Lineare Algebra 2 13. Tutorium

Lineare Algebra 2 13. Tutorium

Prof. Dr. A. Kollross Fachbereich Mathematik

K. Schwieger, T. Felber 13./14. Juli 2010

Wir wollen uns in diesem Tutorium mit dem Lösen einfacher Differentialgleichungen befassen. Wir schränken uns dabei auf sog. lineare, homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ein.

Aufgabe 1 Der eindimensionalen Fall

Wir betrachten im Folgenden die Differentialgleichung (kurzDGL)

y⁰=a y (1)

mit einer Konstantena∈R. Eine Lösung dieser Gleichung ist eine differenzierbare Funktion y:R→R mit y⁰(t) =a y(t)für alle t ∈R.

a) Betrachten Sie zunächsta=1und raten Sie eine Lösung y6=0.

b) Seia∈R. Finden Sie eine Lösung der DGL (1).

c) Zeigen Sie, dass es für jedes ˆy∈R(den sog.Anfangswert) eine Lösung y:R→Rder DGL (1) mit y(0) = ˆy gibt.

d*) Zeigen Sie, dass es für jeden Anfangswert ˆy ∈R genau eine Lösung y :R→R der DGL (1) mit y(0) = ˆy gibt.

Aufgabe 2 Der mehrdimensionale Fall

Wir betrachten jetzt im Folgenden eine Differentialgleichung der Form y₁⁰ =a₁₁y₁+· · ·+a_1ny_n y₂⁰ =a₂₁y₁+· · ·+a_2ny_n

... ...

y_n⁰ =a_n1y₁+· · ·+a_nny_n

mit Koeffizientena_{i j} ∈R, 1≤i,j≤n. Eine Lösung dieser Gleichung ist ein Tupel y= (y₁, . . . ,y_n)^T von Funktionen y_k:R→R, so dass für jedes1≤k≤nund allet∈Rdie Gleichung y_k⁰(t) =a_k1y₁(t)+· · ·+

a_kny_n(t)erfüllt ist.

a) Machen Sie sich klar, dass Sie das Gleichungssystem auch in der Form y⁰=Ay

mit einer reellenn×n-MatrixAschreiben können. Eine Lösung ist dann eine Funktion y:R→Rⁿ mit y⁰(t) =Ay(t)für alle t ∈R

b) Zeigen Sie, dass die Menge aller Lösungen der DGL y⁰=Ay ein linearer Teilraum im Vektorraum aller Funktionen f :R→Rⁿ ist.

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Nach Aufgabe 1 liegt es nahe zu vermuten, dass y(t) =e^tA·ˆymit einem Anfangswert ˆy∈Rⁿeine Lösung der DGL y⁰=Ayist.

c) Finden Sie eine Lösung der DGL y⁰=Ay für den Fall, dassAeine Diagonalmatrix ist.

d) SeiAdiagonalisierbar mitS⁻¹AS=diag(λ1, . . . ,λn)mitλ1, . . . ,λn∈R. Zeigen Sie S⁻¹e^tAS=diag(e^λ1t, . . . ,e^λnt),

und folgern Sie, dass die Funktion y(t):= e^tAˆy für jeden Anfangswert ˆy ∈ Rⁿ eine Lösung der DGL y⁰=Ay ist.

e) Betrachte nun die MatrixA:= ^{2 1}_{0 2}

. Zeigen Sie

e^tA=

e^2t t e^2t 0 e^2t

,

und folgern Sie, dass auch hier y⁰(t):=e^tAˆy für jeden Anfangswert ˆy∈Rⁿ eine Lösung der DGL y⁰=Ay ist.

f) SeiA∈M_neine Matrix mit ausschließlich reellen Eigenwerten, d.h. es gibt keine komplexen Eigen- werte. Betrachten Sie die Jordan-Normalform von Aund zeigen Sie, dass y(t):=e^tAˆy für jeden Vektor eine Lösung der DGL y⁰=Ay ist.

g*) SeiA∈M_n eine reelle Matrix (u.U. mit komplexen) Eigenwerten, z.B.

A=

0 1

−1 0

. Finden Sie auch für diesen Fall eine Lösung der DGL y⁰=Ay.

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