Musterl¨osung zu ¨ Ubung 3

PCI Thermodynamik G. Jeschke FS 2011

Musterl¨osung zu ¨ Ubung 3

(9. M¨arz 2011)

1. Das Volumen, das ein Mol einer Substanz einnimmt, wird als molares Volumen V_m bezeichnet. Es handelt sich daher um eine intensive Zustandsgr¨osse, die nicht von der Gr¨osse des betrachteten Systems abh¨angig ist.

a) Nach dem idealen Gasgesetz

p·V_m =R·T (1)

h¨angt das molare Volumen V_m vom herrschenden Druck und der Temperatur ab und ist f¨ur alle idealen Gase bei gegebener Temperatur und gegebenem Druck konstant.

(1 Punkt)

b) Mit Hilfe der idealen Gasgleichung (Gleichung (1)) l¨asst sich das molare Volumen be- rechnen. Unter Normalbedingungen (p₀ = 101325 Pa und T₀ = 273.15 K) sowie der Ber¨ucksichting der Stoffmenge von einem Mol berechnet sichV₀ zu:

V₀ = n·R·T₀

p₀ (2)

V₀ = 1 mol·8.314 J mol⁻¹ K⁻¹·273.15 K

101325 Pa (3)

V₀ = 22.414·10⁻³ m³ = 22.414 L (4) und V_m,0 ergibt sich zu einem tabellierbaren Werte von 22.414 L mol⁻¹ (1 Punkt)

2. Die molare Masse von Ammoniak betr¨agt M(NH₃) = 17.03052 gmol⁻¹. 300 g enthalten also n= m

M = 300g

17.03052g/mol = 17.6154 mol (1 Punkt) Mit Gl. (41) aus dem Skript berechnet sich der Druck zu

p= RT

V

n −b− a

(^V_n)² = 8.314J mol⁻¹K⁻¹·348.15 K

28500 mL

17.6154 mol −37.1_mol^mL −4.23·10¹¹mL²Pa·mol⁻²

(17.6154 mol^{28500 mL} )² = 1.67 MPa (1 Punkt)

1

Die kritischen Gr¨ossen betragen

V_cr = 3b= 3·37.1mL

mol = 111.3mL

mol (6)

p_cr = a

27b² = 11.38 MPa (7)

T_cr = 8a

27bR = 406.3 K (8)

Die Boyle-Temperatur betr¨agt

T_B = a

bR = 1371 K (9)

(je 1 Punkt) 3. Die van-der-Waals-Gleichung soll in eine Virialgleichung umgeformt werden.

p= RT

V_m−b − a

V_m² (10)

pVm

RT = Vm

V_m−b − a

V_mRT (11)

Vm

Vm−b kann durch Reihenentwicklung oder Polynomdivision umgeformt werden in V_m

Vm−b = 1 + b Vm

+ ( b Vm

)²+... (12)

Gleichung (12) in (11) eingesetzt und nach der ersten Potenz abgebrochen (N¨aherung!) liefert:

pVm

RT = 1 + b

V_m − a

V_mRT (13)

Ersetzt man auf der rechten Seite _V¹

m durch _RT^p (N¨aherung!) und multipliziert beide Seiten mit RT so folgt:

pV_m =RT +p(b− a

RT) (14)

MitB =b−_RT^a folgt

pV_m =RT +B(T)p (vgl. dazu Skrips Seite 34ff) (4 Punkte) (15) Zur Berechnung des Koeffizienten B m¨ussen

p_cr = a

27b² und T_cr = 8a

27bR (16)

nach a und b aufgel¨ost werden und in Gleichung (15) eingesetzt werden. Aus a= 27T_cr²R²

64p_cr und b= T_crR

8p_cr (Gl. 48 und 49 im Skript S.38) (17) folgt

B = T_crR(8T −27T_cr)

64pcrT = 190.7 K·8.31451 J mol⁻¹K⁻¹(8·293.15 K−27·190.7K)

64·4.62 MPa·293.15 K =−51.29mL mol (18) (2 Punkte) 2