos

1 + x x

.

4. Die Umkehrfunktion von h(x) ist h ⁻¹ (x) = arccos x

1 + x

.

b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.

1. Die Ableitung der Umkehrfunktion von h(x) ist (h ⁻¹ (x)) ⁰ = 1 x √

1 − 2x . 2. Die Ableitung der Umkehrfunktion von h(x) ist (h ⁻¹ (x)) ⁰ = − 1

(x − 1) √

1 − 2x .

1