Lehrstuhl II f¨ ur Mathematik Prof. Dr. E. Triesch
H¨ ohere Mathematik II
SoSe 2012
Variante B
Zugelassene Hilfsmittel:
Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal 10 DinA4-Bl¨ attern.
Keine Fotokopien oder Ausdrucke. Taschenrechner sind nicht zugelassen.
Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierbl¨ atter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen.
Bewertung:
Bitte nutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben die in der Klausur ausgeteilten Bl¨ atter! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem L¨ osungsbogen stehen! Zur Bewertung der einzelnen Teile:
I: (Aufgabe I.1-I.3) Sie m¨ ussen unter expliziter Darstellung des L¨ osungsweges nachvollziehbar zu einer L¨ osung kommen. Ohne L¨ osungsweg gibt es keine Punkte.
II: (Aufgabe II.1-II.4) Sie m¨ ussen das richtige Ergebnis in die entsprechenden K¨ astchen des Ant- wortbogens eintragen. Dar¨ uberhinaus k¨ onnen Sie im Feld L¨ osungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein.
III: (Aufgabe III.1-III.3) Hier m¨ ussen Sie Aussagen Wahrheitswerte zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: (2 Pkt.) (1) 2 · 3 = 6
(2) 1 + 1 = 3.
Antwort (1) (2) Punkte
1. W W 0
2. W F 2
3. F W 0
4. F F 0
Antwort (1) (2) Punkte
5. F - 0
6. W - 0
7. - F 0
8. - W 0
Es gibt keine Minuspunkte.
Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begr¨ undungen zu Teil III auf den Antwortbogen.
Nutzen Sie daf¨ ur Ihr eigenes Konzeptpapier.
Viel Erfolg!
1
Teil I
Aufgabe I.1: (4+6 Pkt.)
a) Bestimmen Sie den Stetigkeitsbereich der Funktion f : R
2→ R
f (x, y ) =
xy
2x
2+ y
2· cos( p
x
2+ y
2) , falls (x, y) 6= (0, 0)
0 , falls (x, y) = (0, 0).
b) Gegeben seien die eindimensionalen Funktionen g : R → R und h : R → R mit
g(x) =
x · cos
1 x
, falls x 6= 0
0 , falls x = 0
und h(x) =
x
2· cos 1
x
, falls x 6= 0
0 , falls x = 0.
Bestimmen Sie jeweils den Bereich, in dem die Funktion g bzw. h differenzierbar ist und berechnen Sie g
0und h
0.
Aufgabe I.2: (4+4+4 Pkt.)
Gegeben sei die Kurve γ durch die Parametrisierung γ(t) =
25
t
51
6
t
6−
14t
4mit t ∈ R . a) Bestimmen Sie die Bogenl¨ ange L von γ f¨ ur das Intervall [0, T ] mit T > 0.
b) Bestimmen Sie die Kr¨ ummung der Kurve γ an der Stelle t > 0.
c) Geben Sie Radius und Mittelpunkt des Kr¨ ummungskreises von γ(t) an der Stelle t
0= 1 an.
Aufgabe I.3: (10 Pkt.)
Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f : [2, ∞] → R mit f (x) = 3x
2− x + 1
x
3− 2x
2+ 2x − 1 .
Teil II
Aufgabe II.1: (3+5 Pkt.)
a) Skizzieren Sie die Fl¨ ache A im R
2, die durch die Kurven bzw. Geraden f (x) = x
2, g(x) = 1
2 x
2+ 2, h(x) = 3 2
begrenzt wird und den Punkt (1, 2) enth¨ alt. Zeichnen Sie dabei die Schnittpunkte der Kurven bzw.
Geraden untereinander und der Kurven bzw. Geraden mit der x-Achse bzw. y-Achse ein.
b) Geben Sie den Fl¨ acheninhalt von A an.
Aufgabe II.2: (5+2 Pkt.)
a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom T
3,π(x) dritten Grades an der Stelle π der Funktion f(x) = cos
2(x).
b) Geben Sie das zu T
3,π(x) zugeh¨ orige Restglied in der Form von Lagrange an.
Aufgabe II.3: (4+4+4+4 Pkt.)
a) Berechnen Sie den Wert der konvergenten Reihe
∞
X
n=0
2 · 3
2n+ 3 · 5
n(−1)
n10
n.
b) Sind die folgenden Reihen konvergent oder divergent?
i)
∞
X
n=3
2
n(n − 3)!
n
n−1ii)
∞
X
n=1
√ n
4+ 1 − n
22n
2c) Berechnen Sie den Konvergenzradius der Reihe
∞
X
n=1
1 2
(n2)x
n.
Aufgabe II.4: (5+3 Pkt.)
a) Bestimmen Sie die Jacobimatrix und die Hessematrix von g : R
2→ R mit g(x, y) = e
x+ycos(x).
b) Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung von
f (x, y, z) = x
2yz + arcsin(z)e
y+ ln(y)y
2.
f¨ ur x ∈ R , y > 0 und z ∈ (−1, 1). (Diese Bereiche sind so gew¨ ahlt, damit f wohldefiniert ist.)
3
Teil III
Aufgabe III.1: (3+3+5 Pkt.)
Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:
a) Sei f : R → R eine Funktion und a, b ∈ R mit a < b.
1. Ist f auf [a, b] integrierbar, so ist f auf [a, b] stetig.
2. Wenn f auf R stetig ist und f (a) < 0 < f (b), so besitzt f eine Nullstelle im Intervall [a, b].
3. Ist f auf [a, b] stetig, so ist f auf (a, b) differenzierbar.
b) Sei f : R → R eine auf ganz R differenzierbare Funktion und a, b ∈ R mit a < b.
1. f ist stetig auf ganz R .
2. f ist monoton steigend auf ganz R . 3. f besitzt mindestens eine Nullstelle.
4. Es existiert ein χ ∈ (a, b) mit
f(b)−fb−a(a)= f
0(χ).
c) Die Funktion f : [−4, 1] → R , f(x) =
13x
3+ x
2− 1 hat
1. im Punkt (0, −1) ein lokales Maximum, im Punkt (−2,
13) ein lokales Minimum, im Randpunkt −4 ein Maximum und im Randpunkt 1 ein Minimum.
2. im Punkt (0, −1) ein globales Maximum, im Punkt (−2,
13) ein globales Minimum, im Randpunkt −4 ein Maximum und im Randpunkt 1 ein Minimum.
3. im Punkt (0, −1) ein lokales Minimum, im Punkt (−2,
13) ein globales Maximum, im Randpunkt −4 ein Minimum und im Randpunkt 1 ein Maximum.
4. im Punkt (0, −1) ein globales Minimum, im Punkt (−2,
13) ein globales Maximum,
im Randpunkt −4 ein Minimum und im Randpunkt 1 ein Maximum.
Aufgabe III.2: (3+3+3 Pkt.)
a) Berechnen Sie den Grenzwert
x→0
lim
1 − cos x (e
x− 1) sin x . Der Grenzwert ist
1. 2 2.
123.
π24. π
5. 1 6. 0 7. −∞ 8. ∞
b) Berechnen Sie den Grenzwert
x→0
lim
√
31 + x − 1
x .
Der Grenzwert ist
1. 0 2. 1 3.
134. 3
5. ∞ 6.
147.
128. −∞
c) Berechnen Sie den Grenzwert
x→0
lim 1
x − 1 sin x
. Der Grenzwert ist
1. 0 2. 1 3. 2 4. 4
5. −2 6. π 7. ∞ 8. −∞
5
Aufgabe III.3: (3+3+3 Pkt.)
a) Berechnen Sie den Wert des folgenden Integrals:
Z
π2π 3
cos x sin
2x dx.
(Tipp: cos
π4= sin
π4=
√12
, cos
π3=
12, sin
π3=
12√
3, cos
π6=
12√
3 und sin
π6=
12) Das Ergebnis ist:
1. −1 +
√13
2. 1 − √
2 3. −1 + √
2 4.
√12
5. −
√12
6. −1 +
√23
b) Geben Sie den Wert des folgenden Integrals an:
π
Z
0
sin x cos x 1 + cos
2x dx.
Der Wert des Integrals ist:
1. 2π 2.
123. 1
4. 0 5.
32π 6. π
c) Gegeben sei f : R → R mit
f (x) = e
xsin x.
Eine Stammfunktion von f ist
