Sei n ≥ 1 eine ganze Zahl und sei V = M n ( C ) der n 2 -dimensionale C - Vektorraum der komplexen (n × n)-Matrizen. F¨ ur A ∈ M n ( C ) betrachte die lineare Abbildung

(1)

Prof. Dr. M. Rapoport SS 2004 Dr. U. G¨ ortz

Lineare Algebra II 10. ¨ Ubungsblatt

Abgabe: Dienstag, 06.07.04 in der Vorlesung

Aufgabe 1

Sei n ≥ 1 eine ganze Zahl und sei V = M n ( C ) der n ² -dimensionale C - Vektorraum der komplexen (n × n)-Matrizen. F¨ ur A ∈ M _n ( C ) betrachte die lineare Abbildung

` _A : V −→ V, X 7→ AX − XA.

a) Zeige f¨ ur m ≥ 0:

` ^m _A (X) =

m

X

i=0

(−1) ⁱ m i

A ^m−i XA ⁱ .

b) Zeige: Ist A nilpotent oder unipotent, so ist ` _A nilpotent.

c) Gib eine Jordanbasis und die Jordansche Normalform von ` A an, wobei

A =







0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0







∈ M 4 (C).

d) (Zusatzaufgabe) L¨ ose c) f¨ ur eine beliebige nilpotente Matrix A ∈ M n ( C ) in Jordanscher Normalform.

Aufgabe 2

Sei wieder n ≥ 1 eine ganze Zahl und sei V = M n ( C ) der n ² -dimensionale C -Vektorraum der komplexen (n × n)-Matrizen. F¨ ur A ∈ M _n ( C ) sei ` _A die in Aufgabe 1 definierte Abbildung, und f¨ ur S ∈ GL n (C) sei i S die Abbildung

i _S : V −→ V, X 7→ SXS ⁻¹ . Zeige:

a) i _ST = i _S ◦ i _T , ` _SAS

⁻¹

= i _S ◦ ` _A ◦ i ⁻¹ _S , ` _A+B = ` _A + ` _B . b) Aus AB = BA folgt ` A ◦ ` B = ` B ◦ ` A .

c) Ist S unipotent, so auch i S . (Hinweis: Schreibe i S − id V als Komposition

von ` _S mit einem Automorphismus m _S von V , welcher mit ` _S kommutiert, und

wende 1 b) an.)

(2)

d) Ist A bzw. S diagonalisierbar, so auch ` _A bzw. i _S .

e) Ist A = H + N (bzw. S = H · U) die additive (bzw. multiplikative) Jordan- zerlegung von A (bzw. S) in eine halbeinfache Matrix H und eine nilpotente Matrix N (bzw. unipotente Matrix U ), so ist ` _A = ` _H + ` _N (bzw. i _S = i _H ◦ i _U ) die entsprechende Jordanzerlegung des Endomorphismus ` A (bzw. i S ) von V .

Aufgabe 3

Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum ¨ uber dem K¨ orper K, und sei f ein trigonalisierbarer Endomorphismus von V . Zeige, dass f genau dann halbein- fach ist, wenn jeder f -invariante Unterraum von V ein f -invariantes Komple- ment besitzt.

Aufgabe 4

Sei K ein K¨ orper. F¨ ur 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j und λ ∈ K betrachte den Endomor- phismus Φ ij (λ) : M n (K ) −→ M n (K), definiert durch

Φ _ij (λ)(A) = T _ji (λ) A T _ij (λ),

wobei T _ij (λ) auf der Diagonalen den Eintrag 1, an der Stelle (i, j) den Eintrag λ und ansonsten den Eintrag 0 hat.

a) Zeige, dass Φ ij (λ) die Mengen der symmetrischen, der schiefsymmetrischen und (f¨ ur K = R ) der positiv definiten symetrischen Matrizen jeweils auf sich abbildet.

b) Es gelte 1 + 1 6= 0 in K. Zeige, dass man jede symmetrische Matrix durch wiederholtes Anwenden von Transformationen Φ _ij (λ) in eine Diagonalmatrix

¨ uberf¨ uhren kann.

c) Sei K = R. Zeige, dass man jede positiv definite symmetrische Matrix in

M n ( R ) durch wiederholtes Anwenden von Transformationen Φ ij (λ) mit i < j

in eine Diagonalmatrix ¨ uberf¨ uhren kann, und zeige anhand eines Beispiels, dass

dies nicht f¨ ur beliebige symmetrische Matrizen in M n (R) m¨ oglich ist.

Sei n ≥ 1 eine ganze Zahl und sei V = M n ( C ) der n 2 -dimensionale C - Vektorraum der komplexen (n × n)-Matrizen. F¨ ur A ∈ M n ( C ) betrachte die lineare Abbildung

Prof. Dr. M. Rapoport SS 2004 Dr. U. G¨ ortz

Lineare Algebra II 10. ¨ Ubungsblatt

Abgabe: Dienstag, 06.07.04 in der Vorlesung

Aufgabe 1

Sei n ≥ 1 eine ganze Zahl und sei V = M n ( C ) der n 2 -dimensionale C - Vektorraum der komplexen (n × n)-Matrizen. F¨ ur A ∈ M n ( C ) betrachte die lineare Abbildung

` A : V −→ V, X 7→ AX − XA.

a) Zeige f¨ ur m ≥ 0:

` m A (X) =

m

X

i=0

(−1) i m i

A m−i XA i .

b) Zeige: Ist A nilpotent oder unipotent, so ist ` A nilpotent.

c) Gib eine Jordanbasis und die Jordansche Normalform von ` A an, wobei

A =









0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0









∈ M 4 (C).

d) (Zusatzaufgabe) L¨ ose c) f¨ ur eine beliebige nilpotente Matrix A ∈ M n ( C ) in Jordanscher Normalform.

Aufgabe 2

Sei wieder n ≥ 1 eine ganze Zahl und sei V = M n ( C ) der n 2 -dimensionale C -Vektorraum der komplexen (n × n)-Matrizen. F¨ ur A ∈ M n ( C ) sei ` A die in Aufgabe 1 definierte Abbildung, und f¨ ur S ∈ GL n (C) sei i S die Abbildung

i S : V −→ V, X 7→ SXS −1 . Zeige:

a) i ST = i S ◦ i T , ` SAS

= i S ◦ ` A ◦ i −1 S , ` A+B = ` A + ` B . b) Aus AB = BA folgt ` A ◦ ` B = ` B ◦ ` A .

c) Ist S unipotent, so auch i S . (Hinweis: Schreibe i S − id V als Komposition

von ` S mit einem Automorphismus m S von V , welcher mit ` S kommutiert, und

wende 1 b) an.)

d) Ist A bzw. S diagonalisierbar, so auch ` A bzw. i S .

Aufgabe 3

Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum ¨ uber dem K¨ orper K, und sei f ein trigonalisierbarer Endomorphismus von V . Zeige, dass f genau dann halbein- fach ist, wenn jeder f -invariante Unterraum von V ein f -invariantes Komple- ment besitzt.

Aufgabe 4

Sei K ein K¨ orper. F¨ ur 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j und λ ∈ K betrachte den Endomor- phismus Φ ij (λ) : M n (K ) −→ M n (K), definiert durch

Φ ij (λ)(A) = T ji (λ) A T ij (λ),

wobei T ij (λ) auf der Diagonalen den Eintrag 1, an der Stelle (i, j) den Eintrag λ und ansonsten den Eintrag 0 hat.

a) Zeige, dass Φ ij (λ) die Mengen der symmetrischen, der schiefsymmetrischen und (f¨ ur K = R ) der positiv definiten symetrischen Matrizen jeweils auf sich abbildet.

b) Es gelte 1 + 1 6= 0 in K. Zeige, dass man jede symmetrische Matrix durch wiederholtes Anwenden von Transformationen Φ ij (λ) in eine Diagonalmatrix

¨ uberf¨ uhren kann.

c) Sei K = R. Zeige, dass man jede positiv definite symmetrische Matrix in

M n ( R ) durch wiederholtes Anwenden von Transformationen Φ ij (λ) mit i < j

in eine Diagonalmatrix ¨ uberf¨ uhren kann, und zeige anhand eines Beispiels, dass

dies nicht f¨ ur beliebige symmetrische Matrizen in M n (R) m¨ oglich ist.

Sei n ≥ 1 eine ganze Zahl und sei V = M n ( C ) der n ² -dimensionale C - Vektorraum der komplexen (n × n)-Matrizen. F¨ ur A ∈ M _n ( C ) betrachte die lineare Abbildung

` _A : V −→ V, X 7→ AX − XA.

` ^m _A (X) =

(−1) ⁱ m i

A ^m−i XA ⁱ .

b) Zeige: Ist A nilpotent oder unipotent, so ist ` _A nilpotent.

Sei wieder n ≥ 1 eine ganze Zahl und sei V = M n ( C ) der n ² -dimensionale C -Vektorraum der komplexen (n × n)-Matrizen. F¨ ur A ∈ M _n ( C ) sei ` _A die in Aufgabe 1 definierte Abbildung, und f¨ ur S ∈ GL n (C) sei i S die Abbildung

i _S : V −→ V, X 7→ SXS ⁻¹ . Zeige:

a) i _ST = i _S ◦ i _T , ` _SAS

= i _S ◦ ` _A ◦ i ⁻¹ _S , ` _A+B = ` _A + ` _B . b) Aus AB = BA folgt ` A ◦ ` B = ` B ◦ ` A .

von ` _S mit einem Automorphismus m _S von V , welcher mit ` _S kommutiert, und

d) Ist A bzw. S diagonalisierbar, so auch ` _A bzw. i _S .

Φ _ij (λ)(A) = T _ji (λ) A T _ij (λ),

wobei T _ij (λ) auf der Diagonalen den Eintrag 1, an der Stelle (i, j) den Eintrag λ und ansonsten den Eintrag 0 hat.

b) Es gelte 1 + 1 6= 0 in K. Zeige, dass man jede symmetrische Matrix durch wiederholtes Anwenden von Transformationen Φ _ij (λ) in eine Diagonalmatrix