L¨ osungen zur 16. ¨ Ubung

L¨ osungen zur 16. ¨ Ubung

H¨ohere Mathematik II (MB)

16.1 s=h+ 2·0.9h+ 2·0.9²h+ 2·0.9³h+. . .= 2h(1 + 0.9 + 0.9²+ 0.9³ +. . .)−h Der Wert der geometrischen Reihe

1 +q+q²+q³+q⁴+. . . mit q= 0.9 betr¨agt 1

1−q = 1

1−0.9 = 10, also ist s = 2h·10−h= 19h.

16.2 (a) konvergent nach Quotientenkriterium:

an= 2n

3ⁿ und lim

n→∞

an+1

an

= lim

n→∞

n+ 1 3n = 1

3 <1 (b) konvergent nach Quotientenkriterium:

lim

n→∞

an+1

an

= 0<1

(c) divergent nach Quotientenkriterium:

an= 3ⁿ⁻¹

2ⁿ⁻¹(2n−1) und lim

n→∞

an+1

an

= 3

2 >1 (d) divergent nach Vergleichskriterium:

harmonische Reihe ist Minorante (und divergent):

an= 1

√3

n ≥ 1

n, n≥1

(e) divergent – das notwendige Konvergenzkriterium ist nicht erf¨ullt:

lim

n→∞|an|= 1

2, d.h. {an} ist keine Nullfolge

(f) konvergent nach Kriterium f¨ur alternierende Reihen:

lim

n→∞

an= 0 und |an|= 1

n(n−1) > 1

(n+ 1)n =|an+1|, d.h. {|an|} ist monotone Nullfolge

(g) konvergent nach Quotientenkriterium:

lim

n→∞

an+1

an

= 1 e <1

16.3 (a) r = lim

n→∞

an

an+1

= lim

n→∞

2⁻ⁿn²

2⁻ⁿ⁻¹(n+ 1)² = 2 lim

n→∞

n n+ 1

²

= 2 (b) lim

n→∞

pn

|an|= lim

n→∞

1 + 1

n ⁿ

=e , also r = 1 e (c) r = lim

n→∞

an

an+1

=e

16.4 (a) r = lim

n→∞

an

an+1

= lim

n→∞

1 n 1 n+1

= 1, also Konvergenz f¨ur |x−2|<1, außerdem Konvergenz f¨ur x= 1 (alternierende harmonische Reihe), sonst Divergenz

(b) r = lim

n→∞

an

an+1

= 0,also Konvergenz genau dann, wenn x+ 1 = 0

(c) r = lim

n→∞

an

an+1

= 3,also Konvergenz f¨ur |x|<3,

außerdem Konvergenz f¨ur x=−3 (alternierende harmonische Reihe), sonst Divergenz

16.5 sinhx= 1

2 e^x−e^−x

= 1 2

1 +x+1

2x²+1

6x³+ 1

24x⁴+ 1

120 x⁵+. . .

−

1 + (−x) +1

2(−x)² +1

6(−x)³+ 1

24(−x)⁴+ 1

120(−x)⁵+. . .

=x+1

6x³ + 1

120x⁵+. . . d

dx

x+1

6x³+ 1

120x⁵+. . .

= 1 + 1

2x²+ 1

24x⁴+. . . ist die Reihe f¨ur coshx . Dies korrespondiert mit d

dxsinhx= coshx . (Konvergenzbereich f¨ur alle Reihen ist R.) 16.6 f(x) = sinhx·sinx =

=

x+1

6x³+ 1

120x⁵+ 1

5040x⁷+. . .

·

x− 1

6x³+ 1

120x⁵− 1

5040x⁷+. . .

=

= x²− 1

90x⁶ + 1

113400x¹⁰+. . .

Konvergenzbereich f¨ur alle Reihen ist R. Der Koeffizient von x⁸ ist Null entsprechend

−x· 1

5040x⁷+ 1

6x³ · 1

120x⁵− 1

120x⁵· 1

6x³+ 1

5040x⁷·x = 0·x⁸.

Als Produkt zweier ungerader Funktionen ist f(x) gerade. Sichtbar ist dies daran, dass die Reihe nur geradzahlige Potenzen enth¨alt.

16.7 Entwicklung von cosz nach Potenzen von z mit z = x 2 : cosz = 1−z²

2! + z⁴

4! +. . .

= 1− x² 8 +R ,

wobei R nur Potenzen von x vom Grad vier und h¨oher enth¨alt. Damit ist 1−cos^x₂

x² =

x² 8 −R

x² = 1 8 − R

x².

Der zweite Summand der rechten Seite enth¨alt nur Potenzen von x vom Grad zwei und h¨oher und konvergiert daher gegen Null f¨ur x→0 . Also gilt

x→0lim

1−cos ^x₂ x² = 1

8.

Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit

Bemerkungen an : u.streit@mathematik.tu-chemnitz.de [5. April 2019]