J. Wengenroth SS 2012
N. Kenessey, M. Riefer 27.06.2012
Funktionalanalysis Ubungsblatt 9¨
Abgabe: Mittwoch, 04.07.2012, 08.00 Uhr, ¨Ubungskasten 5
Aufgabe 1
Seien zn ∈Cmit |zn|<|zn+1| → ∞. Zeigen Sie, dass f¨ur alle Folgen (wn)n∈N in Ceinf ∈H(C) gibt mitf(zn) =wn.
Hinweis: Verifizieren Sie die Situation in der Bemerkung im Anschluss an den Satz von Eidelheit f¨urpn(f) = sup{|f(z)|:|z| ≤ |zn|}. Dabei hilft die
”polyno- miale“ Version des Satzes von Runge f¨ur Ω ={z:|z| ≤ |zn|+ε} ∪B(zn+1, ε) mit ausreichend kleinemε >0.
Aufgabe 2
Seien (X,P) lokalkonvex undB(X,P) das System allerP-beschr¨ankten Teil- mengen vonX. F¨ur B ∈B(X,P) und ϕ∈X0 seipB = sup{|ϕ(x)|:x∈B}.
Zeigen Sie f¨urβ(X0, X) =β(X0,(X,P)) ={pB:B ∈B(X,P)}
(a) (X0, β(X0, X)) ist ein lokalkonvexer Raum mitσ(X0, X)4β(X0, X), (b) β(X0, X) h¨angt nur von X0 ab, d.h falls eine weitere Familie von Halb-
normen Q auf X das selbe Dual erzeugt, also (X,P)0 = (X,Q)0, so ist β(X0,(X,P)) = β(X0,(X,Q)) (deshalb schreibt man β(X0,(X,P)) = β(X0, X),
(c) Finden Sie einen lokalkonvexen Raum (X,P), so dassβ(X0, X) echt feiner alsσ(X0, X) ist.
Aufgabe 3
(a) Ist (X,P) halbmetrisierbar, so gibt es f¨ur jedeβ(X0, X)-beschr¨ankte Menge M ⊆X0 einU ∈U0(X,P) mitM ⊆U◦.
(b) Ist (X,P) Fr´echet, so gibt es f¨ur jede σ(X0, X)-beschr¨ankte MengeM ein U ∈U0(X,P) mitM ⊆U◦.
Hinweis:Zu (a): F¨ur jedesB ∈B(X,P) gibt esε(B)>0 mitM ⊆(ε(B)B)◦. Zeigen Sie, dassU = [
B∈B(X,P)
ε(B)B∈U0(X,P), indem Sie f¨ur eine monotone Folge (pn)n∈Nvon Halbnormen mit P ∼ {pn :n∈N} annehmen, dass{pn <
1/n} 6⊆nU f¨ur allen∈N. Zu (b): Banach-Steinhaus.
Aufgabe 4
Die MengeS ={A⊆R:∀a∈A∃α≤β mit a∈[α, β[⊆A}heißt Sorgenfrey- Topologie auf R. Zeigen Sie:
(a) S ist tats¨achlich eine Topologie aufR.
(b) Die Standardtopologie T ={A⊆R:∀a∈A ∃α≤β mita∈]α, β[⊆A}
ist echt gr¨ober als S.
(c) Jede stetige AbbildungF : (R,T)→(R,S) ist konstant.
(d) Eine Funktion f : R → R ist genau dann rechtsseitig stetig (also f(x) = lim
0<h→0f(x+h) f¨ur allex∈R), wenn sie als Abbildung f : (R,S)→(R,T) stetig ist.
