Lineare Algebra 2 9. Tutorium

Lineare Algebra 2 9. Tutorium

Normalformen quadratischer Polynome

Prof. Dr. A. Kollross Fachbereich Mathematik

K. Schwieger, T. Felber 15./16. Juni 2010

Lösung 1 Quadratische Polynome in mehreren Variablen

c) Eine Basis vonP2(R³)ist z.B. gegeben durch die Monome

p₀(x):=1 , p₁(x):=x₁, p₂(x):=x₂, p₃(x);=x₃,

p₄(x):=x²₁, p₅(x):=x₁x₂, p₆(x):=x₁x₃, p₇(x):=x₂², p₈(x):=x₂x₃, p₉(x):=x₃².

Für den Raum der homogenen Polynome vom Grad 2 sindp₄, . . . ,p₉eine Basis.

d) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass alle quadratischen Formen aufRⁿvon der FormQ(x) =x^TAxmit einer qua- dratischen Matrix sind. Durch ausmultiplizieren sieht man sofort, dassQein quadratisches, homogenes Polynom vom Grad 2 ist. Umgekehrt zeigen wir, dass jedes Polynom f ∈ P2(Rⁿ)nur dann homogen vom Grad 2, wenn es von der Form

f(x₁, . . . ,x_n) = X

i₁+···+i_n=2

a_i1,...,inx₁ⁱ¹ . . .x_nⁱⁿ

ist. Jeder Summandx₁ⁱ¹. . .x_nⁱⁿist dann eine quadratische Form, und somit ist auch f eine quadratische Form. Sei alsof ∈ P2(Rⁿ)homogen vom Grad 2,f(x):=P

i₁,...,i_na_i1,...,inx₁ⁱ¹. . .x_nⁱⁿ. Wir wollen zeigen, dass alle Koeffizienten a_i1,...,in miti₁+· · ·+i_n6=2verschwinden. Weil die Polynomexⁱ₁¹. . .x_nⁱⁿ miti₁+· · ·+i_n=2homogen vom Grad 2 sind, können wir o.B.d.A. annehmen, dass die entsprechenden Koeffizienten Koeffizienten verschwinden, d.h. f ist o.B.d.A. von der Form

f(x₁, . . . ,x_n) =a₀+a₁x₁+a₂x₂+· · ·+a_nx_n

mit Koeffizienten a_i ∈R. Wegen f(λx) = λ²f(x) gilt insbesondere f(0) = 0, also a₀ = 0. Für das Polynom f(x) =a₁x₁+· · ·+a_nx_ngilt dann f(λx) =λf(x). Wäre f 6=0widerspricht dies der Homogenität vom Grad 2

fürλ6=0, 1. Es muss alsof =0gelten.

Lösung 2 Orthogonale Äquivalenz

a) Wir zeigen, dass für jedes quadratische Polynom f ∈ P2(Rⁿ)auch f ◦ϕ⁻¹wieder ein quadratisches Polynom ist.

Hierzu reicht es sich auf ein Erzeugersystem vonP2(Rⁿ)zu beschränken, d.h. können o.B.d.A. f(x₁, . . . ,x_n) = x₁ⁱ¹·xⁱ_nⁿ miti₁+· · ·+i_n≤2annehmen. Seiϕeine orthogonale Abbildung aufRⁿ. SeiQ= (q_i,j)i,jdie Matrix der Inversenϕ⁻¹bzgl. der Standardbasis. Dann gilt

(f ◦ϕ⁻¹)(x₁, . . . ,x_n) = (q_1,1x₁+· · ·+q_1,nx_n)ⁱ¹· · · · ·(q_n,1x₁+· · ·+q_n,nx_n)ⁱⁿ. Durch Ausmultiplizieren sieht man sofort, dass auch f ◦ϕ⁻¹wieder ein quadratisches Polynom ist.

c) Die Polynomef(x) =0undg(x) =1sind nicht orthogonal äquivalent, in der Äquivalenzklasse von f bzw.gliegt nurf bzw.gselbst. Allgemeiner sind alle konstanten Funktionen Fixpunkte der Darstellung. Insbesondere ist auch kein konstantes Polynom zu einem nicht-konstanten Polynom orthogonal äquivalent.

d) Bis auf uniären Basiswechsel sind f,gundhdie gleiche quadratische Form.

e) Wir haben bereits gezeigt, dass es sich bei den betreffenden Polynomen genau um die quadratischen Formen handelt. Sei also f(x) = x^TAx eine quadratische Form mit o.B.d.A. symmetrischer MatrixA. Dann gibt es eine orthogonale MatrixQ, so dassD:=Q^TAQeine Diagonalmatrix ist. Bezeichne mitλ1, . . . ,λndie Diagonaleinräge vonDund setzteϕ(x):=Q^Tx. Dann istϕeine orthogonale Abbildung mitϕ⁻¹(x) =Q xund somit

f ◦ϕ⁻¹(x) = (Q x)^TA(Q x) =x^TD x=λ₁x²₁+· · ·+λnx²_n.

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Lösung 4 Die Gruppe der Affinitäten

a) Die Translation um den Vektoraist eine Bijektion. Somit istψgenau dann bijektiv, wenn auchψ−a=ϕbijektiv ist. Die Umkehrabbildung ist durchψ⁻¹(x) =ϕ⁻¹(x)−ϕ⁻¹(a)gegeben, insbesondere istψ⁻¹wieder eine affine Abbildung.

b) Die Gruppe der invertierbaren, linearen Abbildungen Aut(Rⁿ) ist eine Untergruppe von Aff(Rⁿ). Auch die hier relevante Menge der orthogonalen Abbildungen aufRⁿist eine Untergruppe vonAff(Rⁿ). Eine andere Untergruppe bilden die Isometrien vonRⁿ(vgl. 5. Tutorium), insbesondere bilden die Translationen eine Untergruppe.

Lösung 5 Affine Äquivalenz

Die meisten Teilaufgaben lassen sich analog zu Aufgabe 2 bearbeiten.

d) Zur besseren Übersichtlichkeit erläutern wir hier nur die elementaren Schritte, um die gewünschte Normalform zu erhalten.

Weil jede der Abbildungenϕ(x₁, . . . ,x_n):= (λ₁x₁, . . . ,λnx_n)mitλ₁, . . . ,λn6=0inAff(Rⁿ)liegt, erhalten wir durch Skalieren der Variablen x_i stets ein affin äquivalentes Polynom. Analog sind alle Translationenψ(x₁, . . . ,x_n):=

(x₁+c₁, . . . ,x_n+c_n)mit c₁, . . . ,c_n ∈ R in Aff(Rⁿ). Durch Verschieben der Variablen x_i erhalten wir also stets ein affin äquivalentes Polynom. Ebenso erhalten wir durch Vertauschen von Variablen stets ein affin äquivalentes Polynom.

Es giltx²_i +2x_ix_j= (x_i+x_j)²−x²_j. Die Abbildung

ϕ(x₁, . . . ,x_i, . . . ,x_j, . . . ,x_n):= (x₁, . . . ,x_i+x_j, . . . ,x_j, . . . ,x_n)

ist inAff(Rⁿ). Ersetzen wirx_i+x_jdurchx_ierhalten wir also ein affin äquivalentes Polynom. Auf diese Weise lassen sich die „gemischten“ quadratischen Terme, zu denen auch ein „rein“ quadratischer Term existiert, eliminieren.

Weiter gilt4x_ix_j= (x_i+x_j)²−(x_i−x_j)². Weil die Abbildung

ϕ(x₁, . . . ,x_i, . . . ,x_j, . . . ,x_n) = (x₁, . . . ,x_i+x_j, . . . ,x_i−x_j, . . . ,x_n)

in Aff(Rⁿ)liegt, erhalten wir ein affin äquivalentes Polynom, wenn wir x_i+x_j durch x_i und x_i−x_j durch x_j

ersetzen. Auf diese Weise lassen sich (zusammen mit der vorherigen Ersetzung) alle gemischten quadratischen Termex_ix_jbeseitigen.

Weiter giltx²_i +2a x_i= (x_i+a)²−a². Durch Translation vonx_ierhällt man ein so affin äquivalentes Polynom, in welchemx_inur quadratisch oder nur linear auftritt.

Insgesammt erhällt man durch all diese Umformungen ein affin äquivalentes Polynom der Form

f(x₁, . . . ,x_n) =

n₁

X

i=1

x²_i −

n₂

X

i=n1+1

x_i²+

n₃

X

i=n2+1

x_i+c

mit0≤n₁≤n₂≤n₃≤nund einer Konstantenc∈R. Gibt es keinen linearen Term (n₂=n₃), so haben wir die untere der gewünschten Formen erreicht. Gibt es einen linearen Term (n₂<n₃), so erhällt man durch Tranlation vonx_n3umcdie obere gewünschte Form.

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