Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2010 Universitat Marburg
Prof. Dr. H. Upmeier
Komplexe und harmonische Analysis { Blatt 8 {
Abgabe Donnerstag, 17.6.2010, 10 Uhr s.t.
Aufgabe 27. (4 Punkte)
Beweise: Fur jedes z 2 B = fz 2 C j jzj < 1g existiert genau eine Mobius-Transformation z 2 GB = SU(1; 1) mit den beiden Eigenschaften:
z(0) = z
z = z (als Matrix):
Drucke die Koezienten z =
az bz bz az
explizit durch z aus. Bestimme z1 und z.
Aufgabe 28. (4 Punkte)
Finde analog zu jedem w 2 H (obere Halbebene) eine eindeutig bestimmte \naturliche"
Mobius-Transformation w 2 GH = SL(2; R) mit w(i) = w. Naturlichkeit kann bedeuten a) w = w
b) w = Dreiecksmatrix.
Kann Bedingung b) auch im Falle des Einheitskreises realisiert werden? Bestimme w1 und w 1.
Aufgabe 29. (4 Punkte)
Finde fur jedes z 2 B explizit (wie oben) eine \Symmetrie" z 2 GBmit den Eigenschaften 2z = id ; z 6= id
z(z) = z (Fixpunkt):
Ist diese Symmetrie eindeutig bestimmt? Berechne z0(z).
Aufgabe 30. (4 Punkte)
Finde analog zu w 2 H eine Symmetrie w 2 GH mit den Eigenschaften w2 = id ; w 6= id
w(w) = w (Fixpunkt):
Untersuche auf Eindeutigkeit und bestimme w0(w). Kann w als Dreiecksmatrix gewahlt werden?
