L¨ osungen zur 18. ¨ Ubung

L¨ osungen zur 18. ¨ Ubung

H¨ohere Mathematik II (MB) 18.1 sinx−xcosx+C ( Setze u=x in R

u·v^′dx =u·v−R

u^′·v dx) x sinhx−coshx+C (u=x)

x·(lnx − 1) +C (u= lnx, v^′ = 1)

−(x² + 2x + 2)e^−x+C (u=x², v^′ =e^−x im ersten Schritt)

18.2 −e^−3x/3 +C ( Substitution: z=−3x) 2·tan ^x₂

+C (z = ^x₂)

−1/8·(5−6x)^4/3+C (z = 5−6x) 1/5·sin⁵x+C (z = sinx) ln|lnx|+C (z = lnx)

18.3 − 2

(x+ 2)² + 1 x+ 2 1

x− x x²+ 1

2 1

(x+ 1)² − 1

x+ 1 + 3 1

(x−1)² + 4 1 x−1 x+ 2

x + 1

x² − 2 (x−1)

Stammfunktionen der ersten beiden Funktionen : ln|x+ 2| + 2/(x+ 2) +C

ln|x| − ln√

1 +x²+C

18.4 (−1)ⁿ⁺¹

nπ (mittels partieller Integration ¨ahnlich zu Aufg. 18.1(a)) 43

2 (Zerlegung des Integrationsbereichs und Aufl¨osung der Betr¨age)

18.5 Trapez , n = 4 : Q= 3.2833 Trapez , n = 8 : Q= 3.2517 Simpson , n= 4 : Q= 3.2396 Simpson , n= 8 : Q= 3.2412 Mit den Fehlerabsch¨atzungen

|RT|< M2(b−a)

12 ·h², |RS|< M4(b−a) 180 ·h⁴, f¨ur Trapez-Regel bzw. Simpson-Regel

und mit b−a = 2 sowie h= ¹₂ (wenn n = 4) bzw. h = ¹₄ (wenn n= 8) gilt f¨ur die Fehler

Trapez , n = 4 : |R|< ₁₂¹ = 0.083 Trapez , n = 8 : |R|< ₄₈¹ = 0.021 Simpson , n= 4 : |R|< ₁₈₀¹ = 0.0056 Simpson , n= 8 : |R|< ₂₈₈₀¹ = 0.00035

18.6 Mit x= 2 sinht ist t = arsinh ^x₂ sowie dx= 2 cosht dt.

Unter Beachtung von cosh²t−sinh²t = 1 erh¨alt man:

Z2

0

x²

√x²+ 4dx =

arsinh 1

Z

arsinh 0

(2 sinht)²2 cosht q

4(sinh²t+ 1) dt=

arsinh 1

Z

arsinh 0

(2 sinht)²dt=

arsinh 1

Z

arsinh 0

e^2t+e^−2t−2 dt

Zusatz :

Mit arsinh x= ln(x+√

x²+ 1) ist

ln(1+√ 2)

Z

0

(e^2t+e^−2t−2)dt = (1 +√ 2)²

2 − 1

2(1 +√

2)² −2 ln(1 +√

2) = 1.0657

Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit

Bemerkungen an : u.streit@mathematik.tu-chemnitz.de [10. April 2019]