L¨ osungen zur 23. ¨ Ubung
H¨ohere Mathematik II (MB) 23.1 Es ist m=R
K̺ ds mit ̺=y= sint. Weiter ist ds=p
˙
x2(t) + ˙y2(t) =p
4 sin2t+ cos2t =√
4−3 cos2t . Das Integral
m= Z π/2
0
√4−3 cos2t sint dt
geht mit der Substitution z= cost ¨uber in
m= −√ 3
Z 0
1
r4
3 −z2 dz =−
√3 2
z r4
3−z2+ 4
3arcsin z q4
3
0
1
= 1 2+ 2
9
√3π .
23.2 Es gilt allgemein Z
K
v dx= Z
K
(x2+y2)dx+xydy = Z 2
0
(x2+y2) ˙x+xyy˙ dt
(a) Mit der Parametrisierung x(t) =t , y(t) =t , 0≤t≤2 der Strecke AB ist Z 2
0
(x2 +y2) ˙x+xyy˙ dt=
Z 2
0
3t2dt= 8.
(b) Mit x(t) =t , y(t) =t2/2, 0≤t≤2 f¨ur den Parabelbogen ⌢ AB ist Z 2
0
(x2 +y2) ˙x+xyy˙ dt=
Z 2
0
t2+ t4
4 +t3 2 t
dt= 112 15 . 23.3 Die Kurvenintegrale von v l¨angs der Teilstrecken
AB : x(t) = 2t , y(t) = 3t , z(t) = 0, 0≤t≤1 BC : x(t) = 2, y(t) = 3, z(t) = 4t , 0≤t ≤1
CA: x(t) = 2−2t , y(t) = 3−3t , z(t) = 4−4t , 0≤t≤1 haben die Werte 19,64, −67.
Wegen der Gebietsadditivit¨at ist I
K
v dx = 19 + 64−67 = 16 23.4 Mit v1 = cos 2y und v2 =−2xsin 2y gilt
∂v1
∂y =−2 sin 2y= ∂v2
∂x ,
d.h. die Jacobimatrix J von v ist symmetrisch.
Damit ist v Potentialfeld, und es gibt es ein Potential f(x, y) zuv, d.h. gradf =v . Aus fx =v1 erh¨alt man
f(x, y) = x cos 2y + K(y) mit einer Funktion K(y). Damit ist
fy =−2x sin 2y +d K d y .
Der Vergleich mit fy =v2 zeigt d Kd y = 0. Also ist K(y) =C ∈R und f(x, y) = x cos 2y + C
ist Potentialfunktion von v.
Damit gilt Z
K
v dx =f 2,π
4
−f 1,π
6
=−1 2 f¨ur jede regul¨are Kurve vonA nach B.
23.5 (a) rotv = ((v3)y−(v2)z, (v1)z−(v3)x, (v2)x−(v1)y)⊤= (xz−x, y−yz+ 1, z−z)⊤ (b) rotv = 0
23.6 Die Jacobimatrix von v = (αx2y+z2, x3+ 2yz, y2+βxz)⊤ lautet
J =
2αxy αx2 2z 3x2 2z 2y
βz 2y βx
.
Symmetrie liegt genau dann vor, wenn α = 3 und β = 2. Alternativ folgt das Ergebnis aus der Gleichung
0 = rotv = (0, (2−β)z, (3−α)x2)⊤.
F¨ur v mit den gefundenen Parameterwerten erh¨alt man aus gradf =v das Potential f(x, y, z) =x3y+xz2+y2z+C .
23.7 Das Vektorfeld v ist in O(0,0) nicht definiert. Damit gibt es kein einfach
zusammenh¨angendes Gebiet, in dem K enthalten ist, und das Integral l¨angs einer geschlossenen Kurve muss nicht zwangsl¨aufig verschwinden. Tats¨achlich ist
I
K
v dx = Z 2π
0
v(x(t))·x(t)˙ dt= Z 2π
0
(−sint)(−sint) + costcost
cos2t+ sin2t dt= 2π . (Hier wurde K mit x(t) = cost , y(t) = sint , 0≤t ≤2π parametrisiert.) Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
Bemerkungen an : u.streit@mathematik.tu-chemnitz.de [29. Mai 2019]
