n(n−1)/2 c) Konstruieren Sie eine Basis f¨ur die Lie-Algebrasp2n(C) und zeigen Sie dimsp2n(C

Lie-Algebren WiSe 2015/16

1. ¨Ubungsblatt Dr. Thorsten Weist

Abgabe bis Mittwoch, 4.11.2015 Dr. Magdalena Boos (in der Vorlesung oder in der ¨Ubung)

Aufgabe 1. (6 Punkte)

Es seih , ieine Bilinearform auf dem Vektorraum Cⁿ mit darstellender Ma- trix B ∈Mn(C).

a) Zeigen Sie

o(Cⁿ,h , i) ={A∈M_n(C)|A^TB =−BA}, wobei A^T die transponierte Matrix bezeichnet.

b) Konstruieren Sie eine Basis f¨ur die Lie-Algebra so_n(C) und zeigen Sie dimson(C) = n(n−1)/2

c) Konstruieren Sie eine Basis f¨ur die Lie-Algebrasp_2n(C) und zeigen Sie dimsp_2n(C) = 2n²+n

(Tipp: Nutzen Sie a) f¨ur b) und c).) Aufgabe 2. (6 Punkte)

Es sei g eine zwei-dimensionale Lie-Algebra. Nach Wahl einer Basis x, y von g ist die Lie-Klammer vollst¨andig bestimmt durch die Skalare λ, µ∈ C mit [x, y] =λx+µy.

Zeigen Sie, dass gentweder abelsch oder isomorph zu einer Lie-Algebrazmit Basis X, Y und Lie-Klammer [X, Y] =Y ist.

Aufgabe 3. (6 Punkte) Konstruieren Sie...

a) ... Isomorphismen von Lie-Algebren

sl₂(C)∼=so₃(C)∼=sp₂(C)

b) ... einen Monomorphismus von Lie-Algebren z→t₂ (die Lie-Algebra z ist in Aufgabe 2 definiert).

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c) ... einen Isomorphismus so₅(C)∼=sp₄(C).

Aufgabe 4. (6 Punkte)

a) Zeigen Sie [gl_n(C),gl_n(C)] = sl_n(C).

b) Zeigen Sie [t_n(C),t_n(C)] = n_n(C).

c) Berechnen Sie die Zentren von gl_n(C) und sl_n(C).

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