L¨ osungen zur 20. ¨ Ubung

L¨ osungen zur 20. ¨ Ubung

H¨ohere Mathematik II (MB)

20.1 (a) D(f) = {(x, y)∈R² : x·y6= 0}, N_c ={(x, y)∈ D: y= _cx¹}, c 6= 0, d.h. die Niveaumengen sind Hyperbeln

(b) D(f) = {(x, y, z)∈R³ : 1≤x²+y²+z² <2}, Niveaumengen sind Kugelfl¨achen

(c) D(f) = {(x, y)∈R² : x6=k·^π2, k ∈Z},

Niveaumengen sind Geraden, parallel zur y-Achse 20.2 Auf der Geraden y=m·x mit m∈R, m6= 1 gilt

f(x, y) =f(x, m x) = 1−m^m = const. f¨ur x6= 0.

Damit strebt f l¨angs dieser Geraden gegen 1−m^m f¨ur x→0 . Also hat f keinen Grenzwert in (0,0) .

Aus y x−y =c folgt

y(x) = c

c+ 1x (x6= 0), wenn c6=−1 und

x(y) = 0 (y 6= 0), wenn c=−1.

Damit sind die gesuchten Niveaumengen genau alle Geraden durch den Ursprung (ohne die Gerade y=x), wobei der Ursprung selbst jeweils ausgenommen ist.

20.3 (a) gradf =

3x² + 2xy x² + 3y²

(b) gradf = a

(x²+y²+z²)² ·





−x²+y²+z²

−2xy

−2xz





(c) gradf =

y x^y−1 x^y lnx

20.4 f_xx = 6x+ 2y , f_xy =f_yx= 2x , f_yy = 6y

f_xxx= 6, f_xxy =f_xyx =f_yxx = 2, f_xyy =f_yxy =f_yyx = 0, f_yyy = 6 20.5 u_t=−a²e^−a2tsinx , u_xx =−e^−a2tsinx

20.6 Es gilt ∂f

∂r = (gradf)^⊤r f¨ur |r|= 1. Wegen gradf(1,1) = (¹₂ ³₄)^⊤ erh¨alt man

(a) ∂f

∂r(1,1) = 0.5 (b) ∂f

∂r(1,1) = 0.9 (c) ∂f

∂r(1,1) = 0.85.

Die Richtungsableitung ist maximal, wenn r= 2

√13

√3 13

⊤

:

∂f

∂r(1,1) =

√13

4 ≈0.901 und verschwindet, wenn r=

3

√13

−2

√13 ⊤

:

∂f

∂r(1,1) = 0. Die Bedingung

∂f

∂r(x1, y1) = 0 f¨ur jede Richtung r ist ¨aquivalent zu

gradf(x¹, y1) = 0

und damit zum Gleichungssystem y1−1

2x

3 2

1

= 1

y1+ 1, 1

√x1

= x1

(y1+ 1)² .

Letzteres hat die eindeutige L¨osung x1 = 2⁴³, y1 =−3.

20.7 (a) z =f(2,1) + (gradf(2,1))^⊤

x−2 y−1

= arctan 2 + ¹5x−²⁵y (b) z =−1− 3x+ y

Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit

Bemerkungen an : u.streit@mathematik.tu-chemnitz.de [7. Mai 2019]