H¨ohere Mathematik II

(1)

Lehrstuhl II f¨ ur Mathematik Prof. Dr. E. Triesch

H¨ohere Mathematik II

SoSe 2014

Variante A

Zugelassene Hilfsmittel:

Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Bl¨ atter (Vorder- und R¨ uckseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke). Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierbl¨ atter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen.

Sonstige Hilfsmittel wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte oder Taschenrechner sind nicht er- laubt.

Bewertung:

Benutzen Sie bitte zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen!

Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile:

I: (Aufgabe I.1-I.3) Sie m¨ ussen unter expliziter Darstellung des L¨ osungsweges nachvollziehbar zu einer L¨ osung kommen. Ohne L¨ osungsweg gibt es keine Punkte.

II: (Aufgabe II.1-II.3) Sie m¨ ussen das richtige Ergebnis in das entsprechende “Ergebnis”- K¨ astchen des Antwortbogens eintragen. Dar¨ uber hinaus k¨ onnen Sie in dem dazugeh¨ origen Feld “L¨ osungsskizze” einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein.

III: (Aufgabe III.1-III.3) Sie m¨ ussen Aussagen den Wahrheitswert “wahr”(W) oder “falsch”(F) zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahr- heitswerte richtig und komplett zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte.

Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begr¨ undungen zu Teil III auf den Antwortbogen.

Nutzen Sie daf¨ ur Ihr eigenes Konzeptpapier.

Beispiel:

Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: (2 Pkt.) 1. 2 · 3 = 6

2. 1 + 1 = 3.

Antwort 1. 2. Punkte

(i) W W 0

(ii) W F 2

(iii) F W 0

(iv) F F 0

Antwort 1. 2. Punkte

(v) F - 0

(vi) W - 0

(vii) - F 0

(viii) - W 0

Viel Erfolg!

(2)

Teil I

Aufgabe I.1: (8+6 Pkt.)

a) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von

2x

³

+ 6x

²

− 2x − 9 (x − 1)(x + 2)

²

.

b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f : {x ∈ R : x > −1} → R mit f(x) = 1

8(x + 1) + 2

3(x + 1)

²

− 2 x

²

+ 9 .

Aufgabe I.2: (3+4+4 Pkt.)

a) Berechnen Sie den Grenzwert der konvergenten Reihe

∞

X

n=0

(−3)

ⁿ⁻¹

4

ⁿ

.

b) Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz und begr¨ unden Sie Ihre

Antwort

_∞

X

n=1

(n + 1) · (−1)

ⁿ

n(n + 2) . c) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

∞

X

n=1

(n!)

²

(2n)! x

ⁿ

.

Aufgabe I.3: (5+5 Pkt.)

a) Zeigen Sie, dass die Funktion f : R

²

→ R mit

f (x, y) =



 

  2 · √

³

x · y

p x

²

+ |y|

³

, (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0) im Punkt (0, 0) nicht stetig ist.

b) Die Funktion g : R → R sei definiert durch g(x) :=

( x

⁴

· sin

_x⁸3

, x 6= 0

0 , x = 0.

Zeigen Sie, dass g differenzierbar ist. Geben Sie die Ableitung an und zeigen Sie, dass die Ablei-

tung in 0 nicht stetig ist.

(3)

Teil II

Aufgabe II.1: (6+5 Pkt.)

a) Bestimmen Sie den Wert des Integrals

∞

Z

0

x

²

· exp

− x 3

dx.

b) Bestimmen Sie den Wert des Integrals

π

Z

2

0

sin(x) − cos(x) + 1 sin(x) + cos(x) + 1 dx.

Aufgabe II.2: (3+4+4 Pkt.)

Gegeben seien die beiden Funktionen f, g : R → R mit

f(x) = −(x − 1)

²

+ 1 und g(x) = x

³

. a) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

b) Skizzieren Sie die Graphen von f und g in das vorgegebene Koordinatensystem auf dem Ant- wortbogen. Zeichnen Sie dabei die Schnittpunkte der Graphen von f und g ein.

Markieren Sie die Fl¨ ache, die durch die Graphen von f und g begrenzt wird und oberhalb der x-Achse liegt, als Fl¨ ache A.

c) Berechnen Sie den Fl¨ acheninhalt von A.

Aufgabe II.3: (4+6 Pkt.)

a) Bestimmen Sie den Grenzwert

x→∞

lim

√

x

²

− x + 1 − √

x

²

− 5x + 8.

b) Bestimmen Sie den Grenzwert

x→1

lim Z

x²

1

ln (cos(2πt)) dt

(x

²

− 1)

²

.

(4)

Teil III

Aufgabe III.1: (4+3 Pkt.)

a) Gegeben sei die Funktion f : R → R mit

f(x) = x · cos(2x).

Berechnen Sie das Taylorpolynom T

_2,^π

2

(x) zweiten Grades an der Stelle

^π₂

. Es gilt:

1. T

_2,^π

2

(x) = π + x −

^π₂

− 2π x −

^π₂

2

2. T

_2,^π

2

(x) = 3π x −

^π₂

+ 2 x −

^π₂

2

3. T

_2,^π

2

(x) = −

^3π₂

− x −

^π₂

+ 3π x −

^π₂

2

4. T

_2,^π

2

(x) = −

^π₂

+ x −

^π₂

− 2 x −

^π₂

2

5. T

_2,^π

2

(x) = −

^π₂

− x −

^π₂

+ π x −

^π₂

2

6. T

2,^π₂

(x) = 2π + x −

^π₂

− 4π x −

^π₂

2

b) Berechnen Sie das zu T

2,^π₂

(x) zugeh¨ orige Restglied in der Form von Lagrange. Es gilt:

1. R

_2,^π

2

(x) =

−6 cos(2t)+4tsin(2t)

3

x −

^π₂

3

f¨ ur ein t zwischen x und

^π₂

2. R

_2,^π

2

(x) =

3

x −

^π₂

3

f¨ ur ein t zwischen x und

^π₂

3. R

_2,^π

2

(x) =

6 cos(2t)−4tsin(2t)

3

x −

^π₂

3

f¨ ur ein t zwischen x und

^π₂

4. R

_2,^π

2

(x) =

12 cos(2t)−8tsin(2t)

3

x −

^π₂

3

f¨ ur ein t zwischen x und

^π₂

5. R

_2,^π

2

(x) =

3

x −

^π₂

3

f¨ ur ein t zwischen x und

^π₂

6. R

_2,^π

2

(x) =

−8 cos(2t)−4tsin(2t)

3

x −

^π₂

3

f¨ ur ein t zwischen x und

^π₂

Aufgabe III.2: (6+5+2+2 Pkt.)

Gegeben sei die Kurve γ durch die Parametrisierung γ(t) =

sin

³

(t) cos

³

(t)

mit t ∈ [0, 2π].

a) Bestimmen Sie die Bogenl¨ ange L von γ. Es gilt:

1. L = 0 2. L = 3 3. L = 12 4. L = 6π

5. L = 6 6. L =

^π₂

7. L = 12π 8. L = √

72 b) Bestimmen Sie die Kr¨ ummung κ der Kurve an der Stelle t

₀

=

^π₄

. Es gilt:

1. κ

^π₄

= 0 2. κ

^π₄

=

³₂

3. κ

^π₄

=

²₃

4. κ

^π₄

=

³₄

5. κ

^π

=

^π

6. κ

^π

=

⁴

7. κ

^π

= 4 8. κ

^π

= π

(5)

c) Geben Sie den Radius r des Kr¨ ummungskreises von γ(t) an der Stelle t

₀

=

^π₄

an. Es gilt:

1. r = 0 2. r =

³₂

3. r =

²₃

4. r =

³₄

5. r =

^π₄

6. r =

⁴₃

7. r = 4 8. r = π

d) Geben Sie den Mittelpunkt M des Kr¨ ummungskreises von γ(t) an der Stelle t

₀

=

^π₄

an. Es gilt:

1. M hat die Koordinaten (0, 0). 2. M hat die Koordinaten ( √ 2, −

√2 2

).

3. M hat die Koordinaten (−

√ 2 2

, −

√ 2

2

). 4. M hat die Koordinaten ( √ 2, √

2).

5. M hat die Koordinaten (1, 1). 6. M hat die Koordinaten (π, √ 2).

7. M hat die Koordinaten (−

√ 2 2

, √

2) 8. M hat die Koordinaten (π, π).

Aufgabe III.3: (3+4+4 Pkt.)

a) Gegeben sei das Polynom p(x) = (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) mit a < b < c < d.

Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen ¨ uber die Lage der Nullstellen der Ableitung p

⁰

(x) von p(x):

1. p

⁰

(x) hat in dem Intervall (a, d) genau vier Nullstellen.

2. p

⁰

(x) hat in dem Intervall (a, d) mindestens vier Nullstellen.

3. p

⁰

(x) hat in dem Intervall (a, d) genau eine Nullstelle.

4. p

⁰

(x) hat in den Intervallen (a, b) und (b, d) jeweils genau eine Nullstelle.

5. p

⁰

(x) hat in den Intervallen (a, b), (b, c) und (c, d) jeweils genau eine Nullstelle.

6. p

⁰

(x) hat in einem der Intervalle (a, b), (b, c) und (c, d) mindestens zwei Nullstellen.

b) Gegeben sei die Funktion f (x) = x

⁴

· exp

−

^x₄⁴

, x ∈ R . Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:

1. f(x) ist monoton wachsend auf −∞, − √ 2

. 2. f(x) ist monoton fallend auf −∞, − √

2 . 3. f(x) ist monoton wachsend auf

0, √ 2

. 4. f(x) ist monoton fallend auf

0, √ 2

. 5. f(x) ist monoton wachsend auf √

2, ∞ . 6. f(x) ist monoton fallend auf √

2, ∞ . 7. f(x) ist monoton wachsend auf

− √ 2, 0

. 8. f(x) ist monoton fallend auf

− √ 2, 0

.

c) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:

1. Jede stetige Funktion nimmt auf einem Kompaktum ihr Maximum bzw.

Minimum an.

2. Sei f stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b) mit f (a) = f (b). Dann existiert ein x ∈ (a, b) mit f

⁰

(x) = 0.

3. Ist eine Funktion f stetig in einem Punkt a, so ist f auch differenzierbar in a.

4. Sei f stetig und injektiv auf einem offenen Intervall I. Ist f differenzierbar

im Punkt a ∈ I, dann ist die Umkehrfunktion f

⁻¹

in f (a) differenzierbar.