PCI Thermodynamik G. Jeschke FS 2012
Musterl¨osung zu ¨ Ubung 2
(1. M¨arz 2012)
1. a) HCO−3 Ionen des Sprudelwassers werden mit der Zeit mit Wasserstoffionen H3O+ reagieren:
HCO−3 + H3O+ 2H2O + CO2
Weil das Becherglass ein offener Beh¨alter ist, werden CO2-Molek¨ule aus diesem Glas in die Umgebung entweichen (Materieaustausch). Das System ist also offen.
(0.5 Punkte)
b) Die beschriebene Reaktion verl¨auft unter Abgabe von W¨arme (exotherme Reakti- on). Der Kolben ist verschlossen, damit es kein Materieaustausch stattfindet, aber die W¨arme kann an die Umgebung abgegeben werden. Somit ist das System ge-
schlossen. (0.5 Punkte)
c) Diese Reaktion ist wie die Reaktion b exotherm. Jetzt ist der Kolben jedoch ther- moisoliert, so dass keine W¨arme ausgetauscht werden kann. Das System ist abge-
schlossen. (0.5 Punkte)
2. Am Anfang, wenn die Wand fixiert ist, sind die Volumina in beiden Teilen des Zylinders gleich
V1 =V2 = V1+V2 2 = V2
Wenn die Wand entarretiert wird, wird sie sich bewegen, bis das Gleichgewicht erreicht wird (d.h. bis die Dr¨ucke gleich werden)
pe1 =pe2 =p
Die Abbildung 1 des ¨Ubungsblattes kann auch dargestellt werden als
Abbildung 1: Ein Zylinder mit einer fixierten Wand, die nach dem L¨osen der Arretierung sich frei bewegen kann.
Allgemein, m¨ussen die Temperaturen in beiden Teilen des Zylinders nicht gleich sein.
W¨ahrend der Gleichgewichtseinstellung bleiben die Temperaturen in beiden Teilen kon- stant. Zus¨atzlich, bleiben die beiden Stoffmengen konstant, weil der Zylinder verschlos- sen ist. Bei dem isothermen Ablauf des Prozesses ist das Produkt aus Druck und Volu- men konstant. Somit gilt f¨ur die beiden Teile
p1V
2 =p(V −x)⇒p= p1V 2(V −x) p2V
2 =px⇒x= p2V 2p Umstellen nach p und x liefert
p= p1+p2 2 x= p2V
p1+p2 Damit sind
pe1 =pe2 =p= p1+p2 2 V1e =V −x=V − p2V
p1+p2 = p1V p1 +p2 V2e =x= p2V
p1+p2
(2 Punkte)
3.
a) Das totale Differential einer Funktion ist definiert als die Summe der einfachen partiellen Ableitungen nach allen Variablen:
dz(x1, x2, . . . , xn) =
n
X
i=1
∂z(x1, x2, . . . , xn)
∂xi
j6=i
dxi
Der Druck ist von V, T und n abh¨angig
p=p(V, T, n) darum ist das totale Differential dp
dp(V, T, n) = ∂p
∂V
T ,n
dV + ∂p
∂T
V,n
dT + ∂p
∂n
T ,V
dn
Die Zustandsfunktion lautet
p(V, T, n) = nRT V
und die einfachen Ableitungen der Zustandsfunktion sind ∂p
∂V
T,n
= −nRT V2 ∂p
∂T
V,n
= nR V ∂p
∂n
T ,V
= RT V und somit lautet das totale Differential
dp(V, T, n) = −nRT
V2 dV +nR
V dT +RT V dn
(2 Punkte)
b) • A → B: T=konstant, so dieser Prozess isotherm ist B → C: p=konstant, so dieser Prozess isobar ist
C →A: V=konstant, so dieser Prozess isochor ist (1 Punkt)
• Im Zustand C lautet die Zustandsfunktion
p1V1 =nRTC (1)
Damit wird die Temperatur berechnet als TC = p1V1
nR TC = 1 bar·1 dm3
1 M ol·8.31447·10−2dmK·M ol3·bar ≈12K
Im Zustand B
p1V2 =nRTB V2 = 3V1
3p1V1 =nRTB ⇒TB = 3p1V1
nR = 3TC ≈36K
Prozess A → B l¨auft isotherm (bei einer konstanten Temperatur) TA=TB = 36 K
Die Zustandsfunktion im Zustand A ist p2V1 =nRTA =nRTB
p2 = nRTB V1
= 1 M ol·8.31447·10−2dmK·M ol3·bar ·36 K
1 dm3 ≈3bar
(2 Punkte)
c) • F¨ur den Prozess A→ B Z
A→B
dp=
p1
Z
p2
dp=p1−p2 = 1 bar−3 bar=−2 bar
B → C ist ein isobarer Prozess, p=konstant Z
B→C
dp=
p1
Z
p1
dp=p1−p1 = 0
F¨ur C →A Z
C→A
dp=
p2
Z
p1
dp=p2−p1 = 3 bar−1 bar= 2 bar
H dpvom gesamten Kreisprozess ist eine Summe von R
dp aller Prozesse I
dp= Z
A→B
dp+ Z
B→C
dp+ Z
C→A
dp I
dp=−3 bar+ 0 + 3bar = 0
Der Druck p ist eine Zustandsgr¨oße und damit ist sein Integral f¨ur einen Kreispro- zess gleich Null.
Allgemein muss f¨ur jeden solchen Kreisprozess, der in ein und demselben Punkt beginnt und endet, die resultierende Zustands¨anderung gleich Null sein.(3 Punkte)
• Die Volumenarbeit f¨ur die einzelnen Prozesse werden berechnet durch
− Z
A→B
pdV =−
V2
Z
V1
pdV =−
V2
Z
V1
nRTA
V dV =−nRTAlnV|VV2
1 =−nRTAlnV2 V1
=−1 M ol·8.31447·10−2dmK·M ol3·bar ·36K ·ln3V1
V1
≈ −3.29dm3·bar=−3.29·10−3 m3·105 P a=−329 J
− Z
B→C
pdV =−
V1
Z
V2
p1dV =−p1(V1−V2) =−1 bar(1 dm3−3 dm3)
= 2 dm3·bar= 200 J
− Z
C→A
pdV =−
V1
Z
V1
pdV = 0
F¨ur den gesamten Kreisprozess ist diese Volumenarbeit
− I
pdV =−329 J+ 200 J =−129 J
Obwohl dieser Prozess ein Kreisprozess ist, ist das gegebene Integral nicht gleich Null, weil die Volumenarbeit keine Zustandsgr¨oße ist.
Die L¨osung ber¨ucksichtigt, dass die vollst¨andige Definition der Arbeit noch ein (negatives) Vorzeichen enth¨alt (Skript Gl. (85)).
(3 Punkte)
