Lineare Algebra 2 3. Tutorium

Lineare Algebra 2 3. Tutorium

Prof. Dr. A. Kollross Fachbereich Mathematik

K. Schwieger, T. Felber 4. Mai 2010

Lösung 1 Beispielklassen Lösung 1.1 Lineare Wirkungen

Es gibt zwei Bahnen dieser Wirkung:{0}undV\ {0}.

Lösung 1.2 Translationen

Für je zwei Elementeh₁,h₂∈Ggilt(h₂h⁻¹₁ ).h₁=h₂h⁻¹₁ h₁=h₂. Die Wirkung ist also transitiv.

Istg∈Gein Element der StandgruppeG_heines Elementesh∈G, so giltgh=g.h=h. Durch Multiplikation von rechts mith⁻¹folgt darausg=1.

Lösung 1.3 Basistransformation

Die Bahnen dieser Wirkungen heißen Ähnlichkeitsklassen. Zwei Endomorphismenϕ,ψ∈End(V)bzw. zwei Matrizen A,B∈M_n(R)liegen genau dann in einer Bahn, wennϕundψbzw.AundBzueinander ähnlich sind.

Die Wirkung ist nicht transitiv, weil die Bahn der Nullabbildung bzw. der Nullmatrix nur aus der Nullabbildung bzw.

Nullmatrix besteht.

Lösung 2 Bahngleichung

c) Die Abbildung f :[1]→[g],h7→ ghist tatsächlich wohldefiniert, weil aush.x=x auch(gh).x=g.(h.x) =g.x folgt. Völlig analog ist die Abbildung g :[g] → [1], h7→ g⁻¹hwohldefiniert. Man sieht sofort, dass f und g zueinander inverse Abbildungen sind.

d) Wir müssen zeigen, dass das Elementg.xnicht von der Wahl des Repräsentantengvon[g]abhängt. Fürg˜∈[g]

gilt aber bereitsg.x=g.x˜ nach Konstruktion von∼. Die Abbildung ist also wohldefiniert.

Weiter ist die Abbildung injektiv, denng₁.x=g₂.xheißt nach Konstruktiong₁∼g₂, also[g₁] = [g₂].

Die Abbildung ist auch trivialerweise surjektiv, denn für jedes Element yin der BahnG.xgibt es ein Elementg∈G mitg.x=y.

e) Weil∼eine Äquivalenzrelation ist, bilden die Äquivalenzklassen eine Partition der MengeG, d.h.Gist die disjunkte Vereinigung aller (endlich vielen) Äquivalenzklassen

G= [g₁]∪[g₂]∪ · · · ∪[g_n]

mit Elementeng₁, . . . ,g_n∈G mit[g_i]∩[g_j] =;für allei6= j. Die Zahlnist dabei die Anzahl der verschiedenen Äquivalenzklassen. Für die Anzahl der Elemente gilt also

|G|= [g₁]

+· · ·+ [g_n]

.

Wir haben gezeigt, dass jede Äquivalenzklasse genau so viele Elemente wie die StandgruppeG_xhat, d.h.

[g₁] =

· · ·= [g_n]

=

G_x

. Weiter haben wir gezeigt, dass die Anzahl der Äquivalenzklassenn gleich der Anzahl der Elemente der Bahn vonxist, d.h.n=|G.x|. Zusammen folgt

|G|= [g₁]

+· · ·+ [g_n]

=n· G_x

=|G.x| · G_x

.

1

0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1 1.5 2

Abbildung 1:Bahnen vonγ1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Abbildung 2:Bahnen vonγi

Lösung 3 Konkrete Beispiele

a) Die Bahn der Null0∈Cbesteht nur aus Null selbst. Für jeden anderen Punkt06=z∈Cbesteht die Bahn aus dem Strahl ohne Null, der von Null aus durch den Punktzgeht. Siehe Abbildung 1.

Die Standgruppe von0∈Cbesteht aus ganzR. Für jeden anderen Punkt06=z∈Cbesteht die Standgruppe nur aus1∈R.

b) Die Bahn eines Punktes z ∈C ist der Kreis im Komplexen, auf demz liegt, d.h. der Kreis mit Radius|z|. Siehe Abbildung 2.

c) Für rein reelles und rein imaginäreλ haben wir die Wirkung bereits untersucht. Wir betrachten deshalb hier komplexeλmit nicht verschwindendem Real- und Imaginärteil. Durch Multiplikation mit1/zreicht es auch, sich die Bahnen fürz=1klarzumachen. Die Bahn der Null besteht (wieder) nur aus der Null selbst. Die Bahn eines Punktes06=z∈Cist eine Spirale vom Null-Punkt ausgehend (ohne Null selbst) durch den Punktz. In Abbildung 3 sind die Bahnen vonz=1für verschiedene Werte vonλzu sehen.

-10 -5 0 5 10

-15 -10 -5 0 5 10 15

λ= 1 +i λ= 1 + 3i λ= 1 + 5i λ= 2 +i λ= 3 +i

Abbildung 3:Bahnen vonz=1der Wirkungγ_λ

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