L¨ osungen zu ¨ Ubung 2

L¨ osungen zu ¨ Ubung 2

Autor: Markus Eichhorn

Bsp. 1: Multiplizit¨at von Makrozust¨anden 16 Punkte

(a) Wenn nur eine M¨unze das Ergebnis Zahl aufweist, gibt es N m¨ogliche Positionen, an denen diese M¨unze zu verorten ist. Damit gibt es f¨ur n= 1 geradeN M¨oglichkeiten.

Zeigen zwei M¨unzen das Ergebnis Zahl, gibt es f¨ur die erste M¨unze n m¨ogliche Pl¨atze.

F¨ur die zweite M¨unze verbleibenN−1m¨ogliche Pl¨atze. Da die M¨unzen ununterscheidbar sind stellt die Vertauschung der beiden M¨unzen keinen neuen Zustand dar. ¨Uber die erste Uberlegung wird jeder der unterscheidbaren Zust¨¨ ande doppelt gez¨ahlt. Es gibt daher

Ω(N,2) = N ·(N−1)

2 (1)

M¨oglichkeiten.

Im Allgemeinen Fall hat, bei n M¨unzen, die alle das Ergebnis Zahl aufweisen, die k-te M¨unzeN−k+1m¨ogliche Positionen. Durch die Ununterscheidbarkeit der M¨unzen werden die Zust¨ande n! mal gez¨ahlt, denn es gibtn!Wege n M¨unzen aufn Pl¨atzen anzuordnen.

Es ergibt sich so

Ω(N, n) = N ·(N −1)· · ·(N −n+ 1)

n! = N!

n!(N −n)! = N

n

(2) als die Anzahl der m¨oglichen Zust¨ande.

Die Gesamtzahl der Zust¨ande l¨asst sich argumentativ zu 2^N bestimmen oder mittels des binomische Lehrsatzes ¨uber

ΩTotal =

N

X

n=0

N n

=

N

X

n=0

N n

1^N−n1ⁿ = (1 + 1)^N = 2^N (3)

(b) Die Mikrozust¨ande sind hier die konkret auftretenden Folgen der Ergebnisse Kopf und Zahl, w¨ahrend die Anzahl der Ergebnisse Kopf und Zahl die Makrozust¨ande sind. Im Falle von n = 0 oder n =N existiert jeweils nur ein einziger Mikrozustand. Die Anzahl der Mikrozust¨ande f¨ur n = 1 ist bei einer großen Zahl N durch den Faktor N schon wesentlich gr¨oßer.

(c) Da der Logarithmus streng monoton wachsend ist, ist die Entropie umso gr¨oßer, je mehr Mikrozust¨ande zu einem gegebenen Makrozustand existieren. F¨ur die zuvor betrachteten Spezialf¨alle n = 0 und n = N ergibt sich eine Entropie von Null. Es sind die einzigen Makrozust¨ande, aus denen der genaue Mikrozustand bekannt ist. Umgekehrt folgt, je gr¨oßer die Entropie ist, desto weniger ist ¨uber den genau vorliegenden Mikrozustand des Systems bekannt.

(d) Die Wahrscheinlichkeit f¨ur den Makrozustandn ist Prob (N, n) = Ω(N, n)

Ω_Total = N!

2^Nn!(N −n!) (4)

Mit der Stirling-Formel log (k!) ≈ klog (k)−k+ ¹₂log(2πk) ≈ klog (k)−k l¨asst sich die Wahrscheinlichkeit zu

log (Prob (N, n)) =N

−n N log

n N

− 1− n

N

log

1− n N

−Nlog (2) (5) bestimmen, falls n1und (N−n)1. F¨ur den FallN → ∞ wird die Seperation der betrachteten Gr¨oßex= _Nⁿ gegen Null gehen und x kann als kontinuierlich angenommen werden. Der erste Term in (5) der Form s(x) = −xlog (x)−(1−x) log (1−x) ist die Shannon-Entropie mit der Ableitung

s⁰(x) = log

1−x x

(6) wird klar, dass bei x= 1/2das Maximum log 2 liegt.

(e) Durch das Einsetzen von x = ¹₂ +δx und dem Ausnutzen der Taylor-Entwicklung des Logarithmus bis zur ersten Ordnung

log (1±2δx)≈ ∓2δx−2(δx)² (7) ergibt sich f¨ur die Wahrscheinlichkeit

log (Prob (x))≈ −2N(δx)² ⇒Prob (x) = exp

−(δx)²

1 4N

(8) was einer nicht normierten Gauß-Verteilung mit der Varianz Var = _4N¹ entspricht.

(f) Die elementaren magnetische Momente sind durch µµµ_k = −gµ_B^sssk

~ gegebene. Hierbei ist g = 2 der Land´e-Faktor des Elektrons, der direkt eingesetzt werden soll. Wenn n die Anzahl der Spins bezeichnet, die nach entgegen dem Magnetfeld ausgerichtet sind, so lassen sich die bisherigen Ergebnisse auf dieses Problem ¨ubertragen.

i Die Energie wird so zu

E_r(B) =µ_BB(N−2n) (9)

ii Die Anzahl der Mikrozust¨ande zum Makrozustand mit EnergieEist so nach Umstellen n= N

2 − E

2µ_BBN (10)

durch

Ω(E) = N

n

=

N

N

2 − _2µ^E

BBN

(11)

iii Aus (5) zeigt sich

log (Ω(E)) = log (Prob (N, n)) +Nlog (2) (12)

=−Nn

N logn N

+

1− n N

log

1− n N

(13)

=−N E

2µ_BBN log 1 + _µ ^E

BBN

1−_µ ^E

BBN

! +1

2log 1− E

µ_BBN

2!!

(14) Mit dem Zusammenhang des Areatangens hyperbolicus und dem nat¨urlichen Loga- rithmus Artanh (x) = ¹₂log ^1+x_1−x

l¨asst sich dies umschreiben zu S =−k_BN

"

1

2log 1− E

µ_BBN 2!

+ E

µ_BBN Artanh E

µ_BBN #

(15)

Bsp. 2: Das Einstein-Modell 16 Punkte

(a) Die Anzahl der Oszillatoren ist durch M = 3N gegeben. Werden drei Energiequanten q = 3auf= 3·1Oszillatoren verteilt ergibt sich bspw. ein Diagramm der Form • • | |•. Es gibt m−1mal das Objekt |undq mal das Objekt•. Dieq+M−1Symbole k¨onnen auf (g+M−1)! Pl¨atzen arrangiert werden. Die Energiequanten•sind ununterscheidbar und die Trennung der Oszillatoren|sind ununterscheidbar. Daher muss um die Vertauschungen der Energiequanten untereinanderq!und der Trennung der Oszillatoren(M−1)!korrigiert werden. Es ergibt sich

Ω(N, q) = (q+M −1)!

q!(M −1)! = (q+ 3N −1)!

q!(3N −1)! (16) (b) Aus Teilaufgabe (a) folgt

S=k_B

Mlog q M

+ (q+M) log

q+M q

(17)

⇒ 1 kB

∂S

∂q = log

1 + M q

(18) F¨ur die Temperatur gilt so

1

T = ∂S

∂U = ∂S

∂q

∂q

∂U = k_B

~ωlog

1 + M q

(19)

⇒ q

M = 1

exp

~ω kBT

(20)

Der letzte Ausdruck ist als Bose-Einstein-Verteilung bekannt. Die Innere Energie ist dann U =M~ω



 1

2 + 1

exp

~ω kBT



 (21) und f¨uhrt zur W¨armekapazit¨at

CV = 3N kB

~ω 2kBT

2

sinh

~ω 2kBT

→3N kB (22) Mit dem ¨Ubergang zu k_BT ~ω und sinhx≈xf¨ur kleine x1.

(c) Die Werte sind in Tab. 1 zu finden und das Balkendiagramm in Abb. 1.

(d) Das Programm steht auf ILIAS zur Verf¨ugung. Das daraus resultierende Diagramm ist in Abb. 2 zu sehen. Die Form entspricht ann¨aherend der einer Gauß-Verteilung. Der Festk¨orper B hat weniger Atome und daher wird sich im Gleichgewichtszustand weni- ger Energie auf ihn verteilen. Aus den Resultaten in Teilaufgabe (b) l¨asst sich f¨ur den Gleichgewichtsfall aus

∂SA

∂q_A = 1 T_A = 1

T_B = ∂SB

∂q_B (23)

der Zusammenhang

q_A=q NA

N_A+N_B (24)

herleiten, der im betrachten Fall einen Wert von qA ∼62,5ergibt, was mit Abbildung 2 vereinbar ist.

(e) Es ist

Ω = ΩAΩB ⇒ log (Ω) = 3Nlog (qAqB) (25) Das Maximum liegt beiq_A=q/2, also wird der Ansatzq_A =q/2+xverwendet. Außerdem ist q_B =q−q_A. Durch Einsetzen und Ausnutzen der Taylor-Entwicklung bis zur ersten Ordnung f¨ur x/q1 ergibt sich

log (Ω)≈ − x²

2_24N^q2 (26)

⇒ Ω = exp −(q_A−q/2)² 2 ^q2

!

(27)

Tabelle 1: Tabellierte Werte der Multiplizit¨aten f¨ur, gekoppelte Festk¨orper mitN_A=N_B = 1 q_A q_B Ω_A Ω_B Ω_AΩ_B

0 5 1 21 21

1 4 3 15 45

2 3 6 10 60

3 2 10 6 60

4 1 15 3 45

5 0 21 1 21

0 1 2 3 4 5

q

0 10 20 30 40 50 60

=

Abbildung 1: Balkendiagramm der Multiplizit¨aten f¨ur, gekoppelte Festk¨orpe mit N_A=N_B= 1

0 20 40 60 80 100 q

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

=

1e113

Abbildung 2: Balkendiagramm der Multiplizit¨aten f¨ur, gekoppelte Festk¨orper mit N_A = 100, N_B = 60

Bsp. 3: Die n-dimensionale Kugel 8 Punkte

(a) Es sind die Integrale Γ(1) =

Z ∞ 0

dt t⁰e^−t =

−e^t∞

0 = 1 (28)

Γ(1/2) = Z ∞

0

dt√

te^−t = 2 Z ∞

0

du e^−u2 =√

π (29)

Γ(1 +z) = Z ∞

0

dt t^ze^−t = [−e^−tt^z]^∞₀ +z Z ∞

0

dt t^z−1e^−t=zΓ(z) (30) mittels der Substitution u² =t und partieller Integration zu bestimmen.

(b) Das Volumen der eindimensionalen Kugel, also dem Intervall [−R, R] ist V1(R) = 2R.

Das Volumen der zweidimensionalen Kugel, also dem Kreis mit Radius R l¨asst sich als Summe ¨uber eindimensionale Kugeln mit dem Radius √

R² −u² f¨ur u∈[−R, R] ¨uber V₂(R) =

Z R

−R

du V₁(√

R²−u²) = 2R Z R

−R

du

1−u R

21/2

(31)

=RV₁(R) Z 1

−1

dx (1−x²)²⁻¹² (32)

darstellen. Das Volumen der dreidimensionalen Kugel l¨asst sich als Summe ¨uber die Vo- lumina von zweidimensionalen Kugeln mit Radius √

R² −u² mit u∈[−R, R]darstellen.

Hierbei ist

V₃(R) = Z R

−R

du V₂(√

R²−u²) =πR² Z R

−R

du

1−u R

2

(33)

=RV2(R) Z 1

−1

dx (1−x²)³⁻¹² (34)

Die Volumina der n-dimensionalen Kugeln skalieren gem¨aßV_n(R) = V_n(1)Rⁿ und somit l¨asst das Volumen der n-dimensionalen Kugel als Summe der Volumina der (n − 1)- dimensionalen Kugeln mit Radius √

R²−u² ¨uber V_n(R) =

Z R

−R

du Vn−1(√

R²−u²) =Vn−1(1)Rⁿ⁻¹ Z R

−R

du

1−u R

2ⁿ⁻¹₂

(35)

=RV_n(R) Z 1

−1

dx (1−x²)ⁿ⁻¹² (36)

darstellen.

(c) Ein m¨oglicher Weg den gesuchten Zusammenhang zu beweisen ist dadurch gegeben die Integrale

I_n = Z 1

−1

dx (1−x²)ⁿ⁻¹² (37)

¨

uber induktive Methoden zu bestimmen. Aus einer Substitution x = sin (t) und einer anschließenden partiellen Integration folgt die Rekursionsformel

In= n−1

n In−2 (38)

Uber einen induktiven Ansatz l¨¨ asst sich zeigen, dass I_nIn−1 = 2

nI₁I₂ = 2π

n (39)

ist. Dabei sind die Integrale I1 = 2 und I2 =π/2 leicht zu bestimmen. So l¨asst sich eine Rekursionsformel f¨ur die Volumina ¨uber

V_n(R) =RVn−1(R)I_n=R²Vn−2(R)I_nIn−1 = 2πR²

n Vn−2(R) (40) finden. Mit dieser l¨asst sich die auf dem Aufgabenblatt angegebene, explizite Formel induktiv beweisen.

(d) Durch eine Taylor-Entwicklung von

VR(n= 4−) = R⁴⁻ Γ(1/2)⁴⁻

Γ(3−/2) (41)

um = 0 bis zur ersten Ordnung ergibt sich

V_R(n= 4−)≈V_R(4)−V_R(4) log (R) + log (π) 2 − 1

2

∂

∂zΓ(z)|_z=3 Γ(3)

!

(42) Die Ableitung der Gamma-Funktion kann durch

∂

∂zΓ(z) = Z ∞

0

dt t^z−1e^−tlog (t) (43) bestimmt werden. G¨angige Computer-Algebra-Systeme geben f¨ur den gesuchten Fall den Wert _∂z^∂Γ(z)|z=3 = 3−2γE.M. mit der Euler-Mascheroni-Konstanten γE.M.≈0,5772 an.

Das schlussendliche Resultat ist dann V_R(4−)≈V_R(4)

1−

log (R) + log (π)

2 − 3−2γ_E.M.

4

(44)