L¨ osungen zu ¨ Ubung 1

L¨ osungen zu ¨ Ubung 1

Autoren: Albert Zhou, Markus Eichhorn

Bsp. 1: Satz von Bayes und Coronavirus 4 Punkte

(a) Prob (A∩B) = Prob (A|B) Prob (B) = Prob (B|A) Prob (A).

(b) Postives Testergebnis +, negativs Testergebnis −, mit Corona infiziert C, nicht mit Co- rona infiziert G

Falsch-Positiv: Prob (−|C) = 2,4%, Falsch-Positiv:Prob (+|G) = 17,5%

Es ergibt sich

Prob (C|+) = Prob (+|C) Prob (C)

Prob (+) (1)

Prob (+) = Prob (+|C) Prob (C) + Prob (+|G) Prob (G) = 3,6% (2) Prob (C|+) = 82,5%·1,5%

82,5%·1,5% + 2,4%·98,5% ≈34,4% (3) und ¨uber ¨aquivalente ¨Uberlegungen

Prob (G|+) = 2,4%·98,5%

3,6% ≈65,6% (4)

Prob (C|−) = 17,5%·1,5%

1−3,6% ≈0,27% (5)

Prob (G|−) = 97,6%·98,5%

1−3,6% ≈99,73% (6)

Bsp. 2: Multivariate Normal-Verteilung 8 Punkte

(a) Da die Matrix Σreell und symmetrisch ist, l¨asst sie sich ¨uber eine Orthogonale Transfor- mation Λ zu

ΛΣΛ^T = diag (λ₁, . . . , λ_n) (7) ΛΣ⁻¹Λ^T = diag

1

λ₁, . . . , 1 λ_n

(8) diagonalisieren. Dabei sind die λi die positiven Eigenwerte. Mit der Substitution uuu = Λ(xxx−µµµ)ergibt sich

Z

Rⁿ

dⁿxxx f(xxx) =

n

Y

i=1





√ 1 2πλ_i

∞

Z

−∞

du_i exp

−u²_i 2λ_i



= 1 (9)

(b) Durch Verschiebunguuu=xxx−µµµergibt sich hxxxi=

Z

Rⁿ

dⁿxxx xxxf(xxx) = Z

Rⁿ

dⁿuuu uuuf(uuu+µµµ) +µµµ Z

Rⁿ

dⁿuuu f(uuu+µµµ) (10) Ausgeschrieben besteht das erste Integral aus einem anti-symmetrischen Integranden ¨uber ein symmetrisches Intervall und ist somit Null. Der zweite Term ist mit der gleichen Begr¨undung wie in Teilaufgabe (a) gerade Eins, also ist hxxxi=µµµ

(c) Der zweite Teil ergibt sich mit

h(xxx−µµµ)(xxx−µµµ)^Ti=hxxxxxx^Ti − hxxxiµµµ^T −µµµhxxxi^T −µµµµµµ^T =hxxxxxx^Ti −µµµµµµ^T (11) aus dem Ergebnis aus Teilaufgabe (b). F¨ur den ersten Teil wird wieder die Substitution uuu= Λ(xxx−µµµ) betrachtet, die auf

h(xxx−µµµ)(xxx−µµµ)^Ti= Λ^T











hu₁u₁i hu₁u₂i · · · hu₁u_ni hu₂u₁i hu₂u₂i · · · hu₂u_ni

... ... . .. ... hunu1i hunu2i · · · hununi











Λ (12)

Wegen der antisymmetrischen Integranden bei ungleicheniundj gilthu_iu_ji=δ_ijλ_i, was schlussendlich auf Σ = Λ^T diag (λ₁, . . . , λ_n) Λ f¨uhrt.

Bsp. 3: Poisson-Prozess 8 Punkte

(a) k ist eine diskrete Variable und somit gilt hki=e^−λ

∞

X

k=0

kλ^k

k! =λe^−λ

∞

X

k=1

λ⁽k−1)

(k−1)! (13)

=λe^−λ

∞

X

n=0

nλⁿ

n! =λe^−λe^λ =λ (14)

und

hki² =

∞

X

k=0

k²λ^k

k!e^−λ =λ

∞

X

n=0

(n+ 1)λⁿ

n!e^−λ (15)

=λ(hki+ 1) =λ²+λ (16)

⇒ Var =hk²i − hki² =λ (17)

In beiden F¨allen wird der ¨Ubergang zun durch eine Indexverschiebungn =k+ 1erreicht.

(b) F¨ur ausreichend große k ergibt sich

log Prob (λ, k) =klogλ−λ−logk!≈klogλ

k + (k−λ)−log√

2πk. (18) Durch

λ

k = 1 +λ−k

k ∼1 + O(1)

√λ (19)

wird klar, dass der zweite Term klein ist und so die Entwicklung des Logarithmuslog (1 +x)≈ x−x²/2 eingesetzt werden, um den gesuchten Ausdruck zu erhalten.

(c) Wegenk =λ(1 +O(1)/√

λ), kann k durchλ ersetzt werden, außer im Ausdruck λ−k.

Die Wahrscheinlichkeit wird dann zu

Prob (λ, k) = elog Prob(λ,k) = 1

√2πλexp

−(k−λ)² 2λ

(20) Der Erwartungswert dieser Gauß-Verteilung ist hki=k und die Varianz ist Var =λ.

Bsp. 4: Gemischte gegen¨uber reine Zust¨ande 8 Punkte Der Zustand war

|Ψi= 1

√2(|↑_zi_L⊗ |↓_zi_R+|↓_zi_L⊗ |↑_zi_R). (21) (a) Die gesuchten Erwartungswerte sind

hΨ|σ_z ⊗1|Ψi= 1 2

h↑_z |σ_z| ↑_zi_Lh↓_z | ↓_zi_R+h↑_z |σ_z| ↓_zi_Lh↓_z | ↑_zi_R +h↓_z |σ_z| ↑_zi_Lh↑_z | ↓_zi_R+h↓_z |σ_z| ↓_zi_Lh↑_z | ↑_zi_R

= 0 (22) und

hΨ|σz⊗σz|Ψi= 1 2

h↑z |σz| ↑zi_Lh↓z |σz| ↓zi_R+h↑z |σz| ↓zi_Lh↓z |σz| ↑zi_R +h↓z |σz| ↑zi_Lh↑z |σz| ↓zi_R+h↓z |σz| ↓zi_Lh↑z |σz| ↑zi_R

=−1 (23) Das erste Ergebnis zeigt dabei, dass bei der Betrachtung eines einzelnen Spins keine bevorzugte Ausrichtung f¨ur den Spin vorliegt. Der Durchschnittliche Spin eines einzelnen Elektrons verschwindet.

Das zweite Ergebnis zeigt, dass das Produkt der beiden Elektronenspins stets−1ergeben wird, die Spins der beiden Elektronen sind somit antikorreliert.

(b) Mit der Darstellung des Spin-Operators in beliebiger Richtungnnnˆ·σσσ in der Eigenbasis von σ_z

nˆ

nn·σσσ = cos (θ)|↑zi h↑z|+ sin (θ)e^−iφ|↑zi h↓z|

+ sin (θ)e^iφ|↓_zi h↑_z| −cos (θ)|↓_zi h↓_z| (24) Ergeben sich die Eigenvektoren

|↑_nnnˆi= cos (θ/2)e^−iφ/2|↑_zi+ sin (θ/2)e^iφ/2|↓_zi (25)

|↓_nnnˆi=−sin (θ/2)e^−iφ/2|↑_zi+ cos (θ/2)e^iφ/2|↓_zi (26) bzw.

|↑_zi=e^iφ/2 cos (θ/2)|↑nnnˆi −sin (θ/2)|↓nnˆni

(27)

|↓zi=e^−iφ/2 sin (θ/2)|↑nnnˆi+ cos (θ/2)|↓nnnˆi

(28) Die gemessenen Zust¨ande ergeben sich aus der Normierung von (|↑nnˆni h↑nnnˆ| ⊗1)|Ψi und (|↓nnnˆi h↓nnnˆ| ⊗)1|Ψi zu

|v₁i=|↑nnˆni_L⊗ sin (θ/2)e^−iφ/2|↑_zi_R+ cos (θ/2)e^iφ/2|↓_zi_R

(29)

|v₂i=|↓nnˆni_L⊗ cos (θ/2)e^−iφ/2|↑_zi_R+ sin (θ/2)e^iφ/2|↓_zi_R

(30) In beiden F¨allen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit Prob (|v_ii) = | hv_i|Ψi |² = 1/2.

(c) Das System befindet sich mit der Wahrscheinlichkeit Prob (|v1i) im Zustand |v1i und mit WahrscheinlichkeitProb (|v₂i)im Zustand|v₂i. Die Wahrscheinlichkeit am, sich nach rechts bewegenden, Elektron den Spins_Rzu messen, setzt sich aus der Wahrscheinlichkeit zusammen, dass der Zustand |v_ii vorliegt und der Wahrscheinlichkeit im Zustand |v_ii den Spin s_R zu messen. Als m¨ogliche Endzust¨ande m¨ussen zun¨achst noch alle m¨oglichen Spineinstellungen f¨ur das sich nach links bewegende Elektron betrachtet werden.

Prob (s_R) = X

i=1,2 s=↑nnn,ˆ↑nnnˆ

Prob (|v_ii)| hss_R|v_ii |² = X

i=1,2

Prob (|v_ii)| hs_is_R|v_ii |² (31)

Die Summe ¨uber s kann eliminiert werden, da s ¨uber die Form von |v_ii festgelegt ist.

F¨ur beide Wahrscheinlichkeiten ergibt sich nach Einsetzen Prob (s_R=↑nnnˆ) = 1/2 = Prob (sR=↓nnˆn).

Der Erwartungswert des Operators l¨asst sich mit einer ¨ahnlichen ¨Uberlegung aus den Er- wartungswerten in den jeweiligen Zust¨anden|v_iiund der Wahrscheinlichkeit der Zust¨ande

|vii zu

h1⊗nnnˆ·σσσi= X

i=1,2

Prob (|v_ii)hv_i|1⊗nnnˆ·σσσ|v_ii= 0 (32) bestimmen. Um explizite Rechnungen durchzuf¨uhren, kann es hier hilfreich sein, die

(d) F¨ur orthogonale Zust¨ande |ψiimit den Wahrscheinlichkeiten pi f¨ur jeden Zustand ist die Dichtematrix

ρ =X

i

p_i|ψ_ii hψ_i| (33)

Aus den ¨Uberlegungen in (c) ergibt sich so Prob (|ψi) =X

i

pi| hψi|ψi |² =X

i

pihψ|ψii hψi|ψi (34)

=

* ψ

X

i

pi|ψii hψi| ψ

+

=hψ|ρ|ψi (35)

und mit einer vollst¨andigen Basis P

i|ξ_ii hξ_i|=1 hAi=X

i

p_ihψ_i|A|ψ_ii=X

i,j

p_ihψ_i|A|ξ_ji hξ_j|ψ_ii (36)

=X

i,j

hξ_j|p_i|ψ_ii hψ_i|A|ξ_ji=X

j

* ξ_j

X

i

p_i|ψ_ii hψ_i|A ξ_j

+

(37)

= Tr (ρA) (38)

Die Dichtematrix des Zustands |Ψi ist dann ρ=|Ψi hΨ|= 1

2

|↑_zi_L|↓_zi_Rh↑_z|_Lh↓_z|_R+|↑_zi_L|↓_zi_Rh↓_z|_Lh↑_z|_R

|↓_zi_L|↑_zi_Rh↑_z|_Lh↓_z|_R+|↓_zi_L|↑_zi_Rh↓_z|_Lh↑_z|_R

(39) Durch die Betrachtung in Teilaufgabe (a) ist klar, dass jede Spineinstellung f¨ur das sich nach links bewegende Elektron die Wahrscheinlichkeit 1/2 aufweist. Damit kann eine effektive Dichtematrix f¨ur die Betrachtungen von (b)

ρ_L = 1 2

|↑_zi h↑_z|+|↓_zi h↓_z|

(40) eingef¨uhrt werden. Ebenso, kann f¨ur die Betrachtungen von (c) die effektive Dichtematrix

ρ_R= 1 2

|v₁i hv₁|+|v₂i hv₂|

(41) eingef¨uhrt werden.

Bsp. 5: Klassische ¨Uberlagerung und Verschr¨ankung 4 Punkte Der Zustand war

|ψi= 1

√2(|↑_zi_L⊗ |↓_zi_R+e^iα|↓_zi_L⊗ |↑_zi_R) (42) (a) Aus der Betrachtung

hψ|A⊗1|ψi= 1 2

h↑ |A| ↑i h↓ | ↓i+h↑ |A| ↓i h↓ | ↑ie^iα +h↓ |A| ↑i h↑ | ↓ie^−iα+h↓ |A| ↓i h↑ | ↑i

(43)

= A↑↑+A↓↓

2 (44)

ist ersichtlich, dass α auf diese Weise nicht messbar ist.

(b) Unter Betrachtung des OperatorsA⊗B ergibt sich hA⊗Bi= A↑↑B↓↓+A↓↓B↑↑

2 +|A↑↓| · |B↑↓|cos (φ_A−φ_B+α) (45) wobeiA↑↓=|A↑↓|e^iφA,B↑↓ =|B↑↓|e^iφB ist. Die Phase αist messbar, f¨urA↑↓6= 0 6=B↑↓. Eine M¨oglichkeit dies zu realisieren ist ¨uber A =B = ˆnnn·σσσ. So ergibt sich

hˆnnn·σσσ⊗nnnˆ·σσσi=−cos²(θ) + sin²(θ) cosα (46) F¨ur θ =π/2ist der Effekt von α am deutlichsten.

Bsp. 6: Die Zeitentwicklung-Gleichung der Dichtematrix 8 Punkte (a) Mit i~∂_t|ψi=H|ψiund −i~∂_thψ|=hψ|H ergibt sich

i~∂_tρ= [H, ρ] ⇒ ∂_tρ=−i

~[H, ρ] (47)

(b) Durch die Multiplikation von (47) mit hppp| und|qqqi und H|qqqi=E_qqq|qqqi ergibt sich

˙

ρ_pq =−i

~

(hppp|Hρ|qqqi − hppp|ρH|qqqi) (48)

=−i

~

(E_ppphppp|ρ|qqqi − hppp|ρ|qqqiE_qqq) (49)

=−i

~

(E_ppp−E_qqq)ρ_ppp,qqq (50) (c) Die Diagonalterme bleiben unver¨andert. Die Nebendiagonalen verschwinden hingegen. Der

Zustand nimmt dann die FormP

xax|xi hx|an. Es handelt sich um ein Zustandsgemisch.

Durch das Verschwindend der Phasenbeziehungen zwischen den einzelnen Zust¨anden k¨onnen keine Interferenzen mehr auftreten und es wird deshalb von Dekoh¨arenz gespro-