Lineare Algebra 2 10. Tutorium

Lineare Algebra 2 10. Tutorium

Das Tensorprodukt

Prof. Dr. A. Kollross Fachbereich Mathematik

K. Schwieger, T. Felber 22./23. Juni 2010

Lösung 1 Wirkungen auf Quadriken

SeiQ:Rⁿ→Reine quadratische Form.

a) Zeigen Sie, dass die folgende MengeG_Qeine Untergruppe vonGLn(R)ist:

G_Q:={S∈GL_n(R)| ∀x∈Rⁿ. Q(S x) =Q(x)}.

b) Zeigen Sie, dassG_Qdie QuadrikM_Q:={x∈Rⁿ|Q(x) =1}invariant lässt, d.h.G_Qwirkt auf der MengeM_Qdurch γ(S,x):=S x.

c*) Bestimmen Sie die GruppeG_Qfür die quadratische FormQ:R²→RmitQ(x,y):=x²−y².

a) Es giltQ(x) =Q(E x)für allex ∈Rⁿ, d.h. die EinheitsmatrixEliegt inG_Q. FürS,T ∈G_Q liegt auchS·T inG_Q, denn für allex∈Rgilt

Q(S T x) =Q(T x) =Q(x).

b) Istx∈M_Q, d.h.Q(x) =1, undS∈G_Q, so gilt auchQ(S x) =Q(x) =1, alsoS x∈M_Q.

Lösung 2 Matrizen-Darstellung von Bilinearformen

SeiV ein Vektorraum. Eine AbbildungF:Rⁿ×R^m→V heißtbilinear, falls

F(v+v⁰,w) =F(v,w) +F(v⁰,w), F(λv,w) =λF(v,w), F(^v,w+w⁰) =F(^v,w) +F(^v,w⁰), F(^v,λw) =λF(^v,w).

für allev,v⁰∈Rⁿ,w,w⁰∈R^mundλ∈Rgilt. Eine bilineare AbbildungF:Rⁿ×R^m→Rheißt auchBilinearform.

a) Zeigen Sie analog zur Vorlesung, dass es für jede BilinearformF :Rⁿ×R^m→Rgenau einen×m-MatrixAgibt, so dass für allex∈Rⁿ,w∈R^mgilt:

F(^v,w) =^vTAw.

b) Für zwei Vektorenx∈Rⁿund y∈R^mdefinieren wir eine BilinearformF_x,y:Rⁿ×R^m→Rdurch F_x,y(^v,w):=〈x,v〉 ·

y,w

. (1)

Bestimmen Sie die Matrix zuF_x,y.

a) Bezeichnee₁, . . . ,e_ndie kanonische Basis vonRⁿundf₁, . . . ,f_m∈R^mdie kanonische Basis vonR^m. SetzeA:= (a_i,j) mita_i,j:=F(e_i,f_j). Mittels Bilinearität rechnet man dann leicht nach, dass F(x,y) = x^TAy für alle x∈Rⁿund

y∈R^mgilt.

Ist B = (b_i,j)i,j eine andere Matrix mit F(x,y) = x^TB y für alle x ∈R^m,y ∈R^m, so folgt insbesondere b_i,j = e^T_iB f_j=F(e_i,f_j) =a_i,jund somitA=B.

b) Für allex∈Rⁿ,y∈R^mgilt

F_x,y(v,w) =v^Tx·w^Ty=v^Tx·y^Tw=v^T(x y^T)w, d.h.x y^T ist die Matrix vonF_x,y.

1

Lösung 3 Das TensorproduktRⁿ⊗R^m

a) Machen Sie sich klar, dass die Menge aller Bilinearformen F :Rⁿ×R^m →Rmit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation einen Vektorraum bildet.

Den Vektorraum aller Bilinearformen F :Rⁿ×R^m →R nennen wir dasTensorproduktvonRⁿ undR^m und schreiben dafürRⁿ⊗R^m. Die BilinearformenF_x,yaus Gleichung (2) nennen wirelementare Tensorenund schreiben hierfür jeweils x⊗y.

b) Zeigen Sie, dass für alle x,x⁰∈Rⁿ, y,y⁰∈R^mundλ∈Rdie folgenden Rechenregeln mit elementaren Tensoren gelten:

(x+x⁰)⊗y= (x⊗y) + (x⁰⊗y), (λx)⊗y=λ(x⊗y), x⊗(y+y⁰) = (x⊗y) + (x⊗y⁰), x⊗(λy) =λ(x⊗y).

c) Seie₁, . . . ,e_ndie kanonische Basis vonRⁿundf₁, . . . ,f_mdie kanonische Basis vonR^m. Zeigen Sie, dass es für jedes F∈Rⁿ⊗R^meindeutig bestimmte Koeffizientenαi,j∈Rfür1≤i≤n, 1≤ j≤mgibt mit

F=

n

X

i=1 m

X

j=1

α_i,je_i⊗f_j.

Insbesondere ist jedes ElementF∈Rⁿ⊗R^meine Linearkombination elementarer Tensoren. Welche Dimension hat Rⁿ⊗R^m?

c) Für jede BilinearformF∈Rⁿ⊗R^mgibt es genau eine MatrixA, so dassF(^v,w) =^vTAwfür allev ∈Rⁿundw∈R^m gilt. Die MatrixA=:(a_i,j)i,jist eine Linearkombination der kanonischen EinheitsmatrizenE_i,j=e_if_j^T, genauer

A=

n

X

i=1 m

X

j=1

a_i,jE_i,j=X

i,j

a_i,je_if_j^T.

Für die BilinearformF gilt also

F(v,w) =v^TAw=

n

X

i=1 m

X

j=1

a_i,jv^Te_if_j^Tw=X

i,j

a_i,jF_ei,fj(v,w) =X

i,j

a_i,je_i⊗f_j.

Sindb_i,jKoeffizienten mitF=P

i,jb_i,je_i⊗f_j, so gilta_i,j=F(e_i,f_j) =b_i,j, denn für allei,j,k,`gilt

F_e

i,e_j(e_k,e_`) =

(1 ,fallsi=k,j=`, 0 ,sonst.

Lösung 4 Zusatzaufgabe: Lineare Abbildungen auf dem Tensorprodukt

Oft ist einfacher, eine lineare Abbildung auf den elementaren Tensoren, statt auf ganzRⁿ⊗R^mzu definieren. Weil nicht alle elementaren Tensoren linear unabhängig sind, muss dabei auf Wohldefiniertheit geachtet werden.

a) Die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes: Sei ϕ : Rⁿ×R^m → V eine bilineare Abbildung in einen Vektorraum V. Zeigen Sie, dass es dann genau eine lineare Abbildung ϕ˜ :Rⁿ⊗R^m → V gibt, so dass für alle x∈Rⁿ,y∈R^mgilt:

ϕ(˜ x⊗y) =ϕ(x,y) Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass fürP

ix_i⊗y_i=0auch auchP

iϕ(x_i,y_i) =0gilt.

b) Seienϕ:Rⁿ→Rⁿundψ:R^m→R^mlineare Abbildungen. Zeigen Sie, dass dann eine lineare Abbildung definiert ist durch:

ϕ⊗ψ:Rⁿ⊗R^m→Rⁿ⊗R^m, (ϕ⊗ψ)(x⊗y):=ϕ(x)⊗ψ(y).

2

a) Wir zeigen zuerst den Hinweis: Seienx_i∈Rⁿ,y_i∈R^mmitP

ix_i⊗y_i=0. Wir zerlegen x_iund y_ijeweils bzgl. der kanonischen Basis, d.h. es gibt Koeffizientena_i,j,b_i,j∈Rmit

x_i=X

j

a_i,je_i, y_i=X

j

b_i,jf_j.

Somit gilt

0=X

i

x_i⊗y_i=X

i

X

j₁,j2

a_i,j

1b_i,j

2e_j

1⊗f_j

2=X

j₁,j2

X

i

a_i,j

1b_i,j

2

e_j

1⊗f_j

2. Weil die Elementee_j1⊗f_j2eine Basis bilden, folgtP

ia_i,j1b_i,j2=0für alle Indizesj₁,j₂. Somit gilt auch wegen der Bilinearität vonϕ

X

i

ϕ(x_i,y_i) =X

i

X

j₁,j₂

a_i,j1b_i,j2ϕ(e_i,f_j) =X

j₁,j₂

X

i

a_i,j1b_i,j2

ϕ(e_i,f_j) =0 .

Widmen wir uns nun der allg. Behauptung: Wir definierenϕ˜durch ϕ˜X

i

αix_i⊗y_i

:=X

i

αiϕ(x_i,y_i)

für alleαi∈Rundx_i∈Rⁿ,y_i∈R^mund müssen nun zeigen, dass dies eine wohldefinierte Abbildung ergibt. Wir haben zuvor gesehen, dass jeder VektorF∈Rⁿ⊗R^meine Linearkombination elementarer Tensoren ist. Somit ist ϕ˜auf jeden Vektor inRⁿ⊗R^mdefiniert. Um zu zeigen, dass die Definition nicht mehrdeutig ist, seienαi,α⁰_j∈R, x_i,x⁰_j∈Rⁿund y_i,y⁰_j∈R^mmitP

iαix_i⊗y_i=P

jα⁰_jx⁰_j⊗y⁰_j, d.h.

0=X

i

(αix_i)⊗y_i−X

j

(α⁰_jx_j)⊗y_j.

Dann folgt aus den Vorbetrachtungen mit Bilinearität vonϕ

0=X

i

ϕ(αix_i,y_i)−X

j

ϕ(αjx⁰_j,y⁰_j) =X

i

αiϕ(x_i,y_i)−X

j

α⁰_jϕ(x⁰_j,y⁰_j), d.h.P

iαiϕ(x_i,y_i) =P

jα⁰_jϕ(x⁰_j,y⁰_j).

b) folgt aus dem vorherigen Aufgabenteil, denn(x,y)7→ϕ(x)⊗ψ(y)ist bilinear.

Lösung 5 Zusatzaufgabe: Das kanonische Skalarprodukt aufRⁿ⊗R^m

a) Zeigen Sie, dass durch

x⊗y,x⁰⊗y⁰

:=

x, x⁰

· y, y⁰

ein Skalarprodukt aufRⁿ⊗R^mgegeben ist. Finden Sie eine Orthonormalbasis vonRⁿ⊗R^m.

b) Sein=m. Zeigen Sie, dass die MengeU ⊆Rⁿ⊗Rⁿder symmetrischen Bilinearformen ein linearer Teilraum von Rⁿ⊗R^mist. Finden Sie eine Orthonormalbasis vonU. Wann liegt eine Bilinearform im OrthogonalraumU^⊥? a) Für feste Vektoren x ∈Rⁿ,y ∈R^m ist die Abbildung(x⁰,y⁰)7→

x,x⁰

· y,y⁰

bilinear. Aus der universellen Eigenschaft folgt dann, dass es eine lineare Fortsetzung vonx⁰⊗y⁰→

x,x⁰ y,y⁰

auf das Tensorprodukt gibt, d.h. fürF=P

iα⁰_ix⁰_i⊗y_i⁰∈Rⁿ⊗R^mgilt

*

x⊗y, X

i

α⁰_ix⁰_i⊗y_i⁰ +

=X

i

α⁰_i¬

x⊗y, x⁰_i⊗y_i⁰¶

. (2)

Sei nun F⁰ = P

iα⁰_ix⁰_i⊗ y_i⁰ ∈Rⁿ⊗R^m ein fester Vektor. Man rechnet mit (2) leicht nach, dass die Abbildung (x,y) 7→

x⊗y,F⁰

bilinear ist. Nach der universellen Eigenschaft gibt es dann eine lineare Fortsetzung von x⊗y7→

x⊗y,F

auf das Tensorprodukt. Das Skalarprodukt ist somit linear in der ersten Komponente.

Betrachtet man(x⁰,y⁰)7→

F,x⁰⊗y⁰

, so folgt analog, dass das Skalarprodukt in der zweiten Komponente linear ist.

Für die Definitheit seiF=P

i,jαi,je_i⊗f_jein Vektor inRⁿ⊗R^m. Dann gilt

〈F,F〉=

* X

i,j

αi,je_i⊗f_j,X

k,`

a_{k,`</sub>e<sub>k</sub>⊗f<sub>`} +

= X

i,j,k,`

αi,jα_k,`

e_i,e_k¬ f_j,f_`¶

=X

i,j

αi,jαi,j=X

i,j

α²_i,j≥0 Außerdem gilt〈F,F〉=0genau dann wennαi,j=0für allei,jgilt, d.h.F=0.

3