Lineare Algebra 2 8. Tutorium

Lineare Algebra 2 8. Tutorium

„Darstellungen von Gruppen“

Prof. Dr. A. Kollross Fachbereich Mathematik

K. Schwieger, T. Felber 8.–9. Juni 2010

Lösung 1 Wirkungen und Darstellungen

a) Für alleg,h∈G,x∈V gilt

γ_ρ(gh,x) =ρ(gh)(x) =ρ(g) ρ(h)(x)=γ_ρ g,γ_ρ(h,x)

, γ_ρ(1,x) =ρ(1)(x) =id(x) =x, d.h.γ_ρ ist eine Wirkung. Weilρ(g)für jedes g ∈ G eine lineare Abbildung ist, ist jede der Abbildungen x 7→

γ_ρ(g,x) =ρ(g)(x)mitg∈Glinear, d.h.γ_ρist eine lineare Wirkung.

b) Weilγeine lineare Wirkung ist, ist jede der Abbildungenρ_γ(g):x7→γ(g,x)mitg∈Glinear. Weiter gilt für alle g,h∈G,x∈V

ρ_γ(gh)(x) =γ(gh,x) =γ g,γ(h,x)=ρ_γ(g) ρ_γ(h)(x)= ρ_γ(g)◦ρ_γ(h)(x), ρ_γ(1)(x) =γ(1,x) =x=id(x),

alsoρ_γ(gh) =ρ_γ(g)◦ρ_γ(h)undρ_γ(1) =id, d.h.ρist eine Darstellung.

c) Wir zeigen, dass die Abbildungρ 7→γ_ρ eine solche Bijektion mit Inversemγ7→ρ_γist. Hierzu zeigen wir, dass ρ = ρ_γρ für jede Darstellung ρ gilt und dass γ = γ_ργ für jede lineare Wirkung γ gilt: Für jede Darstellung ρ:G→Aut(V)und jedesg∈G,x∈V gilt nach Konstruktion

ρ_γρ(g)(x) =γ_ρ(g,x) =ρ(g)(x),

d.h.ρ_γρ=ρ. Umgekehrt gilt für jede lineare Darstellungγ:G×V →V und jedesg∈G,x∈V nach Konstruktion γ_ργ(g,x) =ρ_γ(g)(x) =γ(g,x),

d.h.γ_ργ=γ.

Lösung 2 Adjungierte Darstellung

b) Der von der Einheitsmatrix erzeugte eindimensionale TeilraumU:=R·Eist invariat, denn für alleS∈GL_n(R)gilt S ES⁻¹=E.

c) SeiQ∈O_n(R)undA,B∈M_n(R). Dann gilt ρ(Q)(A),ρ(Q)(B)

=¬

QAQ^T,QBQ^T¶

=Tr (QBQ^T)^T(QAQ^T)

=Tr(QB^TQ^TQAQ^T) =Tr(QB^TAQ^T)

=Tr(B^TAQ^TQ) =Tr(B^TA) =〈A,B〉.

d) Die Vielfachen der Einheitsmatrix sind ein nicht-trivialer, invarianter Teilraum. Ein weiterer invarianter Teilraum ist die MengeUaller symmetrischen Matrizen, denn für eine symmetrische MatrixA∈M_nundQ∈O_n(R)ist auch QAQ^T wieder symmetrisch. Analog ist auch der Raum der schiefsymmetrischen MatrizenU^⊥invariant.

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Lösung 3 Zerlegung endlich-dimensionaler, orthogonaler Darstellungen

a) Einfach nachrechnen.

b) Man überlegt sich leicht, dass der Schnitt von invarianten, linearen Teilräumen wieder ein invarianter Teilraum ist. Der Schnitt über alle invarianten Teilräume, diev enthalten, ist somit selbst ein invarianter Teilraum, derv enthält. Nach Konstruktion ist es auch der kleinste solche Teilraum.

SeiU⊆Vder kleinste invariante Teilraum, derv enthält. Dann enthältU auch jede Vektorρ(g)(^v)mitg∈Gund damit auch die lineare Hülle dieser Vektoren. Umgekehrt ist die lineare Hülle der Vektorenρ(g)(^v)ein invarianter Teilraum, weil für jedesh∈Gder Vektor

ρ(h) ρ(g)(^v)

=ρ(hg)(x)

wieder in diesem Teilraum liegt. WeilU der kleinste invariante Teilraum ist, muss die lineare Hülle der Vektoren ρ(g)(^v)mitg∈GauchUenthalten.

c) Seig∈Gundv ∈U^⊥. Dann gilt für allew∈U ρ(g)(^v),w

=¬

v,ρ(g⁻¹)(w)¶

=0 ,

weilρ(g⁻¹(w)wieder inUliegt. Somit giltρ(g)(^v)∈U^⊥, d.h.U^⊥ist invariant.

d) Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion über die Dimension vonV. FürdimV=1ist die Behauptung trivial erfüllt, weil es keine nicht-trivialen Teilräume gibt. Sei nundimV =N und jede orthogonale Darstellung vonGauf einem VektorraumWmitdimW<Nzerfalle in eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen. Ist die Darstellungρ:G→Aut(V)selbst irreduzibel, ist nichts zu zeigen. Andernfalls gibt es nicht-triviale, invariante Teilräume. Wir wählen einen dieser TeilräumeU⊆V. Wir haben zuvor gezeigt, dass dann auchU^⊥invariant ist.

WegenV=U⊕U^⊥ist die Darstellungρdann die direkte Summe der eingeschränkten Darstellungen ρ=ρU⊕ρU^⊥.

WegendimU, dimU^⊥<dimV =N zerfallen die eingeschränkten DarstellungρU:G→Aut(U)undρU^⊥ :G → Aut(U^⊥)in irreduzible Darstellungen

ρU=ρ₁⊕ · · · ⊕ρk, ρ_U⊥=ρk+1⊕ · · · ⊕ρn.

Insgesamt zerfälltρalso in die direkte Summe der irreduziblen Darstellungenρ₁, . . . ,ρn.

e) Für die Darstellung vonO₂(R)aufM₂(R)haben wir schon die Vielfachen der Einheitsmatrix, die symmetrischen Matrizen und die schiefsymmetrischen Matrizen als invarianten Teilraum erkannt. Der Teilraum der schiefsym- metrischen MatrizenU₁⊆M₂(R)ist eindimensional. Die darauf eingeschränkte Darstellung ist somit irreduzibel.

Diese Darstellung ist durch die Determinante gegeben:

ρ1:G→Aut(U₁), ρ1(Q)(A) =det(Q)·A.

Das orthogonale Komplement sind die symmetrischen Matrizen mit Dimension 2. Die auf U₁^⊥ eingeschränkte Darstellung ist jedoch nicht irreduzibel, weil die Einheitsmatrix auch symmetrisch ist. Der von der Einheitsmatrix erzeuge lineare TeilraumU₂=REist eindimensional. Die aufU₂eingeschränkte Darstellung ist somit irreduzibel.

Diese Darstellung ist die identische Darstellung

ρ2:G→Aut(U₂), ρ(Q)(A) =A.

Der Orthogonalraum vonU₂im euklidischen RaumU₁ist die MengeU₃aller symmetrischer Matrizen mit Spur 0, d.h. aus Matrizen der Form

A=

a b b −a

mita,b∈R. Wir wollen zeigen, dass die aufU₃eingeschränkte Darstellung irreduzibel ist. WeilU₃zweidimensio- nal ist, müssen wir dazu nur zeigen, dass es keinen eindimensionalen, invarianten Teilraum gibt. Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, es gibt einen solchen Teilraum. SeiA∈U₃ein Erzeuger des Teilraumes. Dann 2

giltQAQ^T=±Afür jedesQ∈O₂(R). WeilAsymmetrisch ist, gibt es dann eine orthogonale MatrixQ˜∈O₂(R), so dassQA˜ Q˜^T eine Diagonalmatrix ist. WegenQA˜ Q˜^T=±Amuss also bereitsAselbst eine Diagonalmatrix sein. InU₃ gibt es jedoch bis auf Vielfache nur eine Diagonalmatrix, nämlich

A=

1 0 0 −1

. Z.B. fürQ=1/p

2 ¹_{1 1}⁻¹

gilt jedoch nichtQAQ^T=±A. Der vonAerzeugte Teilraum ist somit nicht invariant, ein Widerspruch. Die auf den zweidimensionalen TeilraumU₃eingeschränkte Darstellung ist also irreduzibel.

Insgesamt zerfällt die Darstellung vonO₂(R)aufM₂(R)in die direkte Summe der drei irreduziblen Darstellungen ρ1,ρ2undρ3.

Lösung 4 Darstellungen endlicher Gruppen

a) Sei ρ : G → Aut(V)eine irreduzible Darstellung einer endlichen Gruppe G. Wähle v ∈ V. Dann ist der von den Vektorenρ(g)(^v)erzeugte TeilraumU ⊆V endlich-dimensional und invariant. Wegenv ∈U folgt aus der Irreduzibilität, dassU=V gelten muss.

b) Dass〈 ·,· 〉ρein Skalarprodukt ist, rechnet man leicht nach. (Für die Definitheit nutzt man〈^v,v〉 ≤ 〈^v,v〉ρ.) Wir zeigen nur, dass die Darstellungρbzgl. diesem Skalarprodukt orthogonal ist. Seien hierfür g∈G undv,w∈V. Dann gilt

ρ(g)(^v),ρ(g)(w)

ρ=X

h∈G

ρ(h) ρ(g)(^v)

,ρ(h) ρ(g)(w) =X

h∈G

ρ(hg)(^v),ρ(hg)(w)

=X

h⁰∈G

ρ(h⁰)(v),ρ(h⁰)(w)=〈^v,w〉_ρ,

weil die AbbildungG→G,h7→hg für jedesg∈G eine Bijektion aufGist.

c) Für eine Permutationσ∈S_n definieren wir eine lineare Abbildung auf der kanonischen Basise₁, . . . ,e_nvonRⁿ durch ϕ_σ(e_i):= e_σ(i). Die Funktion ϕ lässt sich dann zu einer linearen Abbildung ϕ_σ :Rⁿ → Rⁿ fortsetzen.

Bzgl. der kanonischen Basis hat die Matrix vonϕ_σjeweils in deri-ten Spalte und derσ(i)-ten Zeile eine 1, sonst Nulleinträge. Man verifiziert leicht, dass durchρ:S_n→Aut(Rⁿ), ρ(σ):=ϕ_σ eine orthogonale Darstellung von S_naufRⁿgegeben ist.

Diese Darstellung ist fürn≥2nicht irreduzibel. Z.B. ist der von dem Vektorx= (1, . . . , 1)^T aufgespannte lineare Teilraum invariant. Die Aufgabe besteht also im Wesentlichen daraus, zu zeigen, dass die Darstellung auf {x}^⊥ irreduzibel ist oder in{x}^⊥weitere invariante Teilräume zu finden.

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