L¨osungen ausgew¨ahlter Beispiele zu Analysis I, G. Bergauer, Seite 1
1 L¨ osungen zu Analysis 1/ 9. ¨ Ubung
1.1 Einleitung
Zum 2. Beispiel m¨ochte ich darauf hinweisen, dass der ¨Aquivalenzbegriff von Metriken d,d˜in 2 Variationen auftritt. Einerseits gibt es den Begriff der durch den ¨Aquivalenzbegriff bei Normen gepr¨agt ist n¨amlich, den dass 2 globale Konstanten a, b >0 existieren, sodass f¨ur jedes x, y ∈X gilt:1
a·d(x, y)≤d(x, y)˜ ≤b·d(x, y).
Andererseits gibt es auch jene ¨Aquivalenz die durch die Kugeln (offenen Men- gen) induziert wird. Diese wird auch als topologische ¨Aquivalenz bezeichnet.
Seien nun Uǫ(x) die Kugeln bez¨uglich d und ˜Uǫ(x) jene bez¨uglich ˜d. (siehe Angabe 2. Beispiel) Es gilt d,d˜¨aquivalent genau dann wenn
∀ǫ >0∀x∈X ∃a, b >0 : ˜Uaǫ(x)⊆Uǫ(x)⊆U˜bǫ(x)
Wie wir beweisen werden impliziert die erste Variante die zweite, aber das Beispiel ˜d(x, y) = d2(1x,y1) in R\ {0} zeigt, dass die zweite Variante echt schw¨acher ist.
1. Beispiel Sei (zn)n∈N eine Folge in C. Falls die FolgeQN
i=1zi konvergiert sagt man Q∞
i=1zi konvergiert und Q∞
i=1zi bezeichnet den Grenzwert.
BH 1: ∃Q∞
i=1zn 6= 0⇒zn→1 Beweis :
∃
∞
Y
i=1
zn⇔ ∀ǫ >0∃N ∈N ∀n > N :
n
Y
i=1
zn−
∞
Y
i=1
zn
< ǫ.
Ausserdem gilt dann insbesondere die spezielle Cauchyeigenschaft
∃
∞
Y
i=1
zn⇔ ∀ǫ >0∃N ∈N ∀n > N :
n
Y
i=1
zn−
n+1
Y
i=1
zn
< ǫ.
1Bei Normen||.||1,||.||2 sieht das ganze dann so aus:a||x||2≤ ||x||1≤b||x||2
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Da aber nun
Qn
i=1zn−Qn+1 i=1 zn
=|Qn
i=1zn|·|(1−zn+1)| →0 undQ∞ i=1zn6=
0 gilt mit Satz 3.3.5:
0 = lim
n→∞
n
Y
i=1
zn
· |(1−zn+1)|
!
=
= lim
n→∞
1
|Qn
i=1zn| lim
n→∞
n
Y
i=1
zn
· |(1−zn+1)|
!
= lim
n→∞|(1−zn+1)|
2. Beispiel SeiX eine nichtleere Menge undd,d˜zwei ¨aquivalente Metriken im 1. Sinne:
∃a, b∈R+ ∀x, y ∈X : a·d(x, y)<d(x, y)˜ < b·d(x, y)
Wir zeigen, dass ¨aquivalente Metriken viele nette Eigenschaften erf¨ullen, und fassen alle in eine Behauptung zusammen:
BH 1:
1. ∀ǫ >0∀x∈X : ˜Uaǫ(x)⊆Uǫ(x)⊆U˜bǫ(x)
2. ∀ǫ >0∀x∈X ∃a, b >0 : ˜Uaǫ(x)⊆Uǫ(x)⊆U˜bǫ(x) 3. xn →xin d genau dann wenn xn→x in ˜d
4. (xn)n∈N Cauchy Folge ind ⇔ (xn)n∈N Cauchy Folge in ˜d.
5. E ⊆ X offen, abgeschlossen oder kompakt in d genau dann wenn E offen, abgeschlossen oder kompakt in ˜d
Beweis : Wir zeigen zuerst 4.). Dann zeigen wir 1.), aus 1.) die topologische ¨Aquivalenz 2.), aus jener 3.) und 5.). Das ist insofern interessant, weil sich die ¨Aquivalenzbegriffe genau darin unterscheiden, dass der schw¨achere topologische alles andere aber eben gerade nicht die Cauchy Eigenschaft erh¨alt.
4. Sei (xn)n∈N Cauchyfolge inX bez¨uglich d. ¨Ahnlich wie beim Beweis des 2.
Beispiel der 8. ¨Ubung gilt dann:
∀r >0 ∀ǫ >0 ∃N ∈N∀n, k > N : d(xn, xk)< ǫr ⇒
⇒ ∀ǫ >0 ∃N ∈N∀n, k > N : d(xn, xk)< aǫ ⇔
⇔ ∀ǫ >0 ∃N ∈N∀n, k > N : xn∈Uǫ
a(xk) ⇔
⇔ ∀ǫ >0 ∃N ∈N∀n, k > N : xn∈U˜ǫ(xk) ⇔
⇔ ∀ǫ >0 ∃N ∈N∀n, k > N : ˜d(xn, xk)< ǫ
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Ebenso schliesst man f¨ur eine Cauchyfolge in X bez¨uglich ˜d.
1. Erh¨alt man direkt durch Einsetzen der ¨Aquivalenzeigenschaft in die Defini- tion der Kugeln:
U˜aǫ(x) ={y: ˜d(x, y)< aǫ} ⊆ {y : ad(x, y)< aǫ}=
=Uǫ(x) ⊆ {y : ˜d(x, y) < bǫ} = ˜Ubǫ(x) 1.⇒ 2. Sofort klar, da
∃a, b∈R+ ∀ǫ >0∀x∈X: ˜Uaǫ(x)⊆Uǫ(x)⊆U˜bǫ(x)
⇒
∀ǫ >0∀x∈X ∃a, b∈R+: ˜Uaǫ(x)⊆Uǫ(x)⊆U˜bǫ(x) 2.⇒ 3. Sei (xn)n∈N→x eine konvergente Folge in (X, d). Dann gilt
∀ǫ >0∃N ∈N ∀n > N : xn∈Uǫ(x) und
∀ǫ >0∀r ∈R+ ∃N ∈N∀n > N : xn ∈Urǫ(x)
Wir verwenden die zweite Aussage und die topologische ¨Aquivalenz. Damit erhalten wir:
∀ǫ >0
∀b∈R+ ∃N ∈N∀n > N : xn∈Uǫ
b
∧
∃b >0 : Uǫ(x)⊆U˜bǫ
⇔ ∀ǫ >0 ∃b >0 ∃N ∈N∀n > N : xn∈Uǫ
b ⊆U˜ǫ(x)
⇒ ∀ǫ >0 ∃N ∈N∀n > N : xn∈U˜ǫ(x)
Und somit gilt (xn)n∈N→x in (X,d). Analog beweist man die umgekehrte˜ Richtung.
2.⇒ 5. Offene und abgeschlossene Mengen bleiben die selben, da in jeder Kugel bez¨uglich deine bez¨uglich ˜denthalten ist und umgekehrt. Die Kompaktheit bleibt erhalten, da die konvergenten Folgen, genau die selben sind, und somit jede Folge eine konvergente Teilfolge bez¨uglich d besitzt genau dann wenn sie eine konvergente Teilfolge bez¨uglich ˜dbesitzt.
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7. Beispiel BH 1: R ist abgeschlossen (C, d2).
Beweis : Man zeigt nach Proposition 5.1.16, dassRc offen ist in (C, d2). Dazu findet man zu jedem z = a+ib mit b >0 die Kugel Ub(z). Wir behaupten diese liegt ganz in Rc. Sei nun r∈R beliebig dann folgt
d2(r, z) =p
(a−r)2+b2≥b und damit wirklich R∩Ub(z) =∅.
BH 2: ∞ ist ein H¨aufungspunkt von R in (C, χ) mit chordaler Metrik χ.
Beweis : Aus dem 2. Beispiel der 8. ¨Ubung wissen wir, es reicht eine Folge in R zu finden deren Folgenglieder unbesch¨rankte komplexe Betr¨age besitzen. Dazu finden wir die Folge (n)n∈N.
